Transcript 7第七章稳恒磁场
第七章
稳恒磁场
第七章 稳恒磁场
7-0
第七章教学基本要求
7-1
磁感应强度
7-2
安培定律
7-3
毕奥-萨伐尔定律
磁场的高斯定理
7-4
4-0 安培环路定律
第四章教学基本要求
7-5
4-0 介质中的磁场
第四章教学基本要求
教学基本要求
一、掌握磁感应强度的概念,理解洛伦兹力公式.
二、了解用磁感应线形象描述磁感应强度的方法, 会计算简
单情况下的磁通量, 理解磁场高斯定理的内涵.
三、理解洛伦兹关系式, 能分析点电荷在均匀电场或均匀
磁场中的运动, 了解洛仑兹力关系的应用.
四、理解安培定律, 了解磁矩的概念, 能计算简单几何形状
载流导体和载流平面线圈中所受的力和力矩.
五、理解毕奥-萨伐尔定律, 理解磁场叠加原理,
能计算一些简单电流分布产生的磁场的磁感应强
度.
六、理解磁场的安培环路定理, 理解用安培环路定
理计算磁感应强度的条件和方法并能作简单计算.
七、了解介质的磁化现象及对磁场分布的影响,
了解各向同性介质中磁场强度和磁感应强度的关
系, 了解铁磁质的特性及应用.
*八、了解介质中的安培环路定理.
7-1 磁感应强度 磁场的高斯定理
预习要点
1. 磁感应强度是怎样定义的?
2. 对磁感应线有哪些规定? 领会磁通量的计算公式.
3. 什么是磁场的高斯定理? 注意它的数学表达式及所
反映的磁场的性质.
4. 认识洛伦兹关系式, 了解其应用.
一、磁感应强度
1. 磁场
电流周围存在着一种特殊物质--磁场.
运动电荷
磁场
运动电荷
2. 磁感应强度B 的定义
(1) B 的方向:与小磁针N极在磁场中某点的稳定指向
一致.
(2) 带电粒子垂直 B 的方向运动时,受磁场作用力最大.
Fmax
且 Fmax qv
大小与 q, v 无关
qv
Fmax
磁感应强度大小定义为: B
qv
Fm
二、洛伦兹力
由实验电荷量为q的电荷以速度
磁场中运动时受到的磁场力:
Fm qv B
运动电荷在磁场中所受的力称
做为洛伦兹力.
在v
q+
B
v
通常又将磁感应强度定义为满足洛伦兹力公
B
式的矢量.
洛伦兹力总与带电粒子的运动速度垂直.
因此,洛伦兹力对运动电荷不作功. 洛伦兹
力只改变运动电荷的速度方向, 不改变速
度的大小.
三、磁场的高斯定理
1. 磁感应线
形象地描绘磁场中 B 分布的空间曲线,规定:
方向:B 线上某点的切线方向为该点磁场方向.
大小:通过垂直于 B 的单位面积的 B 线的数目.
dΦ
B
dS
2. 磁通量
通过某一曲面的磁感应线的数目为通过此曲面的磁通量.
dΦ B dS
Φ s B dS
单位 1Wb 1T m2
3. 磁场中的高斯定理
实验结果表明,B 线为闭合曲线.
由于线为闭合曲线,穿入穿出闭合
B
面的 线数目相同,正负通量抵消.
B
穿过闭合面的磁通量等于零.
B dS 0
s
静电场的高斯定理说明电场线始于正电
荷,止于负电荷,静电场是有源场;磁
场的高斯定理说明磁感应线无头无尾,
是闭合曲线,磁场是无源场,磁单极不
存在.
*四、洛伦兹关系式和应用
带电粒子在电场和磁场中所受的力:
电场力
Fe qE
磁场力(洛伦兹力)
Fm qv B
洛伦兹关系式
F qE qv B
应用: 磁偏转
带电粒子以垂直于
的速度
B
v
飞入均匀磁场,粒子作匀速圆
周运动,洛伦兹力为向心力.
v
qvB m
R
2
mv
R
qB
2π R 2πm
T
v
qB
R B
Fm
v
v0 B
1
qB
f
T 2π m
应用: 磁聚焦
洛伦兹力 Fm qv B
v 与 B 不垂直
v v // v
v // vcosθ v vsinθ
mv
R
qB
v
v
2π m
T
qB
2π m
螺距 d v // T vcos
qB
v //
B
*五、霍尔效应
载流导体放入磁场 B 中,在导体上下两表面产生霍
尔电压的现象.
载流导体中的运动正电荷在洛伦兹力Fm 的作用下,
向A侧偏转,在导体的A侧表面积累了正电荷.运动负电
荷反向偏转,将积累于A’侧表面.
B
b
d
A
vd
+
Fm
+ +
+
- - - Fe
A’
+ +
q
-
I
UH
A
EH ,阻碍粒子在磁场
作用下的侧向偏移,当 Fe Fm 时,两侧表面间将获得
稳定的霍尔电压UH .
A’两表面间形成霍尔电场
qEH qvB,
EH vB
U H EHb vBb
I qnvS qnvbd
I
v
nqbd
1 IB
UH ( )
nq nqd
1
霍尔系数 RH
nq
正粒子RH>0,测得UH>0;
负粒子RH<0,测得UH<0;
可用于判定材料中载流子的电性符号及确定载流子的
浓度. 若已知材料的霍尔系数,则可利用霍尔效应测
量磁场的磁感应强度等.
7-2 安培定律
预习要点
1. 安培定律的内容是什么? 它的矢量表达式是怎样的?
2. 注意计算载流导体所受安培力的方法.
3. 什么是载流线圈磁矩的定义? 注意均匀磁场对载流
线圈的作用力矩公式.
一、安培定律
由实验总结出磁场对电流元的作用力
dF IdlB sin θ
Idl
安培定律
dF Idl B
有限长载流导线所受
的安培力:
F l dF l Idl B
B
dl
I
S
1. 均匀磁场 B 中长为L的载流导线(I)各电流元受力dF 同
向,则
F dF BI sin( Idl , B)dl
l
l
BILsin(Idl , B)
2. 当各电流元受力方向不同时
Fx dFx , Fy dFy , Fz dFz
l
l
F Fxi Fy j Fk k
l
二、均匀磁场对载流线圈的作用力矩
将平面载流线圈放入均匀磁场中,
da边受到安培力的大小:
π
Fda Il 2 B sin( )
2
bc边受到安培力的大小:
π
Fbc Il 2 B sin( )
2
Fda与Fbc大小相等方向相反,
作用在一条直线上,相互抵消.
Fda
o
d
a
I
l1
c en
b l2 o'
Fbc
B
o
ab边受到安培力的大小:
π
Fab Il1B sin
2
cd边受到安培力的大小:
π
Fcd Il1B sin
2
d
Fcd
a
I
l1
Fab
c
B
en
b l2 o'
Fab与Fcd大小相等方向相反,不在一条直线上,不能抵
消,为一对力偶,产生力矩.
作俯视图可看出线圈受到的力矩大小为
l2
M 2 Fab sin
2
l2
2 Il1 B sin
2
Il1l2 B sin
NISB sin
S为平面线圈面积.
d(c )
l2
sin o
2
如果为N匝平面线圈,则
M NIl1l2 B sin
Fcd
a(b)
Fab
I
l2
B
en
定义磁矩 m NISen
M mB
结论: 均匀磁场中,任意形状刚性闭合平面载流线圈
所受的力矩为 M m B .
m // B, M 0
0
p
稳定平衡
非稳定平衡
m B , M M max mB
载流线圈在磁场中会受到磁力矩而转动,这是电
动机及磁电式仪表的基本工作原理.
7-3 毕奥-萨伐尔定律
预习要点
1. 领会磁场叠加原理.
2. 毕奥-萨伐尔定律的内容及其数学表达式是什么?
3. 如何应用毕奥-萨伐尔定律和磁场叠加原理计算电
流的磁场中磁感应强度的分布?
一、磁场叠加原理
几个电流共同激发磁场
B Bi
任意电流是无数小电流首尾相接组成,其上任一电
流元在某场点产生的磁感应强度为
,则此电流在
dB
该场点产生的总磁感应强度为
B dB
L
二、毕奥-萨伐尔定
律 电流元 Idl 在空间一点
P产生的磁感应强度:
0 Idl er
dB
2
4π r
dB
P * er
r
7
2
4
π
10
N
A
真空磁导率 0
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
0 I dl er
B dB
2
4π r
I
Idl
三、应用毕奥-萨伐尔定律求电流的磁场分布
解题步骤:
1.将载流导线无限分割取电流元;
2.确定电流元的磁场大小
0 Idl sin(Idl , er )
dB
;
2
4π
r
3.确定 dB 的方向,若所有 dB 同向,则
0 Idl sin(Idl , er )
B dB
;
2
4π
r
L
L
4.若各电流元的 dB不同向,则应建立坐标系,
求 dB 在各轴的投影 dB , dB , dB .
x
y
z
Bx dBx , By dBy , Bz dBz ;
5.求 B 的分量
L
L
L
6. B B i B j B k
x
y
z
注意磁场分布的对称性,选择合适的坐标轴方向,
可简化计算.
例: 一段有限长载流直导线,通有电流为I ,求P处的
磁感应强度.
解: 由对称性分析 B 线为分布
B 2
在垂直于通电导线、圆心在
导线上的系列圆簇,B 的方向
dl
r
dB
与电流方向成右手螺旋关系.
在导线上任取电流元 Idl ,
其在P点的矢径为 r ,夹角
为 ( Idl , r ),则
μ0 Idl sin θ
dB
4π
r2
I
o
A
1
r0
*
P
μ0
Il sin θ
B dB
2
AB
4π
r
l r0 cot , r r0 / sin
dl r0d / sin
2
B
0 I
2
B
2
dl
dB
r
sin d
4π r0 1
0 I 2
B
sin d
4 π r0 1
0 I
(cos1 cos 2)
4π r0
I
o
A
1
r0
*
P
点P的 B方向垂直于
r 和导线决定的平面,即沿以
O为圆心OP为半径并位于和导线垂直平面内的圆在点
P的切线,指向按右手螺旋关系.
对于无限长载流长直导线的磁场.
1 0
2 π
B
0 I
2π r0
例:一载流圆环半径为R通有电流为I,求圆环轴线上
任一点P的磁感应强度.
解:将圆环分割为无限多个电流元;各电流元在P的dB
方向不同,但相对于圆环轴线对称分布.
如图建立坐标
系,由对称性知
By 0, Bz 0
因为 Idl r
有
则
dB
Idl
r
o
x
R
0 Id l
4 π r2
B Bx dB sin
I
dB
p
*
x
R
sin
r 2 R2 x 2
r
0 I sin dl
B
2
l
4π
r
Idl
0 IR 2 π R
dl
3 0
4πr
B
3
(
2 x R)
2
o
x
R
0 IR2
2
r
2
I
dB
p
*
x
B 沿X轴正向,即沿环轴向,与电流环绕方向
成右螺旋关系.
又因为 S πr , m ISen ISi
2
μ0
故有 B
m
3
2 πr
载流圆环环心处x=0,
B0
0 I
2R
N匝同为I的圆环 B0
0 NI
2R
四、运动电荷的磁场
0 Idl r
由毕-萨定律 dB
Idl nSdlqv
4π
r
B
3
+
q
0 nSdlqv r
dB
3
4π
r
又 dN ns dl
故运动电荷的磁场
d B 0 qv r
B
d N 4π r 3
v
r
B
q
r
v
7-4 安培环路定律
预习要点
1. 安培环路定律的内容及数学表达式是怎样的?注意
其中电流正、负号的规定.
2. 注意安培环路定律所描述的稳恒磁场的性质.
3. 领会用安培环路定律计算磁感应强度的方法.
一、安培环路定律
在真空的稳恒磁场中,磁感应强度 B 沿任一闭
合路径的积分的值(即 B 的环流),等于0乘以该
闭合路径所包围的各电流的代数和.
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
电流I正负的规定: I与L成右螺旋时, I为正;反
之为负.
在场的理论中,把环流不等于零的场称为涡旋场,
所以,稳恒磁场是涡旋场.
二、安培环路定律的应用
例:无限长圆柱形载流导体半径为R ,通有电流为I,
电流在导体横载面上均匀分布,求圆柱体内、外的磁感
应强度的分布.
I
'B
解:对称性分析
R
d B dB
dS '
导 体 内 以 关 于 OP
.
对称分布的 dS和 dS ' 为
截面的两无限长电流
dS
'
dI和 dI 在点P产生的.
沿以O为圆心,OP=r为半径的
圆的确切线,取此圆为积分回路L,
由轴对称性可知,B 沿L的切线,L各
点 B大小相等,方向与I成右螺旋关系.
I
L
(1) r
R
选取回路
B d l 0 I
l
B dl B dl B dl 2πrB
L
L
2π rB 0 I
B
0 I
2π r
L
I
L
(2)0 r R
2
πr
l B d l 0 π R2 I
选取回路
0 r
2 π rB 2 I ,
R
2
0 I
2πR
0 Ir
B
2
2π R
B
o R
r
.
L
例:密绕长载流螺线管通有电流为I,线圈密度为n,
求管内一点的磁感应强度.
(1 )由实验和对称性分
解:
析可知,长螺线管外部磁感
强度趋于零 ,即 B 0 .
(2) 螺旋管内为均匀场 , 方向沿轴向,与I环绕方向
成右螺旋关系.
选矩形MNOP为回路L.
PO 上 各 点 B=0 ; NO 和
PM上管内各点 B dl ,管
外各点B=0, 因此
M
N
++
++
++ + + +
+ ++ +
+++
++
+++++
L O
P
B
l B d l
B d l B d l B d l B d l
MN
NO
OP
B MN 0n MN I
B 0 nI
PM
7-5 介质中的磁场
预习要点
1. 磁介质的磁化对磁场分布有什么影响?
2. 顺磁质和抗磁质的区别是什么?
3. 磁场强度与磁感应强度的关系如何?
4. 了解铁磁质的特性及应用.
一、介质对磁场的影响
磁介质是能影响磁场的物质.
i
磁介质是由大量分子或原子组成
电子绕核旋转
分子电流i
'
附加磁场B
磁化电流
分子磁矩
m
'
B B0 B
磁介质中的总磁感强度
真空中的磁感强度 介质磁化后的附加磁感强度
'
B0 , B 方向相同的物质叫顺磁质;
顺磁质内磁场
B B0 B
'
'
B0 , B 方向相反的物质叫抗磁质;
抗磁质内磁场
B B0 B
'
由实验知,抗磁质和大多数顺磁质 B' B0
有 B B0 ,称弱磁质.
'
'
强磁质内部 B 与 B0 同向,且 B B0 .
r
顺磁质 略大于1;抗磁质
质 r 1 ,且不是常数.
r 1,铁磁
略小于
*二、磁场强度和磁介质中的环路定律
1. 磁场强度
B
定义 H 为磁场强度.
2. 磁介质中的安培环路定理
磁场强度沿闭合路径的线积分(环流),等于
环路所包围的传导电流的代数和.
H dl I
l
在磁介质中某些对称分布的电流可利用磁介质中
的安培环路定理求出 H 分布,再利用 H 和 B 的关系求
出 B 分布.
*三、铁磁质
B
磁滞回线
Bb
当外磁场H由铁磁饱和点
Q
P逐渐减小时,铁磁质内磁感
强度 B 并不沿起始曲线OP减
Hc
Hc
O
小 ,而是沿 PQ比较缓慢的减
小,这种 B 的变化落后于 H 的
'
P
变化的现象,叫做磁滞现象 ,
简称磁滞.
P
H
由于磁滞,当外磁场强度减小到零(即 H 0)时,
铁磁质内磁感强度 B 0 ,而是仍有一定的数值 Bb ,叫
做剩余磁感应强度(剩磁). 使剩磁完全消除的外加反
向的磁场强度 H c 称为矫顽力.
*四、超导现象
在低温下某些物质失去电阻的性质,为超导体.
迈斯纳效应 ——完全抗磁性
1933 年 德 国 物 理 学
家W.迈斯纳发现,将超
导体放入磁场中,表面
产生超导电流,超导电
流产生的磁场与外磁场
抵消,使超导体内的磁
感应强度为零.
B=0