Transcript 质点系动量定理
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第十一章
动量定理
Slide 2
§11－1 动量与冲量
一、动量
1、质点的动量： P m v
大小为 mv ；
方向由 v 确定；
单位为：kg m / s
2、质点系的动量： P m v i
i
质点系总质量为： M
rc
m i ri
mi
m
i
M rc m i ri
Slide 3
求导后得：
M vc
mv
i
i
P M vc
即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系
的动量。
计算方法：投影法
PX mv cx m x c
Py mv cy m y c
Pz mv cz m z c
Slide 4
二、冲量
1、常力的冲量：
I Ft
2、变力的冲量
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
dI F d t
则力在时间段 t t 内的冲量为：
1
I
t2
t1
F dt
2
单位为：N·s
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§11－2 动量定理
一、质点的动量定理
牛顿第二定律： F m a
dv
质点运动微分方程： a
dt
dv
F ma m
（m为常量，）
dt
F
d
dt
m v
d P F dt
d m v F dt
－－动量定理微分式
即：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
Slide 6
时间段：t t
1
速度变化 v v
1
2
2
对该式积分： d m v F dt
m v 2 m v1
t2
F dt I －－动量定理的积分式
t1
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
质点的力在此段时间内的冲量。
二、质点系动量定理
1、外力：所研究得质点系之外的物体作用在质点系
中各质点上的力；用 F 表示。
e
i
Slide 7
质点系外力： R
e
F
e
i
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互
作用力；用 F 表示。
i
i
质点系内力： R
i
F
i
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
i
R
F
i
i
0
i
M
o
m o Fi i 0
Slide 8
对于单个质点的动量定理为：
i
(e)
d ( m i vi ) F i d t F i d t
质点系动量定理为：
e
i
d ( m i vi ) F i d t F i d t
e
e
d P F i d t R dt
或 dP
dt
R
e
质点系动量定理微分式
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外
力的矢量和。
Slide 9
对上式积分得：
m v 2 m v1
t2
F dt I －－质点系动量定理积分式
t1
即：在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于在该
时间段内作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
应用时应使用投影形式
微分式投影：
dpx
dt
F x e
dp y
dt
Fy
(e)
dpz
dt
Fz( e )
积分式投影：
p 2 x p1 x I x( e )
p 2 y p 1 y I y( e )
p 2 z p 1 z I z( e )
Slide 10
三、质点系动量守恒定理
若 F
i
(e)
0 ；则 P m v C （常矢量）。
i
i
Slide 11
§11－3 质心运动定理
1、质心：质点系的质量中心
质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质
量的分布情况有关。
2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
xC
m i xi
M
yC
mi yi
M
zC
mi zi
M
用矢径描述的矢量表示法
质点系有n个质点组成，各质点的质量为m i ，且其
在固定直角坐标中的位置矢径为：
Slide 12
r x i y j z k
c
c
c
mi ri
rc
mi
或
c
3、质心运动定理
mi ri
rc
mi
m r m r
M rc m i ri
i
c
i
i
求导后得： M v c m i v i
故动量定理微分式可写为：
d ( M vc )
dt
F
(e)
i
M
d vc
dt
F
(e)
i
Slide 13
由运动微分方程：
dvc
ac
dt
M a c Fi ( e )
－－质心运动定理
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系
的外力的矢量和。
讨论？？
质点系质心的运动，是否可以看成为一个质点的
运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点？
Slide 14
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运
动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。
同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外
力才能改变质心的运动。
Slide 15
例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻
件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s.
求锤对锻件的平均压力。
解：取锤为研究对象。作用在锤
上的力有重力Q锤与锻件接触后
锻件的反力。但锻件的反力是变
力。设平均反力为N.
锤下落高度H所需时间T为：
T
2H
g
h
Slide 16
取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv 2 mv 1 p
由题意知， v 1 0 ，经过（T+t）秒后，p 0。则有
p Nt Q (T t ) 0
由此得
N
Q(
1
N 300
0 . 01
T
t
1
1) Q
t
2 1 .5
9 .8
1 16 . 9 KN
2H
g
1
Slide 17
例2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量均 m
为,OC=CA=CB= l 。
求在图示位置曲柄以角速度转动时椭圆规的动量。
A
vA
解：取整个刚体系
统为研究对象。
P
vC
整个系统的动量为
C
O
vB
B
Slide 18
p x mv 1 cos 90 t 2 mv 2 cos 90 t m v B
1
5 m 4 m l sin t
2
p
px py
2
2
1
2
5 m 4 m l
p y mv 1 sin 90 t 2 mv 2 sin 90 t m v A
1
5 m 4 m l cos t
2
tan
py
px
cot t
Slide 19
例3：曲柄连杆滑块机构，如图所示，设曲柄OA与
连杆AB的质量均为 m 1 ，长度均为2 l ，滑块B的质
量为 m 2，在其上作用有水平向左的常力P，各处摩
擦不计，曲柄在力偶M作用下以角速度 做匀速转
动。
求在曲柄轴处沿水平
方向的约束反力。
Slide 20
解：取整体为研究对
象，其受力如图所示，
系统质心的位置：
xC
mx
m
i
Ci
i
4 m 1 m 2
2 m1 m 2
1
m1 m 2 m 3
l cos t
m l cos t m
1
1
3 l cos t m 2 4 l cos t
Slide 21
将上式对时间求二阶导数，有
xC
4 m 1 m 2
2m1 m 2
l cos t
2
根据质心运动定理，有
4 m 1 m 2 l
2
cos t F ox P
F ox P 4 m 1 m 2 l
2
cos t
第十一章
动量定理
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§11－1 动量与冲量
一、动量
1、质点的动量： P m v
大小为 mv ；
方向由 v 确定；
单位为：kg m / s
2、质点系的动量： P m v i
i
质点系总质量为： M
rc
m i ri
mi
m
i
M rc m i ri
Slide 3
求导后得：
M vc
mv
i
i
P M vc
即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系
的动量。
计算方法：投影法
PX mv cx m x c
Py mv cy m y c
Pz mv cz m z c
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二、冲量
1、常力的冲量：
I Ft
2、变力的冲量
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
dI F d t
则力在时间段 t t 内的冲量为：
1
I
t2
t1
F dt
2
单位为：N·s
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§11－2 动量定理
一、质点的动量定理
牛顿第二定律： F m a
dv
质点运动微分方程： a
dt
dv
F ma m
（m为常量，）
dt
F
d
dt
m v
d P F dt
d m v F dt
－－动量定理微分式
即：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
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时间段：t t
1
速度变化 v v
1
2
2
对该式积分： d m v F dt
m v 2 m v1
t2
F dt I －－动量定理的积分式
t1
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
质点的力在此段时间内的冲量。
二、质点系动量定理
1、外力：所研究得质点系之外的物体作用在质点系
中各质点上的力；用 F 表示。
e
i
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质点系外力： R
e
F
e
i
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互
作用力；用 F 表示。
i
i
质点系内力： R
i
F
i
i
质点系内力系的主矩、主矢为：
i
R
F
i
i
0
i
M
o
m o Fi i 0
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对于单个质点的动量定理为：
i
(e)
d ( m i vi ) F i d t F i d t
质点系动量定理为：
e
i
d ( m i vi ) F i d t F i d t
e
e
d P F i d t R dt
或 dP
dt
R
e
质点系动量定理微分式
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外
力的矢量和。
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对上式积分得：
m v 2 m v1
t2
F dt I －－质点系动量定理积分式
t1
即：在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于在该
时间段内作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
应用时应使用投影形式
微分式投影：
dpx
dt
F x e
dp y
dt
Fy
(e)
dpz
dt
Fz( e )
积分式投影：
p 2 x p1 x I x( e )
p 2 y p 1 y I y( e )
p 2 z p 1 z I z( e )
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三、质点系动量守恒定理
若 F
i
(e)
0 ；则 P m v C （常矢量）。
i
i
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§11－3 质心运动定理
1、质心：质点系的质量中心
质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质
量的分布情况有关。
2、质心的确定
直角坐标下的质心计算公式：
xC
m i xi
M
yC
mi yi
M
zC
mi zi
M
用矢径描述的矢量表示法
质点系有n个质点组成，各质点的质量为m i ，且其
在固定直角坐标中的位置矢径为：
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r x i y j z k
c
c
c
mi ri
rc
mi
或
c
3、质心运动定理
mi ri
rc
mi
m r m r
M rc m i ri
i
c
i
i
求导后得： M v c m i v i
故动量定理微分式可写为：
d ( M vc )
dt
F
(e)
i
M
d vc
dt
F
(e)
i
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由运动微分方程：
dvc
ac
dt
M a c Fi ( e )
－－质心运动定理
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系
的外力的矢量和。
讨论？？
质点系质心的运动，是否可以看成为一个质点的
运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点？
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结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运
动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。
同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外
力才能改变质心的运动。
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例1、锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻
件上，如图所示，锻件发生变形，历时t=0.01s.
求锤对锻件的平均压力。
解：取锤为研究对象。作用在锤
上的力有重力Q锤与锻件接触后
锻件的反力。但锻件的反力是变
力。设平均反力为N.
锤下落高度H所需时间T为：
T
2H
g
h
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取铅垂轴y向上为正，根据动量定理有：
mv 2 mv 1 p
由题意知， v 1 0 ，经过（T+t）秒后，p 0。则有
p Nt Q (T t ) 0
由此得
N
Q(
1
N 300
0 . 01
T
t
1
1) Q
t
2 1 .5
9 .8
1 16 . 9 KN
2H
g
1
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例2：椭圆规如图所示，已知曲柄OC的质量为m，
规尺AB的质量为2m , 滑块A与B的质量均 m
为,OC=CA=CB= l 。
求在图示位置曲柄以角速度转动时椭圆规的动量。
A
vA
解：取整个刚体系
统为研究对象。
P
vC
整个系统的动量为
C
O
vB
B
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p x mv 1 cos 90 t 2 mv 2 cos 90 t m v B
1
5 m 4 m l sin t
2
p
px py
2
2
1
2
5 m 4 m l
p y mv 1 sin 90 t 2 mv 2 sin 90 t m v A
1
5 m 4 m l cos t
2
tan
py
px
cot t
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例3：曲柄连杆滑块机构，如图所示，设曲柄OA与
连杆AB的质量均为 m 1 ，长度均为2 l ，滑块B的质
量为 m 2，在其上作用有水平向左的常力P，各处摩
擦不计，曲柄在力偶M作用下以角速度 做匀速转
动。
求在曲柄轴处沿水平
方向的约束反力。
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解：取整体为研究对
象，其受力如图所示，
系统质心的位置：
xC
mx
m
i
Ci
i
4 m 1 m 2
2 m1 m 2
1
m1 m 2 m 3
l cos t
m l cos t m
1
1
3 l cos t m 2 4 l cos t
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将上式对时间求二阶导数，有
xC
4 m 1 m 2
2m1 m 2
l cos t
2
根据质心运动定理，有
4 m 1 m 2 l
2
cos t F ox P
F ox P 4 m 1 m 2 l
2
cos t