Transcript 第十一章动量定理

第十一章
动量定理
主要内容
§11.1 质点及质点系的动量
§11.2 力的冲量
§11.3
动量定理
§11.4 质心运动定理
动量定理
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。
对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方
程， 联立求解它们即可。
实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题）
非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点
的运 动,仅需要研究质点系整体的运动情况。
从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要
讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动
能定理及由此推导出来的其它一些定理)。它们和牛顿定律
一样，只适用于惯性坐标系。
动量定理


F  m a 推导出来。具有简
它们都可以从动力学基本方程
明的数学形式，明确的物理意义， 表明两种量 —— 一种是
运动特征量(动量、动量矩、动能等)，一种是力的作用量(冲
量、力矩、功等) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机
械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答
动力学问题非常方便简捷 。
本章研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变
与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要
形式——质心运动定理。
§11.1 质点及质点系的动量
1、质点的动量
质点的质量与速度的乘积，称为该质点的动量

1）质点的动量是矢量，它的方向与质点速度 v 的方向一致
2）动量的国际单位是 kg  m / s
质点动量的矢量形式


p  mv
动量在空间直角坐标系中的投影形式 p x  m v x
py  mvy
pz  mvz




m v  mv x i  mv y j  mv z k
§11.1 质点及质点系的动量
2、质点系的动量
质点系中各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
n
P 
mv
i
n
i

i 1
m
dri
i
dt
i 1

d
n
mr

dt
i
i 1
n
mi
令m  
为质点系的总质量，定义质点系质量中心（质
i 1
n
心）C的矢径为
mr
rc 
则
P 
d

i i
i 1
m
n

dt
i 1
mri 
d
dt
( m rc )  m v c
质点系的动量等于其全部质量与质心速度的乘积，动量的
方向与质心速度的方向相同。
§11.1 质点及质点系的动量
质点系动量在直角坐标系oxyz下的投影表达式为：
Px  m v cx
Py  m v cy
Pz  m v cz
例1 长为 l ，质量为m 的匀质细杆，在平面内绕 O 点转动，
角速度为  ，求细杆动量。
解：细杆质心的速度
vc 
l

2
则细杆的动量为 p  m v c 
方向与 v c 相同
l
2
m
O

C
vc
§11.1 质点及质点系的动量
例2 如图匀质滚轮，质量为 m ，轮心速度为 v c ，
则动量为 p  m v c
C
vc
例3 如图绕中心转动的匀质
轮，无论有多大的速度
和质量，由于质心不动，
其动量总是零。
vc  0
C

§11.2 力的冲量
1、力的冲量
作用在物体上的作用力与其作用时间的乘积，称为力的冲量。
1）力 F 是常矢量： I  F t
2）力 F 是变矢量：
力的元冲量 d I  F d t

力 F 在有限时间间隔内的冲量为 I 
冲量的国际单位是 N  s  kg  m s

t2
t1
dI 

t2
t1
Fdt
§11.2 力的冲量




设力 F 在直角坐标系下的解析投影式 F  F x i  F y j  F z k
则冲量在x,y,z三个轴上的投影式分别为
Ix 
Iy 
Iz 
2、合力的冲量

t2
t1


t2
t1
t2
t1
Fx d t
Fy dt
Fz d t
§11.2 力的冲量
如果有 F1 , F2 ...... Fn 这n个力组成的共点力系作用在物体上，
合力为 R ，则共点力系的合力在时间间隔 t1 t 2内的冲量为
I 

t2
t1

t2
n
t2
 
Rdt 
t1
t1
i 1
n
Fn d t 

i 1

Fi d t 
t2
t
1
t2
F1 d t 
t1

t2
t1
F 2 d t  ......
n
Fi d t 
I
i
i 1
共点力系的合力的冲量等于力系中各分力的冲量的矢量和。
§11.3 动量定理
1、质点的动量定理
微分形式： F  m a  m dv  d ( m v )  dP
dt
或
dt
dt
n
dP  d ( m v )  F dt 
F
i
 dt
i 1
质点动量的微分等于作用于质点上所有力的元冲量的矢量和 。
积分形式： P2  P1  m v 2  m v1 

t2
t1
n
F dt  I 
I
i
i 1
质点动量在有限时间间隔内的改变等于作用在质点上的所有
力在这段时间间隔内的冲量的矢量和
§11.3 动量定理
2、质点系的动量定理
1）微分形式：
设质点系有n个质点，第i个质点的质量为 m i ，速度为 vi ，
(e)
外界物体对质点的作用力为 Fi ，称为外力，质点系内其他质
点对该质点的作用力为 Fi ( i ) ，称为内力。
根据质点的动量定理有
d ( m i v i )  ( Fi
(e)
 Fi ) dt  Fi
(i )
(e)
dt  Fi dt
(i)
这样的方程共有n个，将这n个方程两端分别相加，得
n
n
n

d ( m i vi ) 
i 1

Fi
(e)
dt 
i 1

(i)
Fi dt
i 1
因为质点系内质点相互作用的内力总是大小相等，方向相反
，且成对地出现，相互抵消，因此内力冲量的矢量和等于零。
n

i 1
Fi dt  0
(i )
§11.3 动量定理
n
n
又因  d ( m v )  d  ( m v )  dp ，于是质点系动量定理的微分形式为
i
i
i
i 1
i
i 1
n
dp 

n
Fi
(e)
dt 
i 1
dP
即

dt
d
dt

dI i
(e)
i 1
n
( m vc ) 

Fi
e
i 1
质点系动量定理的微分形式：质点系的动量对时间的一阶导
数等于作用在该质点系上的所有外力的矢量和。
向直角坐标系oxyz投影可得：
dPx
dt
n


i 1
e
ix
F ,
dPy
dt
n


i 1
e
iy
F ,
dPz
dt
n


e
Fiz
i 1
质点系的动量在某坐标轴上的投影对时间的一阶导数，等于
作用在该质点系上的所有外力在该轴上的投影的代数和。
§11.3 动量定理
2)积分形式:
P2  P1 

p2
p1
n
dP 

i 1
t2
t1
n
Fi  dt 
e
I
e
i
i 1
质点系动量定理的积分形式：在某一段时间间隔内，质点系
动量的改变，等于在这段时间间隔内作用于质点系上的所有
外力的冲量的矢量和。
投影到直角坐标轴上得：
n
P2 x  P1 x 
I
i 1
n
e
ix
, P2 y  P1 y 
I
i 1
n
e
iy
, P2 z  P1 z 
I
e
iz
i 1
在某一段时间间隔内质点系的动量在某一轴上的投影的增量
等于作用于质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量在
同一坐标轴上投影的代数和。
§11.3 动量定理
3、质点系动量守恒定律
如果作用于质点系的外力的主矢恒为零时，质点系的动量保

持不变，即

dP

e
Fi  0
则 dt  0 从而 P2  P1  M V c  C
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零，
则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。
若

n
即若有 
F ix  0
e
则 P2 x  P1 x  M V cx  C
i 1
以上结论称为质点系动量守恒定律
质点系的内力可以改变质点系中各质点的动量，但不能改变
质点系的总动量，只有外力才能改变质点系的总动量。
火箭发射就是动量守恒的实例
§11.3 动量定理
例 题 11-1
电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是m1，转
子的质量是m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造和安装的
误差，使转子的质心 O2 对它的轴线有一个很小的偏心距 b（图
中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度  转动时，电动
机所受的总水平力和铅直力。
y
O2
ω O1
b
ωt
x
W2
W1
Fx
Fy
§11.3 动量定理
例 题 11-1
运 动 演 示
§11.3 动量定理
例 题 11-1
y
解:取整个电动机（包括定子和转子）作为研
究对象。选坐标系如图所示。
质心 C 的运动微分方程为
( m1  m 2 ) y C  F y  m1 g  m 2 g
(2)
质心 C 的坐标为
yC 
m1  m 2
m 1 y1  m 2 y 2
m1  m 2


m2
m1  m 2
m2
m1  m 2
b
ωt
x
W1
(1)
m1 x1  m 2 x 2
ω O1
W2
( m1  m 2 ) x C  F x
xC 
O2
b cos  t
b sin  t
Fx
Fy
§11.3 动量定理
例 题 11-1
y
从而求得质心加速度在坐标系上的投影
xC  
yC  
m2
m1  m 2
m2
m1  m 2
O2
b cos  t
2
ω O1
b
ωt
x
W2
b sin  t
2
把上式代入式(1)和(2)，即可求得
Fx =  m2bω2cos ωt
Fy = (m1 + m2)g  m2bω2sinωt
W1
Fx
Fy
§11.3 动量定理
例 题 11-2
A
φ
B
物块A可沿光滑水平面自由滑动，
其质量为mA；小球B的质量为mB ，
以细杆与物块铰接，如图所示。
设杆长为l，质量不计，初始时
系统静止，并有初始摆角φ0 ；
释 放 后 ， 细 杆 近 似 以
规律摆动（k为已知常数），求
   0 cos kt
物块A的最大速度。
§11.3 动量定理
例 题 11-2
取物块和小球为研究对象，其上
解：
的重力以及水平面的约束力均为铅垂
v
A
方向。此系统水平方向不受外力作用，
则沿水平方向动量守恒。
φ
B
vr
细杆角速为     k0 sin kt ，
当 sin kt  1 时，其绝对值最大，此时
应有 cos kt  0 ，即   0 。
由此，当细杆铅垂时小球相对于物
块有最大的水平速度，其值为
v r  l max  k  0 l
§11.3 动量定理
例 题 11-2
当此速度vr向左时，物块应有向右的绝对
速度，设为v，而小球向左的绝对速度值
v
A
为va=vr－v。根据动量守恒条件，有
m A v  m B (vr  v )  0
解出物块的速度为
φ
v 
vr
B
m B vr
mA  mB

km B  0 l
mA  mB
当 sin kt  1 时，也有  0 。此时小球
相对于物块有向右的最大速度 kφ0l ，可
求得物块有向左的最大速度
v
km B  0 l
mA  mB
§11.3 动量定理
例 题 11-3
图示单摆B的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平
移的滑块A上，设A ， B的质量分别为mA ，mB ， 运动开始
时，x  x 0 , x  0,    0 ,   0 。试求单摆B的轨迹方程。
y
O
x
A
x
φ
B
§11.3 动量定理
例 题 11-3
解：以系统为对象，其运动可用滑块A的坐标x和单摆摆动的角度φ
两个广义坐标确定。
由于沿x方向无外力作用，且初始静止，系统沿x轴的动量守恒，质
心坐标xC应保持常值xC0。
则
xC 
m A x  m B ( x  l sin  )
解出
mA  mB
x  xC 0 

m A x 0  m B ( x 0  l sin  0 )
mA  mB
mB
mA  mB
y
 xC 0
O
φ
单摆B的坐标为
y B   l cos 
x
mA g
l sin 
x B  x  l sin   x C 0 
x
A
mA
mA  mB
l sin 
B
mB g
§11.3 动量定理
例 题 11-3
x B  x  l sin   x C 0 
mA
mA  mB
l sin 
y
O
y B   l cos 
x
A
mA g
x
φ
消去φ ，即的到单摆B的轨迹方程：
(1 
mB
mA
) ( x B  xC 0 )  y  l
2
2
2
B
2
B
mB g
x  xC 0
是以 x= xC0 , y=0 为中心的椭圆方程，因此悬挂在滑块上的单摆也
称为椭圆摆。
§11.4 质心运动定理
n
1、质量中心
mr
n
mr
i i
i 1
n
rc 

i i
i 1

m
mi
i 1
质心位置在直角坐标系的投影形式
n
mx
i
xc 
n
i
i 1
n

mx
i

n
i
i 1
m
mi
i 1
mz
i
i 1
n

i 1
mi
n
i
mz
i

i 1
m
i
i
yi
i 1
n

i 1
n
zc 
, yc 
m
n
mi

m
i 1
m
i
yi
§11.4 质心运动定理
2、质心运动定理
由动量定理的微分形式
dP

dt
n
d
dt
( m vc ) 
F
e
i
i 1
对于质量不变的质点系
m
d
dt
或
n
(vc ) 
m ac 

e
i 1
n

Fi
Fi
e
i 1
质点系的质量和其质心加速度的乘积，等于作用于质点系的所
有外力的矢量和。这就是质心运动定理。
质点系的内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的
运动。
§11.4 质心运动定理

 F
 F
m a cx 
m a cy
m a cz
e
Fix
e
iy
e
iz
质心运动定理的直角坐标投影形式：质点系的质量和质心加速
度在某一坐标轴上的投影的乘积等于作用在质点系上的所有外
力在同一坐标轴上投影的代数和。
3、质点系质心运动守恒定律
e
（1）若  Fi  0 ，则 ac  0, vc  常量
即：如果作用在质点系上的外力的矢量和恒等于零，则质心
作惯性运动。
§11.4 质心运动定理
（2）若  Fix  0 ，则 a cx  0 ，v cx  C
即：如果作用在质点系上的外力在某一轴上投影的代数和
恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变（质心沿
该轴作惯性运动）
e
以上结论，称为质点系质心运动守恒定律 。
§11.4 质心运动定理
例 题 11-4
曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速
度ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均质
杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2 。试求支座O处的水平约
束力。
y
A
ω
O
φ
B
x
§11.4 质心运动定理
例 题 11-4
解：选取整个机构为研究对象，其水平
方向只承受O处约束力的作用。
列出质心运动定理在x轴上的投影式
(2 m1  m 2 ) a C x  Fx
y
（a）
A
此系统质心坐标为
xC 
2( m 1  m 2 )
2 m1  m 2
ω
l cos  t
a C x  xC 
 2 ( m1  m 2 )
2 m1  m 2
φ
Fx O
x
FN
Fy
将xC对时间取二阶导数
B
l  co s  t
2
2
代入上式（a），求得 Fx  (2 m1  m 2 )
d xC
dt
2
  2 l ( m1  m 2 ) cos  t
2
§11.4 质心运动定理
例 题 11-4
整个系统在铅垂方向除有重力外，O，B两
处受有y方向约束力Fy和FN。列出质心运动定理
在y轴上的投影式
(2 m1  m 2 ) a C y  F y  F N  2 m1 g  m 2 g
y
A
ω
Fx
B
φ
x
2
O
Fy
质心yC对时间取二阶导数，代入上式，
求得
FN
F y  FN  2 m1 g  m 2 g  (2 m1  m 2 )
d yC
dt
2
 2 m1 g  m 2 g   lm 1 sin  t
2
以整个系统为研究对象，只能求出O，B两处y向约束
反之和，而不能分别求出各自的值。
§11.4 质心运动定理
例 题 11-5
曲柄滑块机构如图所示。设曲柄OA受力偶作用以匀角速
度ω转动，滑块B沿x轴滑动。若OA=AB=l，OA及AB皆为均
质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2 。试求此系统的质心
运动方程、轨迹以及此系统的动量。
y
A
ω
O
φ
B
x
§11.4 质心运动定理
例 题 11-5
解：设 t=0 时OA 杆水平，则有 φ =ωt 。
y
A
ω
Fx O
Fy
由式
B
φ
mx
m
m y


m
xC 
i

i
yC
FN
i
i
i
i
m
i
x
mx
i

m
i
yi
m
质心C的坐标为
xC 
m1
l
2
 m1
3l
 2 m 2l
2
2 m1  m 2
yC 
2 m1
cos  t 
2( m 1  m 2 )
2 m1  m 2
l cos  t
l
m1
2 sin  t 
l sin  t
2 m1  m 2
2 m1  m 2
§11.4 质心运动定理
例 题 11-5
上式也就是此系统质心C的运动方
程。由上二式消去时间t，得
y
vC
ω
Fx
O
Fy
φ
A
B
x
C


xC

 2( m 1  m 2 ) l
 2 m 1  m 2
2




yC
 
m 1l



 2 m 1  m 2
2


 1


FN
即质心C的运动轨迹为一椭圆，如图中虚
线所示。应该指出，系统的质心一般不在
其中某一物体上，而是空间的某一特定点。
§11.4 质心运动定理
例 题 11-5
为求系统的动量，由动量定理投影式，
得
p x  m vC x , p y  m vC y ,
y
vC
ω
此例中 m   mi  2m1  m2
Fx
O
由质心公式得
vC x  xC 
vC y  y C 
 2( m 1  m 2 )
2 m1  m 2
m1
2 m1  m 2
B
x
C
FN
Fy
l  sin  t
l  cos  t
则得系统动量沿x，y轴投影：
p x   2( m1  m 2 ) l  sin  t
p y  m 1l  co s  t
φ
A
系统动量的大小为
p 
 l
px  py
2
2
4 ( m 1  m 2 ) sin  t  m 1 co s  t
2
2
2
2
§11.4 质心运动定理
例 题 11-6
如图所示，设电动机没用螺栓固定，定子的质量是 m1 ，
转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造和安
装的误差，使转子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏心距 e。
各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度ω转动
时电动机外壳的运动。
y
ω O1
e O
2
φ
O
x
§11.4 质心运动定理
例 题 11-6
解：电动机受到的作用力有外壳的重力，转
子的重力和地面的法向力。
y
因为电动机在水平方向没有受到外力，
且初始为静止，因此系统质心的坐标xC保持
ω O1
m1g
不变。
e O
2
φ
取坐标轴如图所示。转子在静止时，设
m2g
x
O
a
FN
xC1=a。当转子转过角度φ时，定子应向左移
动，设移动距离为s。则质心坐标为
s
xC 2 
m1 ( a  s )  m 2 ( a  e sin   s )
m1  m 2
§11.4 质心运动定理
例 题 11-6
因为在水平方向质心守恒，所以有xC1= xC2 ，
m2
解得
s
e sin 
m1  m 2
y
ω O1
由此可见。当转子偏心的电动机未用螺栓固
定时，将在水平面上作往复运动。
e O
2
m1g φ
m2g
x
O
a
顺便指出，支承面的法向反力的最小值求
得为
F y m in  ( m 1  m 2 ) g  m 2 e
s FN
当ω>
m1  m2
m2 e
g
时，有
2
Fy <
min0，如果电
动机未用螺栓固定，将会离地跳起来。