Transcript 稳恒磁场
第十章 稳恒磁场 基本内容：讨论恒定电流激发的 磁场的规律和性质 一基本磁现象 １．安培关于物质磁场本 质的假设 一切磁场现象起源于电荷的运动： 任何物质中的分子，都存在有回路电 流——分子电流，分子电流相当于一个 基本磁场 ２．磁场 运动电荷（电流）激发磁场，其周 围存在着磁场，磁场对运动电荷、载流 导体和永久磁铁等有磁场力的作用 ３．磁感应强度：描述磁 场性质的重要物理量 与电学类似，通过运 动电荷在磁场中所受的作用力来定量描 述磁场 在磁场中某点Ｐ处，放入一速度 v 运动的正电荷 q0，其受磁场力 F （１）大小与q0和 v 有关，但 F v （２） v 在某一特定方向（或反平行） 时，电荷不受力（此方向为磁场方向） （３）当 v 与上述磁场方向 垂直时，受力最大 Fm Fm (B 对p点有确定值） q0v 应反映磁场性质 Fm 定义：大小 B q0 v 方向：矢量关系式 F q0v B ， 或稳定时，该点处小磁针Ｎ极指向 二．毕奥—萨伐尔定律 （计算恒定电流所激发的 磁场的分布） １．毕奥—萨伐尔定律 任意载流为Ｉ的导体，所激发的磁场。 取电流元 Id（方向：电流的方向）， l 其在Ｐ点的磁场强度 dB 为 Idl sin 0 大小 dB 2 Idl 4 r p 方向 Idl r er I r 式中 0 4 10 N A ， 真空中磁导率 是 Idl与矢量 r 的夹角 也可写成 dB 0 Idl er 2 4 r 0 Idl r 或 dB 3 4 r 因此，由磁场叠加原理可得到载流 导线在Ｐ点的磁感应强度 7 0 B dB 4 2 Idl er 2 r ２．定律应用举例 例题一：载流长直导线的 磁场。一通有电流Ｉ的长 直导线，求导线外任一点Ｐ的磁感应强 度 B ，已知Ｐ与导线垂直距离为 r0 解：建立图示坐标系，取电流元 Idz 0 Idz sin dB 2 4 r 方向：图示 （负ox方向） z Idz z o x 1 dB 2 r r0 p y 所有电流元在Ｐ点的 dB 方 向相同，则 0 Idz sin B dB 2 4 r 因 z r0 ctg， z （为Idz与r 夹角） dz r0 csc d 2 r0 r r0 csc sin Idz z r o r0 x 1 dB 2 p y 所以 0 Ir0 cse d sin B 2 2 4 r0 cse z 2 0 I sin d 4r0 Idz z o 0 I (cos 1 cos 2 ) 1 4r0 x 2 2 dB 1 1， 2 分别是直电流 p 始点与终点处电流流向与 r 的夹角 y 若直导线视为“无限 长”，则1 0， 2 0 I B 2r0 若1 ， 2 （半“无限长”直流导 z 2 2 线） dB Idz 0 I B z p o 4r0 y 1 x 例题二．圆形载流导线的 磁场。一半径为Ｒ载流为 Ｉ的圆形电流，求其轴线 上任一点Ｐ的磁感应强度，已知Ｐ点离 y 圆心距离为ｘ Id l 解：取oxyz坐标系， er 在圆上取电流元 Idl r o 0 Idl er B 2 z 4 r 图示 Idl 与 r 夹角 2 x I dB pdB dB x x Idl 0 大小 dB 2 2r r 方向：图示 dB r y 将 dB 分解为： Id l dBx dB cos er o dB dB sin 从对称性分析 z 知：dB 的总和等于 零 r x I dB pdB dB x x B dBx dB cos 0 Idl cos 2 4 r 2R 0 I y cos dl 2 0 Id l 4r e 2 o 0 IR r 2( R x ) 2 2 32 r x z I dB pdB dB x x 方向：沿ｘ正向（或右手法则定出） 讨论： （１）当ｘ＝０（圆电流 中心处） 0 I B 2R 0 IR IS 0 （２）x R B 3 3 2 x 2 x 引入 m Isen（磁矩），在 称 x R 2 0 m 0m B e 3 3 n 2 x 2x 0 2m 1 2p 或写成 B （电偶极子 ） E 3 3 40 x 4 x 为磁偶极子 例题三．载流直螺线管的 磁场。长为 l ，半径为Ｒ 的载流Ｉ的密绕螺线管， N 螺线管匝数为 N ( n ) 求管内轴线上 l 的任一点处的 B 解：把长 直螺线管 看作有许 多圆形电 流组成。 I I 1 2 x1 x2 o x dx x 图示坐标系中，取一宽度 N 为dx，电流 dI ( l dx) I 圆电流，其在Ｐ点的磁场 由 B 0 R I 2 2( R x ) 2 0 R dI dB 2 2 32 2( R x ) 方向 沿着轴向 2 2 32 比较得 1 2 x1 x2 o x dx x 由于圆形电流对Ｐ点 的磁感应强度方向都沿ox 轴，所以螺线管在Ｐ点 2 0 R dI B dB 0 nIR dx 2 2( R x ) 2( R x ) 0 nI x2 x1 [ 2 2 ] 2 12 2 12 2 ( R x2 ) ( R x1 ) 或写成 B 0 nI 2 2 2 32 2 1 2 32 2 x1 (cos 2 cos 1 ) x2 o x dx x 方向：右手定则 两种特殊情况 ( 1 ) l R 则 1 ， 2 0 无限长直螺线管 B 0 nI （２）半“无限长”螺线管轴线端点 处 1 2 ， 2 0 1 B 0 nI 2 例题四．运动电荷的磁场。 电流激发的磁场可以视为 所有运动电荷所激发的磁 场叠加,取载流导线上电流 元Idl，其截面积为 S ，单位体积内作定 向运动的电荷数为 n ，定向运动速度为v 每个电荷带电为 q 。 S I 由前一章讨论可知 qv Idl Idl j s dl dl r nsqv dl I I nqdV v p 代入 0 Idl r ndVqv r dB 3 3 4 r r 在电流元中有电荷数为dN ndV，则一 个运动电荷(q，v )在 r 处的磁感应强度 0 qv r dB B 3 dN 4 r 或写成 0 qv er B 2 4 r 方向：右螺旋法则 B B r p v q r q p v 设带电圆盘半径为Ｒ， 电荷面密度为 以 绕过 盘心垂直盘面的轴转动， 求圆心处的磁感应强度 解：方法一 圆盘转动 运动电荷 电流 磁 感应强度 R o r dr 圆中心处的磁场可视为许多半径 不等的圆电流磁场的叠加。 设半径为ｒ的圆形电 流，圆形电流为dI，则在 中心的 0 dI dB 2r R 方向：垂直盘面向外 o r 又因 dI dq 2 dr 2r dr rdr 2 各圆电流在o点的磁场方向相同 则 B 0 dB 2r dI 0 0R 2 R dr 0 2 R o r dr 方法二．运动电荷的计算 dq 2rdr v r 0 qv er B 2 4 r 0 2rdr r dB 2 4 r 1 0dr 2 R 0R B dB 0 2 R o r dr 小结：用毕奥—萨伐尔定 律和磁场叠加原理计算 B （１）选取电流元 Id l 或选 取典型载流导线元，写成其 dB （２）建立坐标系，对dB 求矢量和或分 量求和，注意磁场的分布。 I Id l （３）对某些载流 Idl 导体的组合体，直 r p 接应用叠加原理计 算 I I 例题四．宽度为ｂ的金属 薄板，其电流为Ｉ，求在 薄板平面上，距板的一边 为ｒ的Ｐ点的磁感应强度 解：将薄板视为有许多无限长载流直导 线组成。 取图示坐ox轴， I dx x p 取离o距离x，标宽 o 为dx的长直载流导 x I b r 线其电 流为 dI dx b 由典型载流直导线磁场公 式得 0 dI dB 2x r b dI 0 B dB r 2x r b 0 I dx r I 2x b dx x p 0 I r b o ln x b 2b r r 方向：垂直薄板平面向里 例题五．图示几种载流导 体，电流为Ｉ，求ｏ点的 磁感应强度 I R o I 0 I 1 0 I B0 0 ，方向： 2 2R 4R B ? p p a 方向？ B ? Q a Q I a 三．磁通量 磁场的高斯 定理 １．磁感应线：形象描述 磁场的假想曲线 磁感应线上每一点切线方向与该 规 点磁感应强度方向一致 定 通过某点垂直磁场方向，单位面 积上磁感线数等于该点 B 的大小 特点：闭合曲线，互不相交 ２．磁通量：通过磁场中 某给定面积的磁感线总数 d B ds Bds cos B ds B ds Bds cos s 式中 是面积 元的法线单位矢量 与 e 的夹角 B n en B s s ds 3．磁场的高斯定理—描述 磁场性质的的基本定理 由于磁感线是无头无尾的闭合曲 线，所以 B d s 0 即通过磁场中任一闭合曲面的磁 通量恒等于零 四．安培环路定理 １．安培环路定理：磁感 应强度沿任一闭合路径的 线积分，等于该闭合路径 包围的所有电流的代数和 乘以 0，即 n B d l I 0 i i 1 I1 I2 I3 L I4 通常取电流流向与积分回路呈右螺 旋关系，电流取正值。反之，取负值 ２．从三个特例来描述定 理 （１）一无限长载流Ｉ的直 导线，在垂直导线平面上作一以ｏ为圆心 以ｒ为半径的圆作为闭合路径，计算 B d l Bdl L L B dl 0 I I r dl o 2r L 0 I 0 I （２）若在平面上任意取 以闭合路径作为积分环路， 计算 B dl Bdl cos Brd L 0 I rd 2r 0 I 2 0 I d L I B o d r dl （３）在平面上取任意闭 合路径，不包围电流Ｉ， 图示，将闭合回路分为 L1 和 L2两部分，所以 B d l B d l B d l L L1 L2 由于 L1上线元 dl与该 处 B夹角小于 ，而 上 L 1 2 线元 dl与该处 B夹角大 于 2 ，仿此计算 b L1 L2 a 0 I L B dl 2 1 0 I L d 2 1 0 I L B dl 2 1 0 I L d 2 B dl 0 2 L 小结：定理中 I i 是指闭合环 路所包围的电流代数和，不穿 过环路的电流对 B 的环路无贡 献。 b L1 L2 a 可进一步证明：在恒稳磁 场中，有 n B dl 0 I i L i 1 b L1 L2 a 例题一．载流长直螺线管 的磁场，已知 ( L R) N I、n、（ ） l 解：分析磁场 根据对称性可知，管内磁场均匀，管内平行 于轴线上的任意一直线上各点的磁感应强度相等， 且方向平行于轴线。如图在管内外作一闭合回路 MNOP P O M N 由安培环路定律可得 B dl B(MN ) 0 (MN )nI B 0 nI 例题二．设电流均匀流过无限大导电平面， 其电流密度为ｊ，（在平面内，通过电流垂 直方向单位长度上的电流强度），求空间任 意点的磁感应强度 B j p B p 解：磁场分析 平板外任一点Ｐ的磁 场方向平行于平面 平面两侧与平面距离相等的两点 （Ｐ与 p ）磁场大小相等方向反平行。 作闭合回路 abcd（ ab，cd平 行于平面，bc ， d 垂直于平面） da c l1 j b l a 由安培定律得 B d l B dl B dl B dl B dl ab bc cd B ab Bcd 2 Bl 0lj 1 B 0 j 2 可见：无限大 d 载流平面外的磁场 是一均匀磁场 da 方向：图示 c l1 j b l a 五．带电粒子在磁场中的 运动 １．洛仑兹力—磁场对运 动电荷的作用力 Fm ( q) Fm qv B B v B (q) v Fm B 方向：右手法则（注意电荷的正负） ２．带电粒子在均匀磁场 中运动 ( 1 ) v0 B 电荷ｑ，质量为ｍ带电粒子，以初 速 v0进入磁场 ( 2 ) v0 // B （３）v0 与 B 的夹角为 电荷ｑ，质量为ｍ的带电粒子，以初速 与 进入磁场 v0 之间夹角为 B 以上三种情况带电粒子的运动轨迹如何？ （1）v0 B 带电粒子作匀速圆周运动 2 v0 qv0 B m R mv0 R qB 回旋周期 2R 2m T v0 qB (与v无关） q R v0 B （2）v0 // B 带电粒子作直线运动 （３）v0 与 B 的夹角为 带电粒子以螺旋线运动，其中 mv 螺旋线半径 R qB 2mv// 螺距 d qB v v v0 v // 2m (周期T ） qB d B R 其中 v v0 sin v// v0 cos 上述结果在磁焦距现象中应用 v v0 v // d v B R ３．霍耳效应 （１）现象：载流Ｉ的导 体或半导体在均匀磁场 B 中，磁场与电流方向垂直，则导体（或 半导体）的横向两侧出现电势差（电场） 的现象称为霍耳效应 （２）洛仑兹力解释霍耳效应 以金属导体为例：载流子为正电荷 ｑ，其密度为ｎ，其漂流速度 vd ，受洛 仑兹力 Fm qvd B 两侧面间建立横向电场 E H （图示） 当动平衡时 qEH qvd B EH vd B B I b vd Fe Fm q B d I 即两侧面间电势差 （霍耳电压） U H bvd B 又有关系式 I qnv s qnv bd d d IB U H nqd 写成 IB U H RH d 1 其中霍耳系数 RH 为 RH nq 讨论： （１）霍耳系数测定，可 以判断导电材料性质 （２）测定霍耳电压，可以判断载流子 的性质 （３）用霍耳效应测定 B，电流等 六．载流导线在磁场中受的力 １．安培定律 讨论载流Ｉ的导线，在磁场 B 中受力 Id l ，先讨论 取一电流元 在电流之中每一运动电子 以 (e ) 定向运动则 vd Fm evd B 其大小 F ev B sin m d 电流元中有电子数为 nsdl I (n为电子数密度） Id l a I B I b vd B Id l dl s 所有电子受力 dl dF nsdlev d B sin IdlB sin 写成矢量式 dF Idl B（安培定律） 所以载流导线受力 B I F dF Id l s ab Idl B v d ab dl 2 安培定律应用举例 例题１：均匀磁场 B中， 半圆形导线通有电流Ｉ， 其半径为Ｒ，磁场与导线平面垂直，求 半圆形导线的磁场力 解：取图示oxy坐标系，在半圆中取一 电流元 Id l，dF IdlB 方向图示 y dF 将 dF分解为 Id l dFx dF cos dFy dF sin d o x 由于半圆对称于y轴，所以 Fx dFx 0 而 Fy F dF sin IBdl sin BI sin Rd 2 BIR IB (2 R) 0 推断：一个任意弯曲的平面 载流导线在均匀磁场中 （ B 垂直于该平面）所受到 的磁力，等效于弯曲导线起 点到终点的矢量在磁场中所 受的力。 dF y Id l d o x 例题2：载流 I1的长直导线 一 侧，有另一导线水平放 置，长为Ｌ，通有电流 I 2 ， 两者在同一平面，如图示，求水平导线 受磁力大小和方向。 解：取图示坐标系， 因为水平导线处于不 均匀磁场中，今取一 电流元 Id l，该处磁 场大小 I1 方向： B 2x I1 dF Idl a o x dx I2 x 电流元受力 dF I 2 dl B 方向图示 则 F dF I 2 dlB La a I1 0 I1 I 2 dx a 2x o 0 I1 I 2 L a ln 2 a 方向图示 dF Idl x dx I2 x 例题3图示一无限长载流 I1 的直导线与半径为Ｒ的圆 形电流 I 2处于同一平面， 已知直线与圆心相距为ｄ，求作用在圆 电流上的磁力。 dFy 解：取电流 元I 2 dl ，该 处磁场 I1 0 I1 B 2 d R cos d y I 2 dl d I2 o R dF dFx x 其磁力 dF I 2 dlB 0 I1 I 2 dl 2 d R cos 0 I1 I 2 Rd 2 d R cos 取dF在ox，oy方 向分量，由对称性知 I1 Fy dFy 0 d y dFy I 2 dl d I2 o R dF dFx x F Fx dFx 2 0 I1 I 2 cos d R 0 2 d R cos 0 I1 I 2 (1 d d R 2 由于ｄ＞Ｒ， 则Ｆ方向沿ox轴负 向！ 2 ) I1 d y dFy I 2 dl d I2 o R dF dFx x 例题4：计算两平行长直导 线间相互作用力，设两导 线相距为ｒ，分别载流 I1 和 I 2，如图，求导线单位长度所受的磁 力 解：电流 I1在导线 I 2 B1 B2 处的磁场 I 2 dl2 I1dl1 0 I1 dF1 dF2 B1 2r I2 I1 r 方向图示 所以作用在电流元I 2 dl2的 安培力dF2 B1 I 2 dl2 I1 I 2 dl2 2r 则载流 I 2导线上单 位长度所作用的磁力 0 I1 I 2 dF2 dl2 2r 方向 图示 I1dl1 B1 B2 dF1 dF2 I 2 dl2 I2 I1 r 同样可得载流 I1，导线上单位长度 所作用的磁力 dF1 0 I1 I 2 方向 图示 dl1 2r 讨论： （1）不难判断，当两电流 同方向时，磁力互相吸引， 当两电流反方向时，磁力互相排斥。 （2）电流单位安培的定义：在真空中， 相距１m的两条平行长直导线通以相同 的电流，如果每米长度导线上所受的磁 场力为 2.0 107 N m 1，那么导线中的电 流为１安培。 七. 磁场对载流线圈的作用 1．均匀磁场对载流线圈的 磁力矩 在均匀磁场 B中， 有一矩形载流线圈，边 长分别为 l1 和 l 2 ，电流 M 为 I ，线圈平面法线方 向en与 B夹角为 先分 l 2 别计算矩形线圈中各导 线受力 N p I B o en l1 导线PM和NO受磁力 F3 BIL1 sin F4 其大小相等，方向相反， 作用在同一直线上 F3 p 导线MN和OP I F1 BIL2 F2 F2 B M 方向图示 F2 其大小相 p I 等，方向 F 1 o M B e 相反，但 y n 不在一直 F4 N F x 1 线上 所以线圈受磁力矩 M F1l1 sin BIl1l2 sin 即 M BIs sin 写成矢量式 M m B，m Isen (线圈磁距） Ｎ匝线圈 M Nm B 讨论几种特殊情况 （1）当 0 时， M 0 稳定平衡位置（如 图） M m B I B M P E E （2） 时，M M max ， 2 线圈位置图示 M m B I M P E B E （3） 时，M 0，不稳 定平衡位置（图示） M m B M P E I E B (与电偶极子在电场中情况比较) 例题：半径为Ｒ，通以电 流Ｉ的半圆形闭合线圈， 可绕直径为轴旋转，置于 均匀磁场 B中图示，求线圈受的磁力矩 y 解：取图示坐标系oxy 对oy轴而言， 作用于电流元 Id l 上磁力矩 dM大小 dM dFR cos dF Idl B d dF Idl o en x I B 其中 dF IdlB sin( 2 ) IdlB cos 方向： M dM IdlBR cos 2 y dF IBR cos d 2 2 2 2 IBR 2 I( R d 2 )B 2 2 方向：沿oy轴正方向 (M r F ) Idl o en x I B 可见：采用 M m B ISen B M I( R 2 2 方向：en B )B y dF d 结果相同！ Idl o en x I B