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5.1 电磁感应现象
(electromagnetic induction)
实验一：单从这一实验来分析，可以推测产生感应电流的
原因可能是电流的变化，或者是因电流的变化而导致的线
圈A中的磁场的变化。
实验二：这一实验可帮助我们得到这样的判断，不论用什
么方法，只要使线圈A处的磁场发生变化，线圈A中就会产
生感应电流。
实验三：在这一实验中，磁场并没有发生变化。
大量实验事实证明，当穿过闭合回路的磁通量发生变化
时，回路中就产生感应电流，这就是产生感应电流的条件。
5.2 楞次定律
闭合回路中感应电流的方向，总是企图使它所激发的
磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化（增加或减
少），这个结论叫做楞次定律(Lenz law)。
从更广泛的角度表述楞次定律：感应电流的效果总是
反抗引起感应电流的原因。
闭合回路中有感应电流产生时，说明回路中存在着某
种电动势，这种因穿过导体回路的磁感应通量发生变化
而出现的电动势叫做感应电动势。对于电磁感应现象可
作更广泛地理解：当磁场变化时，或者导体在磁场中运
动时，在导体中将产生感应电动势。
5.3 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律( Faraday law of electromagnetic
induction ) ：导体回路中感应电动势的大小与穿过
d
d
回路的磁通量变化率
成正比，即 
，也可
dt
dt
d
d
写成  k
, 在国际单位制中，k  1，这样 
dt
dt
电动势和磁感应通量都是标量，有时候为了说明问题
方便，也说到它们的方向，或更确切说是它们的正负。
电动势的方向是相对于回路的某一标定方向而言的，
对于给定的一个回路，可以标定它的绕行方向，如果
电动势 取正值，则说明感应电动势的方向与回路绕向
相同；如果电动势 取负值，则说明感应电动势的方向
与回路绕向相反。而磁感应通量是磁感应强度B沿以
回路为边界的曲面的积分，的正负有赖于此曲面法线
矢量n方向的选择。
回路法线方向的确定：对于给定的回路，要首先标定其绕向，
而回路所围曲面的法线方向则要由标定的回路的绕向由右手
定则确定：将右手四指弯曲用以代表选定的回路绕行方向，
则伸直的拇指指向法线n的方向。
根据楞次定律
d
确定 与
的
dt
符号间的关系
d
不论哪一种情况，的符号都与
相反，
dt
d
d
因此，可把 
改写为  
dt
dt
这样，可根据以上规定的符号法则和法拉第
电磁感应定律，同时确定的数值和方向。
在这里，式子右边的负号，实际就是楞次定
律的数学表示。
例如，导线框ABCD平放在纸面内，线框的CD边以速度v
沿着AD和BC边滑动，磁感应强度B垂直于纸面向内，各处
的大小相同，如果CD边长为l，计算线框中的感应电动势。
选取回路绕行方向为
逆时针方向
   Blx
d
dx
 
 Bl
 Blv
dt
dt
( 沿逆时针方向)
如果回路不是单匝线框而是多匝的线圈，
那么磁通量变化时，每匝线圈中都将产生
感应电动势。如果线圈是串联的，则
dN
d 1 d  2
 

  
dt
dt
dt
d
d
  (1   2   N )  
dt
dt
 叫做磁通匝链数( flux linkage) （全磁通）
d
如果各匝线圈都相等，则   N
dt
5.4 动生电动势(motional e. m. f.)
在稳恒磁场中运动的导体内产生的感应电动势，称为动生电动势
导体不动，因磁场的变化而产生的感应电动势，称为感生电动势
导体内自由电子的洛仑兹力：
f   e(v  B )
洛仑兹力是非静电力：
f
 v B
e
k

电动势   k  dl

D
D
  (v  B)  dl   vBdl  Blv
C
C
一般情况下，取一小段导线dl，则d  (v  B)  dl
整个导线中的动生电动势   (v  B)  dl
L
在稳恒磁场中导体两端要有动生电动势产生，
首先要求导体或其一部分速度不为零，另外
导体必须切割磁感应线运动。
当导体在非均匀场中运动时，计算动生电动势时必须
考虑到导体的各处磁场是不相同的。
例如图所示，在一长直载流导线旁边，有一长为b
的导体AB与长导线垂直，A点距导线距离为a，现在
使导体在纸面内以速度v向上平移，求动生电动势。
0 I
d   v
dr
2 r
a b
0 I
0 Iv a  b
  = v
dr  
ln
a
2 r
2
a
的方向由B指向A（A点电位高）
导体上各部分的速度也可不同。
如图所示，长为L的导体棒在纸面内绕O点旋转，
角速度为，如有均匀场垂直纸面向外，棒上有
动生电动势产生。
d   (v  B)  dl  lBdl
L
1
2
   lBdl   BL
0
2
的方向由O指向A
例1：P293习题4
0 I
解：B 
，d   (v  B )  dl
2 r
0 I
 0 Iv
d  AB =v
dl cos 
dr
2 r
4 2 r
b+a  Iv
0 Iv b  a
0
 AB =
dr 
ln
b
2 r
2
b
0 Iva
 BC =,  CA  0
2 (b  a)
0 Iv b  a
a
  ABC   AB   BC   CA 
(ln

)
2
b
ba
 ABC沿顺时针方向
例2：一细导线AB弯成直径为d的半圆形，均匀磁场B
垂直于板面向内，当导线绕A点以角速度逆时针方向
旋转时，AB间电动势 AB为多少？
解：半圆形与直径构成闭合回路，   B  S 为常数
d
 整个回路 =0
dt
  AB   BA  0
  AB   BA   AB
( v  B：B  A)
1
  B d 2
2
例3：稳恒磁场B垂直板面向里，导线abc的形状是
3
半径为R的 圆周，导线沿aoc的角平分线方向以
4
速度v水平向右运动，求导线上的感应电动势。
解法1：
d   (v  B )  dl  vB sin


2
dl cos 
 vBRd cos(  )
4
3
2
0

 abc   vBR cos(  )d   2vBR
4

解法2：加根直导线ca
d
 = 0   ca   abc
dt
a
a
c
c
a

 ca   (v  B)  dl   vBdl
 vB  dl  2vBR sin
4
  ca   2vBR
c
  abc
( 方向c  b  a )
 2vBR
5.5 感生电动势(induced e. m. f.)
与涡旋电场
涡旋电场(vortex electric field)或感应电场(induced
electric field)：变化的磁场在其周围空间激发的电场
涡旋电场与静电场不同，它不是由电荷产生，而是由
变化的磁场产生，它的电力线是一些闭合的曲线，涡
旋电场不是保守场。但对处于场中的电荷也有作用力。
其电场强度 E 与电动势定义中的 K 相当。
旋
如图所示，L为一导体回路，如磁场是变化的，
d
回路中的感生电动势  
dt
 还可表示为 
 k  dl   E
旋
( L)
 dl
( L)
d
  E旋  dl  
dt
( L)
即  E旋  dl  
( L)
d
BdS

dt ( S )
B
当环路不变动时，有  E旋  dl   
dS
t
( L)
(S )
如图所示，在一半径为R的长螺线管中，放一长为L的
dB
金属棒，如螺线管中的电流是变化的，使 为大于零
dt
的常数，计算棒上的感生电动势。
I
B
dB
dB
 d S  
 d S   r 2
t
dt
dt
(S )
(S )
解：
 E旋  dl  2 rE旋 , 
(l )
B
r dB
2 dB
利用  E旋  dl   
 d S 得E旋  2 r   r
 E旋 
t
dt
2 dt
(S )
B
2 dB
r  R, 
 d S   R
 2 rE旋
t
dt
(S )
R 2 dB
 E旋 
2r dt
r dB
在金属棒上任取dl，则d   E旋  dl =
cos dl
2 dt
2
L
1
2
r cos   R  = 4 R 2  L2
4 2
L1
1
2
2 dB
2
2 dB
  =
4R  L
dl  L 4 R  L
0 4
dt
4
dt
(r  R )
当空间还有静电场时，总场强 E  E位  E旋；
静电场是保守场： E位  dl  0
( L)
  E  dl 
( L)
E
位
( L)
  E旋  dl   
( L)
 dl 
E
旋
( L)
 dl 
E
旋
 dl
( L)
B
B
 d S可写作  E  dl   
 d S (1)
t
t
( L)
B
在稳恒条件下，  0，所以  E  dl  0，即为静电场的环路定理
t
( L)
( 1) 式是静电场的环路定理在非稳恒条件下的推广
5.6 电子感应加速器
即使没有导体存在，变化的磁场也在
空间激发涡旋状的感应电场。电子感
应加速器(betatron)是用于加速电子的
装置。
交变磁场的作用
使电子受到洛仑兹力做圆周运动

产生涡旋电场用以加速电子


另一个问题是如何使电子在恒定的圆形轨道上加速。
mv 2
电子所受的洛仑兹力：evBR 
, 即mv  ReBR
R
1 d
感应电场E  
2 R dt
d (mv)
e d
根据牛顿第二定律
 eE 
dt
2 R dt
e
 d (mv) 
d
2 R
e
开始时，  0，v  0  mv 

2 R
用B表示轨道内的磁感应强度，则   R 2 B
因此mv 
e
2 R

e
2 R
 R 2 B  eR
B
B
 eRBR  BR 
2
2
5.7 涡流与趋肤效应
1.涡流（涡电流）(eddy
current)
大块导体处在变化的磁
场中或相对磁场运动，
内部会出现感应电流称
为涡电流，简称涡流。
在同样的感应电动势下
电阻越大则涡流越小

B
~
涡电流
2. 电磁阻尼(electromagnetic damping)
作用：使摆很快稳定
在某一位置而
不来回摆动
原理：楞次定律
3.趋肤效应(skin effect)
在交流电路里，随着频率的增加，在导线截面上的电流分
布越来越向导线表面集中的现象。
I 0通过导线时，产生B
中心处I 0与I1( 涡电流) 相反
dI 0
当
0 
dt
表面处I 0与I1( 涡电流) 相同
例：垂直于半径为a厚为b的金属圆盘加一均匀磁场，
dB
使磁场随时间变化，  k , k为一常量，已知金属圆盘
dt
的电导率为 ，求盘内总的涡电流。
解法1： =  E旋  dl  E旋  2 r
B
dB
2 dB
2

d
S


d
S



r



r
k


t
dt
dt
(S)
(S)
r k
j   E旋 
2
a r k
 2
jdS  
bdr  ka b
0
2
4
r
 E旋  k
2
 I  
(S)
解法2：   r B
2

d
2 dB
 =r
  r 2k
dt
dt
k r 2 rk
dI  

bdr
R 2 r
2
 bdr
a

0
4
 I   dI 
ka 2b
5.8 互感
两相邻的载流回路，其中任一回路中的电流强度发生变化
时，将在另一回路中产生感应电动势，称为互感现象
(mutual induction)，这一电动势称为互感电动势(e. m. f.
of mutual induction)。
12  M 12 I1， 21  M 21 I 2
d 12
dI1
 2   dt  M12 dt
d  21
dI 2
 1   dt  M 21 dt
M 12  M 21  M 称为互感系数，简称互感
( mutual inductance)
互感的单位为亨利（H），实用中用mH、μH
例1：一长螺线管其长度为l  1.0cm，截面积S  10cm2 ,
匝数N1  1000，在其中部密绕一个匝数N 2  20的短线圈，
计算这两个线圈的互感系数。
N1
解：B1  0
I1
l
N1 N 2 S
 12  N 2 B1S  0
I1
l
 12
N1 N 2 S
M
 0
I1
l
 25 106 H
例2：两个共面共心的导体圆环，其半径分别为R1和R2，
R1
R2，计算其互感。
解：B1 
0 I1
2 R1
(大环圆心处)
通过小环的磁通匝链数为：
 12  B1 R2 2 
故互感：M 
0 I1 R2 2
2 R1
 12
I1

0 R2 2
2 R1
5.9 自感
当一个回路中通有电流时，电流所产生的磁通量也必然
通过回路本身，当回路中的电流变化时，通过回路的磁
通量也要发生变化，在回路自身产生感应电动势，这种
因回路中的电流变化在回路自身引起的电磁感应现象叫
做自感现象(self-induction)，所产生的电动势叫做自感
电动势(e. m. f. of self-induction )。
dI
  LI，   L ，L称为自感系数( self - inductance)
dt
自感系数的单位与互感系数的单位相同，
在MKSA单位制中也是亨利或毫亨、微亨等。
例1：一长为l的密绕螺线管截面积为S，线圈共有N匝，
求自感。
N
解：B  0 I
l
N
磁通匝链数：  NBS  N 0 IS
l

N2
因此，由式  LI 知 L   0
S
I
l
例2：由同轴圆筒组成的长传输线，两圆筒半径
分别为R1和R2，求自感。
0 I
解：两导体间的磁感应强度：B 
2 r
R
0 Il R dr 0
R2
   BdS   Bldr 

Il ln

R
R
2
r 2
R1
R2
 0
L  
l ln
I 2
R1
2
1
2
1
单位长度的自感系数（或分布电感）
0 R2
L0 
ln
2 R1
如取R2  4cm, R1  2cm, 则L0  1.4 10 7 H/m
5.10 两个线圈串联的自感系数
设线圈1的自感为L1，线圈2的自感为L2，它们的互感为M，
计算两个线圈串联起来后的总自感L。
1.顺接
 11  L1 I  12  MI
 22  L2 I  21  MI
总磁通匝链数： =( L1 +L2 +2M ) I

总自感系数：L 
I
 L1 +L2 +2M
2.反接
 11  L1 I  12   MI
 22  L2 I  21   MI
总磁通匝链数： =( L1 +L2 - 2M ) I

总自感系数：L 
I
 L1 +L2 - 2M
3.互感系数与二线圈自感系数之间的关系
当两个线圈中每一个所产生的磁通量对于每一匝来说都相
等，并且全部穿过另一个线圈的每一匝，这叫做无漏磁
(leakage-flux free)，是理想耦合。
 11  N11  L1 I1 , 12  N 2 1  MI1
 22  N 2  2  L2 I 2 , 21  N1 2  MI 2
 M 2  L1 L2，故M  L1 L2
一般情况下是有漏磁的，互感系数与两个线圈
的自感系数的关系表示为M  k L1L2
k为耦合系数，0  k  1，只有理想耦合时k  1
5.11 自感磁能和互感磁能
1.自感磁能(magnetic energy of self-induction)
电源克服自感电动势做功dA   L idt
di
 L  L
dt
故dA  Lidi
I
 A   dA   Lidi  12 LI 2
0
0
A '    L idt   L  idi  12 LI 2
I
自感磁能：W自  12 LI 2
2.互感磁能(magnetic energy of mutual induction)
dA1   21i1dt，dA2  12i2 dt


0
0
A  A1  A2     21i1dt   12i2 dt
di2
di1 

   Mi1
 Mi2  dt
0
dt
dt 

 d
I1I 2
M
(i1i2 )dt M  d (i1i2 ) MI1I 2
0 dt
0
 互感磁能 : W互  MI1 I 2

互感磁能可为负值，自感磁能一定是正值。
3.总磁能
在有两个线圈时，磁能包括三部分：两线圈各自的自感磁能，
还有它们之间的互感磁能。
1
1
2
总磁能：Wm  W自1  W自2  W互  L1 I1  L2 I 2 2  MI1 I 2
2
2
由于M 12  M 21  M ，写成对称形式：
1
1
1
1
2
2
Wm  L1 I1  L2 I 2  M 12 I1I 2  M 21I 2 I1
2
2
2
2
1 k
1 k
2
推广到k 个线圈，Wm   Li I i   M ij I i I j
2 i 1
2 ij 1
(i  j )
4. M12  M 21的证明
先建立I1，再建立I 2，并维持I1不变，
I2
W互  A     21I1dt  M 21  I1di2  M 21I1I 2
0
先建立I 2，再建立I1，并维持I 2不变，
同样可算出储存的互感磁能为M 12 I 2 I1
可以说明，互感磁能与建立电流的先后次序无关，
因此M12 I 2 I1  M 21I1I 2
故得M 12  M 21
5.12 LR电路
把开关拨向1：
di
di
产生感应电动势L ，净电动势：  L
dt
dt
di
di
   L  Ri，由上式得L  Ri  
dt
dt
解得：i 

R
 k1e
R
 t
L
，
(k1  e k )
初始条件t  0, i  0代入解得：i 

(1  e
R
 t
L
)
R
从开始发生变化到逐渐趋于稳定状态的过程叫做暂态过程
L
( transient process) 。时间常数 = 是电流从0增加到稳定值
R
的63. 2%所需的时间。当t  5 , i  0.994I 0
当把开关从1拨到2时：
R
 t
di
di
 L  iR 或 L  iR  0，解得：i  K 2e L
dt
dt
代入初始条件t  0, i 

R
，可得：i 

R
e
R
 t
L
LR电路中之所以能出现暂态过程，一是因为
电路受到阶跃电压的作用，另一个原因是电
路本身的内在条件，即电感储能元件所储存
的磁能不能发生突变。
5.13 RC电路与LCR电路
1.RC电路
q
当把开关K拨向1时，电容器开始充电:  =  iR
C
当电容器极板上所带电量为C时，充电完毕。
dq
dq q
因为i 
, 所以R   
dt
dt C
充电过程初始条件：t  0时，q  0
 解得q  C (1  e

1
t
RC
)
这时将开关拨向2，电容器通过电阻R放电：R
dq q
 0
dt C
放电过程初始条件：t  0时，q0  C  解得q  C e

1
t
RC
可见，RC电路充电和放电过程中q按指数规律变化，
充放电过程的快慢由 =RC的大小表示。 =RC称为
RC电路的时间常数。
电容器上的电压uC  q 为：
C
充电：uC   (1  e

1
t
RC
)，放电( discharge) ：uC   e

1
t
RC
2.LCR电路
di
q  (k 接于1)
电路的微分方程: L  iR   
dt
C 0 (k 接于2)
dq
d 2q
dq q 
将i 
代入，得L 2  R   
dt
dt
dt C 0
非齐次方程( nonuniform equation ) 的通解
=特解  齐次方程( uniform equation ) 的通解
非齐次方程的特解是q  C
R
R2
1
R C
令 = ， =

， =
（阻尼度）
2
2L
4 L LC
2 L
齐次方程的通解：
( 1) 当  1时，q  e t ( Ae  t  Be   t ) （过阻尼( overdamping) ）
( 2) 当  1时，q  ( A ' B ' t )e  t （临界阻尼( critical damping) ）
( 3) 当  1时，q  ke t cos(t   ) （阻尼振荡( damped oscillation ) ）
1
R2
式中 =
 2
LC 4 L
第五章
小结
一、电磁感应
d
1、法拉第定律:   
dt
2、楞次定律: 感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因
3、动生电动势：  （v  B） dl
(L)
B
d
4、感生电动势：   E旋  dl   
dS  
t
dt
( L)
(S )
二、自感与互感
 =LI

1、自感：
dI




L

dt
dI1

 2  M


=
M
I
 12 12 1

dt
2、互感：



=
M
I
 21
21 2
   M dI 2
 1
dt
3、串联: ( 1) 顺接L  L1  L2  2M ( 2) 反接L  L1  L2  2M
1 2
4、磁能：( 1) 自感磁能W自  LI
( 2) 互感磁能W互  MI1 I 2
2
1
1
2
( 3) 总磁能Wm  L1 I1  L2 I 2 2  MI1 I 2
2
2