Transcript 7第七章稳恒磁场

第七章
稳恒磁场
第七章 稳恒磁场
7-0
第七章教学基本要求
7-1
磁感应强度
7-2
安培定律
7-3
毕奥-萨伐尔定律
磁场的高斯定理
7-4
4-0 安培环路定律
第四章教学基本要求
7-5
4-0 介质中的磁场
第四章教学基本要求
教学基本要求
一、掌握磁感应强度的概念，理解洛伦兹力公式.
二、了解用磁感应线形象描述磁感应强度的方法, 会计算简
单情况下的磁通量, 理解磁场高斯定理的内涵.
三、理解洛伦兹关系式, 能分析点电荷在均匀电场或均匀
磁场中的运动, 了解洛仑兹力关系的应用.
四、理解安培定律, 了解磁矩的概念, 能计算简单几何形状
载流导体和载流平面线圈中所受的力和力矩.
五、理解毕奥-萨伐尔定律, 理解磁场叠加原理,
能计算一些简单电流分布产生的磁场的磁感应强
度.
六、理解磁场的安培环路定理, 理解用安培环路定
理计算磁感应强度的条件和方法并能作简单计算.
七、了解介质的磁化现象及对磁场分布的影响，
了解各向同性介质中磁场强度和磁感应强度的关
系, 了解铁磁质的特性及应用.
*八、了解介质中的安培环路定理.
7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理
预习要点
1. 磁感应强度是怎样定义的?
2. 对磁感应线有哪些规定? 领会磁通量的计算公式.
3. 什么是磁场的高斯定理? 注意它的数学表达式及所
反映的磁场的性质.
4. 认识洛伦兹关系式, 了解其应用.
一、磁感应强度
1. 磁场
电流周围存在着一种特殊物质--磁场.
运动电荷
磁场
运动电荷

2. 磁感应强度B 的定义

(1) B 的方向：与小磁针N极在磁场中某点的稳定指向
一致.

(2) 带电粒子垂直 B 的方向运动时，受磁场作用力最大.
Fmax
且 Fmax  qv
大小与 q, v 无关
qv
Fmax
磁感应强度大小定义为： B 
qv

Fm
二、洛伦兹力
由实验电荷量为q的电荷以速度
磁场中运动时受到的磁场力：

 
Fm  qv  B
运动电荷在磁场中所受的力称
做为洛伦兹力.

在v
q+

B

v
通常又将磁感应强度定义为满足洛伦兹力公

B
式的矢量.
洛伦兹力总与带电粒子的运动速度垂直.
因此,洛伦兹力对运动电荷不作功. 洛伦兹
力只改变运动电荷的速度方向, 不改变速
度的大小.
三、磁场的高斯定理
1. 磁感应线

形象地描绘磁场中 B 分布的空间曲线,规定:

方向：B 线上某点的切线方向为该点磁场方向.


大小：通过垂直于 B 的单位面积的 B 线的数目.
dΦ
B
dS 
2. 磁通量
通过某一曲面的磁感应线的数目为通过此曲面的磁通量.
 
dΦ  B  dS
 
Φ  s B  dS
单位 1Wb  1T  m2
3. 磁场中的高斯定理

实验结果表明，B 线为闭合曲线.

由于线为闭合曲线，穿入穿出闭合
B 
面的 线数目相同，正负通量抵消.
B
穿过闭合面的磁通量等于零.
 
 B  dS  0
s
静电场的高斯定理说明电场线始于正电
荷，止于负电荷，静电场是有源场；磁
场的高斯定理说明磁感应线无头无尾，
是闭合曲线，磁场是无源场，磁单极不
存在.
*四、洛伦兹关系式和应用
带电粒子在电场和磁场中所受的力:
电场力


Fe  qE
磁场力（洛伦兹力）

 
Fm  qv  B
洛伦兹关系式


 
F  qE  qv  B
应用: 磁偏转

带电粒子以垂直于
的速度
B

v
飞入均匀磁场，粒子作匀速圆
周运动，洛伦兹力为向心力.
v
qvB  m
R
2
mv
R
qB
2π R 2πm
T

v
qB





   
   
  R  B
Fm   
   v


v0  B
1
qB
f  
T 2π m
应用: 磁聚焦

 
洛伦兹力 Fm  qv  B
 
v 与 B 不垂直
  
v  v //  v

v //  vcosθ v  vsinθ
mv
R
qB

v

v
2π m
T
qB
2π m
螺距 d  v // T  vcos
qB

v //

B
*五、霍尔效应

载流导体放入磁场 B 中，在导体上下两表面产生霍
尔电压的现象.
载流导体中的运动正电荷在洛伦兹力Fm 的作用下，
向A侧偏转，在导体的A侧表面积累了正电荷.运动负电
荷反向偏转，将积累于A’侧表面.

B
b
d 
A
vd
+

Fm
+ +
+
- - - Fe
A’
+ +
q
-
I
UH

A
EH ，阻碍粒子在磁场
 
作用下的侧向偏移，当 Fe  Fm 时，两侧表面间将获得
稳定的霍尔电压UH .
A’两表面间形成霍尔电场
qEH  qvB,
EH  vB
U H  EHb  vBb
I  qnvS  qnvbd
I
v
nqbd
1 IB
UH  ( )
nq nqd
1
霍尔系数 RH 
nq
正粒子RH>0，测得UH>0；
负粒子RH<0，测得UH<0；
可用于判定材料中载流子的电性符号及确定载流子的
浓度. 若已知材料的霍尔系数，则可利用霍尔效应测
量磁场的磁感应强度等.
7-2 安培定律
预习要点
1. 安培定律的内容是什么? 它的矢量表达式是怎样的?
2. 注意计算载流导体所受安培力的方法.
3. 什么是载流线圈磁矩的定义? 注意均匀磁场对载流
线圈的作用力矩公式.
一、安培定律
由实验总结出磁场对电流元的作用力
dF  IdlB sin θ

 Idl
安培定律
 

dF  Idl  B
有限长载流导线所受
的安培力:
 


F  l dF  l Idl  B

B
dl
I
S


1. 均匀磁场 B 中长为L的载流导线(I)各电流元受力dF 同
向，则
 
F   dF   BI sin( Idl , B)dl
l
l
 
 BILsin(Idl , B)
2. 当各电流元受力方向不同时
Fx   dFx , Fy   dFy , Fz   dFz
l
l




F  Fxi  Fy j  Fk k
l
二、均匀磁场对载流线圈的作用力矩
将平面载流线圈放入均匀磁场中，
da边受到安培力的大小:
π
Fda  Il 2 B sin(   )
2
bc边受到安培力的大小:
π
Fbc  Il 2 B sin(   )
2
Fda与Fbc大小相等方向相反，
作用在一条直线上，相互抵消.

Fda
o
d
a
I

l1
c en
b l2  o'
Fbc

B
o
ab边受到安培力的大小:
π
Fab  Il1B sin
2
cd边受到安培力的大小:
π
Fcd  Il1B sin
2
d

Fcd
a
I
l1


Fab
c

B
en
b l2 o'
Fab与Fcd大小相等方向相反，不在一条直线上，不能抵
消，为一对力偶，产生力矩.
作俯视图可看出线圈受到的力矩大小为
l2
M  2 Fab sin 
2
l2
 2 Il1 B sin 
2
 Il1l2 B sin 
 NISB sin 
S为平面线圈面积.
d(c )
l2
sin  o
2

如果为N匝平面线圈，则
M  NIl1l2 B sin 

Fcd
a(b)

Fab
I
l2

B


en


定义磁矩 m  NISen
  
M  mB
结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面载流线圈
  
所受的力矩为 M  m  B .
  
m // B, M  0
 0
 p
稳定平衡
非稳定平衡
 
m  B , M  M max  mB
载流线圈在磁场中会受到磁力矩而转动，这是电
动机及磁电式仪表的基本工作原理.
7-3 毕奥-萨伐尔定律
预习要点
1. 领会磁场叠加原理.
2. 毕奥-萨伐尔定律的内容及其数学表达式是什么?
3. 如何应用毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理计算电
流的磁场中磁感应强度的分布？
一、磁场叠加原理
几个电流共同激发磁场


B   Bi
任意电流是无数小电流首尾相接组成，其上任一电

流元在某场点产生的磁感应强度为
，则此电流在
dB
该场点产生的总磁感应强度为


B   dB
L
二、毕奥-萨伐尔定
律 电流元 Idl 在空间一点
P产生的磁感应强度：
 
  0 Idl  er
dB 
2
4π r

dB

P * er 

r
7
2


4
π

10
N

A
真空磁导率 0
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
 


0 I dl  er
B   dB  
2
4π r
I

Idl
三、应用毕奥-萨伐尔定律求电流的磁场分布
解题步骤：
1.将载流导线无限分割取电流元；
2.确定电流元的磁场大小
 
0 Idl sin(Idl , er )
dB 
;
2
4π
r


3.确定 dB 的方向，若所有 dB 同向，则
 
0 Idl sin(Idl , er )
B   dB  
;
2
4π
r
L
L

4.若各电流元的 dB不同向，则应建立坐标系，

求 dB 在各轴的投影 dB , dB , dB .
x
y
z

Bx   dBx , By   dBy , Bz   dBz ;
5.求 B 的分量
L
L
L




6. B  B i  B j  B k
x
y
z
注意磁场分布的对称性，选择合适的坐标轴方向，
可简化计算.
例: 一段有限长载流直导线,通有电流为I ,求P处的
磁感应强度.

解: 由对称性分析 B 线为分布
B 2
在垂直于通电导线、圆心在
 

导线上的系列圆簇，B 的方向
dl


r
dB
与电流方向成右手螺旋关系.

在导线上任取电流元 Idl ,

其在P点的矢径为 r ,夹角
 
为 ( Idl , r ),则
μ0 Idl sin θ
dB 
4π
r2
I
o
A
1
r0
*
P
μ0
Il sin θ
B   dB  
2
AB
4π
r
l  r0 cot , r  r0 / sin 
dl  r0d / sin 
2
B
0 I
2

B
2
 
dl


dB
r
sin d
4π r0 1
0 I 2
B
sin d

4 π r0 1
0 I

（cos1  cos 2）
4π r0
I
o
A
1
r0
*
P

点P的 B方向垂直于

r 和导线决定的平面,即沿以
O为圆心OP为半径并位于和导线垂直平面内的圆在点
P的切线，指向按右手螺旋关系.
对于无限长载流长直导线的磁场.
1  0
2 π
B
0 I
2π r0
例：一载流圆环半径为R通有电流为I，求圆环轴线上
任一点P的磁感应强度.

解：将圆环分割为无限多个电流元；各电流元在P的dB
方向不同，但相对于圆环轴线对称分布.
如图建立坐标
系，由对称性知
By  0, Bz  0
 
因为 Idl  r
有
则
dB 

Idl
r

o
x
R
 0 Id l
4 π r2
B  Bx   dB sin 
I

 dB
p 
*
x
R
sin  
r 2  R2  x 2
r
0 I sin dl
B

2

l
4π
r
Idl
0 IR 2 π R

dl
3 0
4πr
B
3
（
2 x R）
2

o
x
R
0 IR2
2
r
2
I

 dB
p
*
x

B 沿X轴正向，即沿环轴向，与电流环绕方向
成右螺旋关系.



又因为 S  πr , m  ISen  ISi
2

μ0 
故有 B 
m
3
2 πr
载流圆环环心处x=0，
B0 
0 I
2R
N匝同为I的圆环 B0 
0 NI
2R
四、运动电荷的磁场
 
 0 Idl  r
由毕-萨定律 dB 


Idl  nSdlqv
4π
r

B
3
+
q 


  0 nSdlqv  r
dB 
3
4π
r
又 dN  ns dl
故运动电荷的磁场

 d B  0 qv  r
B

d N 4π r 3

v
r

B
q 
r


v
7-4 安培环路定律
预习要点
1. 安培环路定律的内容及数学表达式是怎样的？注意
其中电流正、负号的规定.
2. 注意安培环路定律所描述的稳恒磁场的性质.
3. 领会用安培环路定律计算磁感应强度的方法.
一、安培环路定律

在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一闭

合路径的积分的值（即 B 的环流），等于0乘以该
闭合路径所包围的各电流的代数和.
安培环路定理
n
 
 B  dl  0  Ii
i 1
电流I正负的规定: I与L成右螺旋时, I为正；反
之为负.
在场的理论中，把环流不等于零的场称为涡旋场，
所以，稳恒磁场是涡旋场.
二、安培环路定律的应用
例：无限长圆柱形载流导体半径为R ，通有电流为I，
电流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感
应强度的分布.
I

 'B 
解：对称性分析
R
d B dB
dS '
导 体 内 以 关 于 OP
.
对称分布的 dS和 dS ' 为
截面的两无限长电流
dS
'
dI和 dI 在点P产生的.
沿以O为圆心，OP=r为半径的
圆的确切线，取此圆为积分回路L，

由轴对称性可知，B 沿L的切线，L各

点 B大小相等，方向与I成右螺旋关系.
I
L
（1） r
R
选取回路
 
 B  d l  0 I
l
 
 B  dl   B  dl B  dl  2πrB
L
L
2π rB  0 I
B
0 I
2π r
L
I
L
（2）0  r  R
2
 
πr
l B  d l  0 π R2 I
选取回路
0 r
2 π rB  2 I ,
R
2
0 I
2πR
 0 Ir
B
2
2π R
B
o R
r
.
L
例：密绕长载流螺线管通有电流为I，线圈密度为n，
求管内一点的磁感应强度.
（1 ）由实验和对称性分
解：
析可知，长螺线管外部磁感
强度趋于零 ，即 B  0 .
（2） 螺旋管内为均匀场 , 方向沿轴向，与I环绕方向
成右螺旋关系.
选矩形MNOP为回路L.
PO 上 各 点 B=0 ； NO 和


PM上管内各点 B  dl ，管
外各点B=0， 因此
M
N
++
++
++ + + +
+ ++ +
+++
++
+++++
L O
P

B
 
l B  d l
 
 
 
 
  B  d l   B  d l   B  d l  B  d l
MN
NO
OP
B  MN  0n MN I
B  0 nI
PM
7-5 介质中的磁场
预习要点
1. 磁介质的磁化对磁场分布有什么影响?
2. 顺磁质和抗磁质的区别是什么?
3. 磁场强度与磁感应强度的关系如何?
4. 了解铁磁质的特性及应用.
一、介质对磁场的影响
磁介质是能影响磁场的物质.
i
磁介质是由大量分子或原子组成
电子绕核旋转
分子电流i
'
附加磁场B
磁化电流
分子磁矩

m
 
'
B  B0  B
磁介质中的总磁感强度
真空中的磁感强度 介质磁化后的附加磁感强度
 '
B0 , B 方向相同的物质叫顺磁质;
顺磁质内磁场
B  B0  B
'
 '
B0 , B 方向相反的物质叫抗磁质;
抗磁质内磁场
B  B0  B
'
由实验知，抗磁质和大多数顺磁质 B'  B0
有 B  B0 ，称弱磁质.
' 
'
强磁质内部 B 与 B0 同向，且 B  B0 .
r
顺磁质 略大于1；抗磁质
质 r  1 ，且不是常数.
r 1，铁磁
略小于
*二、磁场强度和磁介质中的环路定律
1. 磁场强度

 B
定义 H  为磁场强度.

2. 磁介质中的安培环路定理
磁场强度沿闭合路径的线积分（环流），等于
环路所包围的传导电流的代数和.
 
 H  dl   I
l
在磁介质中某些对称分布的电流可利用磁介质中



的安培环路定理求出 H 分布，再利用 H 和 B 的关系求

出 B 分布.
*三、铁磁质
B
磁滞回线
Bb
当外磁场H由铁磁饱和点
Q
P逐渐减小时，铁磁质内磁感
强度 B 并不沿起始曲线OP减
 Hc
 Hc
O
小 ，而是沿 PQ比较缓慢的减
小，这种 B 的变化落后于 H 的
'
P
变化的现象，叫做磁滞现象 ，
简称磁滞.
P
H
由于磁滞，当外磁场强度减小到零（即 H  0)时，
铁磁质内磁感强度 B  0 ，而是仍有一定的数值 Bb ，叫
做剩余磁感应强度（剩磁）. 使剩磁完全消除的外加反
向的磁场强度 H c 称为矫顽力.
*四、超导现象
在低温下某些物质失去电阻的性质，为超导体.
迈斯纳效应 ——完全抗磁性
1933 年 德 国 物 理 学
家W.迈斯纳发现，将超
导体放入磁场中，表面
产生超导电流，超导电
流产生的磁场与外磁场
抵消，使超导体内的磁
感应强度为零.
B=0