Transcript 大学物理
大学物理 第十七章 电磁场 感应电动势 动生电动势 感生电动势 回路磁通量发 生变化时产生 实验定律 + 自感与互感 涡旋电场 位移电流 非静电力是洛仑兹力 实 质 涡旋电场提供了非静电力 磁场的能量 麦克斯韦方程组 预言 赫兹实验 证实 电磁波的存在 大学物理 第十二讲 法拉第电磁感应定律 动生电动势 主要内容: 楞次定律,法拉第电磁感应定律,动生电动势。 重点要求: 动生电动势的两种计算方法。 难点理解: 洛仑兹力不作功,但起能量转换的作用. 数学方法: 微积分,矢量乘积. 典型示例: 导线或回路在磁场中运动时的电动势. 课外练习: 习题17.2 17.3 17.4 大学物理 一、电磁感应现象 主要内容 感应电流的产生是因为磁场的变化.电流方向可 由楞次定律判断.楞次定律实质上是能量守恒与转化 定律的体现. 导线在磁场运动也会产生感应电流. 大学物理 G V B S B G 这两类方法,有一个共同点.即: 由于磁通量发生变化，在回路中产生感应电流 现象,且电流与磁通量变化率成正比.在回路中实质 上产生的是感应电动势. 二、法拉第电磁感应定律 d m dt 负号表明 的方向与楞次定律判断一致 大学物理 动画演示: 的方向 标定回路方向 选定法向n，确定m的正负 B n 由右手螺旋法 则统一起来 操作说明： L 构架：回路 磁场可改变 m > 0 (m) （方向、大小） 大学物理 若回路由多匝线圈构成， 磁通链匝数 (全磁通) 重点要求 d dt m m m 1 2 N 利用法拉第电磁感应定律计算一段时间通过回路 的感应电量 q t 0 R dt t0 1 d 1 dt 0 R dt R 此即磁通计原理,通过测量求得B. 大学物理 典型示例 例1 空间上均匀的磁场 B= kt (k > 0)，方向如图。 a 导线ab以v 匀速右平动。 n B 求：t 时刻回路中的感应电动势 。 60 l v 解： 选取回路方向(如图). 1 0 m BS cos60 Blx b 2 1 1 Blvt klvt 2 2 2 d m dt klvt < 0 方向与标定回路的方向相反：a b. 常见错误 d m Bldx cos 60 0 dt dt 1 kvldx 1 klv 2 2 dt 2 因B为均匀场 B S 大学物理 a B n 60 l v b d B dS S dB B dS 思维空间： B为非均匀场的情况 一般应先对空间坐标积分求t时刻 回路磁通量,再对时间坐标微分求t 时 刻回路中的感应电动势 . 大学物理 三、动生电动势 对应的非静电力是洛仑兹力 f e(v B) f Ek vB e Ek dl + － D v f C 重点要求 C D (v B) dl 特例: v B, (v B)与dl 同向，v，B均匀 = Blv 例2：如图所示，导体棒 oa 垂直均 匀磁场绕一端旋转切割磁力线，求 感应电动势？ 解：沿oa方向取 dl (V B) dl VBl d BVdl Bl dl oa 1 2 d Bl dl Bl o 2 l 或虚拟回路oao/o 大学物理 V o a B l a o/ B d d d l l ( BS ) B ( ) l o dt dt dt 2 2 l Bd 1 2 Bl 回路中只有棒切割磁力线，此即 2dt 2 所求感应电动势。o a 大学物理 思维空间： 法拉第圆盘发电机 可视为无数长R的铜导线切割磁力线产生动生电动势. 方向指向盘心. oa vBdl lBdl R 0 1 BR2 2 电源并联 常见错误 R 0 B v R 0 0 圆盘转动,通过圆盘的磁通量不变,电动势为0. a dl V B a 大学物理 典型示例 例3. 如图, 真空中一无限长直导线 通电流 I，直角三角形导线框 ABC与之共面,AC边长度为b,且 与长直导线平行,BC边长度为a 。 若线框以垂直长直导线的速度 v A I b 向右平移。当B点与长直导线相 距为d时，求时刻t在线框ABC 内的感应电动势 , 并讨论 方 向. d B a C 大学物理 解：设任意t时刻 B点到长直导线距离为r， AB的方程为： Y b ( X r ) a Y 则穿过导线框ACBA的磁通 a r I （t） B dS 0 YdX r 2X a r r 0 I b ( X r )dX 2X a 0 I b ar (b r ln ) 2 a r A I b O d B a C X 0 I b ad a a dr d 0 I b a r v (ln ) (ln ) d ad 2 a r a r dt r d 2 a dt 顺时针方向 （线框向右平移，磁通减小） 大学物理 BA AC CB 另解：利用 (v B) dl L 首先确定 v B的方向， 选定dl 方向。 AC 0 Ib 2（a d ) v (C A) CB 0 BA A B vBdl cos( 2 A B vBdxtg ) d a d v BAvBdl sin 0 I b dx 2x a I d v B A B B b a C 0 Ibv d a ln 2a d BA AC 难点理解 0 Ibv d a a ln 2a d ad 一般 ^ (v , B ) 顺时针方向 (v B)与dl 也有一夹角 大学物理 四、动生电动势与洛仑兹力 导线切割磁力线每个电子 受的洛仑兹力 e0 f L f // f f L eV B eu B f fL B V f // u u V f // 对电子做正功 f L 洛仑兹力对电子做功的代数和为零 f 反抗外力做功 结论 洛仑兹力的作用并不提供能量，而只是传递 能量,实质上表示能量的转换和守恒。 思维空间：发电机的工作原理 大学物理 第十三讲 感生电动势 涡旋电场 主要内容: 感生电动势 涡旋电场 重点要求: 感生电动势的两种计算方法。 难点理解: 涡旋电场提供了非静电力。 数学方法: 微积分 典型示例: 通电长直螺线管内横截面内金属棒 ab 上的感生电动势 课外练习: 习题17.6 17.10 17.12 大学物理 一、感生电动势 涡旋电场 主要内容 d m d B ds － dt dt s 若区域不动 B ds ––– 感生电动势 t 提供感生电动势的非静电力是什么力? 变化的磁场周围有一种特殊性质,即对放入其中的 电荷有力的作用,应属电场,称涡旋电场. 有导体存在时,这种客观实在以感生电动势或电流 的形式出现. 大学物理 涡旋电场： Ek dl B ds L t 感生电动势的本质： 重点要求 B t 涡旋电场提供了非静电力。 涡旋电场与静电场的异同： Ek 共同点：对电荷有作用力 不同点： 起源不同 ( Ek 起自于磁场随时间的变化) 性质不同 L Ek dl 0 涡旋电场不能引入电势 大学物理 例1. 长直螺线管内部磁场均匀分布，半径为R， dB 常量( 0) dt 典型示例 求：螺线管内、外涡旋电场的分布 解：磁场有轴对称,激发的涡旋电场也有轴对称,电 力线为一系列圆心在轴上的同心圆. 管内 r < R, B B E d l L k t ds dB Ek 2r r 2 dt r dB Ek 2 dt R r Ek 大学物理 管外 r > R, B dB R 2 Ek 2r ds S t dt B R 2 dB Ek 2r dt r r dB (r < R) 2 dt Ek R 2 dB 2r dt (r > R) 方向由左手螺旋法则确定。 R Ek 大学物理 例2. 求长为L金属棒ab上的感生电动势。 典型示例 解法一：作辅助线 oa, ob, L Ek dl oa Ek dl Ek dl ab E k dl B ab ab Ek dl o h dl Ek bo E r oa bo 0 a L r E k dl b 大学物理 B L Ek dl S t dS B dB 1 Lh dt 2 2 dB L L R2 dt 2 4 2 dB L L ab R2 dt 2 4 a o r h dl Ek b 大学物理 解法二： ab b a Ek dl b a Ek cosdl r dB a cosdl 2 dt b r dB h L 2 dt r 2 dB L L R2 dt 2 4 B a o r h dl E k b 大学物理 二、涡旋电场的应用 S N 靶 电子枪 电子感应加速器 交变电流励磁,第一个1/4周期,洛伦兹力提供向心力,涡 旋电场力使其沿切向加速,只要磁极形状合适,电子可在 稳定轨道上绕行几十万圈,加速到几百万兆电子伏特. 大学物理 涡电流 高频感应炉 各处同时加热,热效率高 可在真空进行,无氧化,不粘污 大学物理 C A1 A2 a 变压器铁芯用相互绝缘的 硅钢片迭合而成,以减小涡 电流 电磁阻尼的演示 涡电流所受安培力阻碍相 对运动 可制成制动器,异步电动机 大学物理 典型示例 例3：分析电子感应加速器，磁场 径向分布须满足的要求。 径向 v2 evBR m R d (mv ) 切向 感应电场力 eE k dt B L Ek dl S t dS dBR 1 dB dt 2 dt 靶 电子枪 dB Ek 2R R dt 2 1 BR B 2 大学物理 三、闭合回路中感生电动势、动生电动势并存的情况。 典型示例 例4 t = 0时，x = 0，B = kxcos( t) 求：回路中的感应电动势 解：选定回路方向计算 m d m dt 常见错误 ×B M l o C v 1 Blx k cos t tg x 3 m BS 2 2 x N D 大学物理 m S B dS ×B 0 kx cos t ldx x 0 k cos t x xtgdx M x 1 k cost tg x 3 3 C l o x N d m 1 3 3 v t k tg sin t kv3t 2 tg cost dt 3 另解： v B (v B) dl ds t D 大学物理 ×B M l B vBl ldx t o v x vkx costxtg kx sin txtgdx x 0 1 33 v t k tg sin t kv3t 2 tg cost 3 常见错误 C B (v B ) dl S t N D 大学物理 第十四讲 自感和互感 主要内容: 自感 互感 重点要求: 自感系数 , 互感系数的计算方法。 难点理解: 计算互感电动势时利用M12=M21 数学方法: 积分. 典型示例: 回路自感系数,回路组的互感系数 及其与自感之间的关系 课外练习: 习题17.16 17.17 17.19 大学物理 主要内容 一、自感 当线圈中电流变化时，使 线圈自身产生感应电动势， 叫自感现象.该电动势叫自感 电动势. i 全磁通与回路的电流成正比： LI 称 L为自感系数,简称自感或电感。 单位：亨利H dI L L dt 自感系数 自感电动势的方向 总是要阻碍回路本身电流的变化。 大学物理 思维空间： L由回路自身性质决定,与是否通电无关. L表征回路电磁惯性的大小。 计算L步骤:设通I, 求B,再求 最后按定义求L L I 重点要求 大学物理 例1. 导线上通有反向电流I(导线内的磁通不计) 求：平行导线电感的分布。 解： B 0 I 0 I 2r 2 (d r ) S B dS r I dr l I 0 I 1 1 x r l dr o 2 r d r d r0 0 Il d r0 ln 0l d r0 r0 L ln I r0 d r0 0 单位长度上的电感： L 0 d r0 L0 ln l r0 大学物理 主要内容 二、互感 当线圈 1中的电流变化 时, 在它邻近的另一个线 圈 2 中产生感应电动势; 称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。 2 i1 线圈 1所激发的磁场通过 线圈 2的磁通链数 21 M 21i1 互感电动势 di1 21 M 21 dt 21 大学物理 线圈2所激发的磁场通过 线圈1的磁通链数和互感 电动势为 12 M12i2 di2 12 M 12 dt 1 12 i2 可以证明：对给定的一对导体回路 M12 M 21 M 称为互感系数。 计算M的步骤:设一个线圈通I,求通过另一个线圈B, 最后按定义求 M 重点要求 I 大学物理 典型示例 例2. 磁导率为的环形铁芯上绕有两组线圈 C1(N1, I1), C2(N2, I2) 求：互感系数及其与自感系数 之间的关系 解：C1在自身中： B N1 I 1 1 l 每匝线圈中 N1 1 B1S I1S l C1 对C2的全磁通： 21 N1 N 2 N 2 1 I1 S l 大学物理 M 21 C2 在自身中： 21 I1 N1 N 2 S l N2 B2 I2 l N2 2 B2 S I2S l C2 对C1的全磁通： N1 N 2 12 N1 2 I2S l M12 M 21 M 12 N1 N 2 M 12 S I2 l 每匝线圈中 大学物理 N12 I1 C1 自身的全磁通： N1 1 S l 2 1 N1 L1 S I1 l N 22 同理： L2 S M L1L2 l 思维空间： M由回路组自身性质决定. M是回路之间电磁藕合强弱的量度. 当有漏磁时: M k L1L2 K决定于两线圈的相对位置 0 K 1 大学物理 例3 如图所示 求：长直导线的互感电动势. di1 di1 21 M 21 M 12 dt dt 典型示例 难点理解 解:设直导线通电流I,穿过 矩形线圈的磁通量为: d a 0 I 0 Ib d a B dS bdr ln 2r 2 a d 0b d a M ln I 2 a 0b d a di (t ) di (t ) (ln ) M 2 a dt dt dr r d i (t ) b a 大学物理 N2 例4 如图所示 求：等效自感系数. N 1 (1). a/,b端连接时, a , b/间的自感 (2). a/, a端连接时, b, b/间的自感 a/ / a b b (3). a/, a端连接, b, b/端连接,这两端的自感. (N1=N2) 解:设通I,根据电流与磁场的右螺旋关系 计算全磁通,再求L. 11 12 21 22 (1) 顺串(两电流同向) 11 12 21 22 L I I L1 2M L2 (2) 反串(两电流反向) L 11 12 21 22 I L1 2M L2 大学物理 (3). 并联. a/, a端连接, b, b/端连接 (N1=N2), 相当于一个 较粗导线环绕的直螺线管,其自感等于单根导线环绕的 直螺线管的自感. L n2V 思维空间：从电动势入手. (1) 顺串 L di di 11 12 21 22 ( L1 2M L2 ) dt dt (2) 反串 L (3). 并联 di di 11 12 21 22 ( L1 2M L2 ) dt dt i d( ) di di 2 L 11 12 ( L1 M ) L1 dt dt dt 大学物理 第十五讲 磁场的能量 主要内容: 自感磁能 互感磁能 磁能密度 重点要求: 自感磁能 磁能密度的计算 难点理解: 互感磁能可正可负,是相互作用能量. 数学方法: 积分. 典型示例: 利用磁能公式求一段同轴电缆的电感. 课外练习: 习题17.20 17.21 大学物理 一、自感磁能 主要内容 自感为 L的线圈,通有电 流 I所储存的磁能应该等于 这电流消失时自感电动势 所做的功. i di L L dA L idt Lidi dt 0 1 i: I0 A I Lidi LI 2 2 1 2 Wm LI 2 ––– 自感磁能. k × R L 重点要求 大学物理 以自感为 L的螺绕环为例,将磁场能量表示 成场量的形式。 L n2V B nI 1 2 2 B2 Wm n I V V 2 2 磁场能量密度 B2 wm 2 1 wm B H 2 磁场能量 B H 重点要求 1 Wm wm dV B HdV V 2 v 大学物理 二、互感磁能 主要内容 L1 L2 i1 R1 i2 k1 1 设想 I1, I2的建立过程 k2 2 k2 断开， k1闭合。i1 : 0 ~ I1 1 2 Wm L1I1 2 k2 闭合， k1闭合。 调 R1, 使 I1 不变。i2 : 0 ~ I2 1 Wm L2 I 22 2 1 2 R2 大学物理 L1 L2 i1 R1 i2 k1 1 k2 2 R2 k2 闭合， k1闭合。调 R1, 使 I1 不变。i2 : 0 ~ I2 di2 此时， i2 在 L1中产生互感。 12 M 12 dt I di 电源 1 克服 12 作功： A12 M 12 2 I1dt 0 dt M 12 I1I 2 2 大学物理 经过上述步骤电流分别为I1 和 I2的状态， 储存在磁场中的总磁能： 1 2 1 2 Wm W1 W2 W12 L1I1 L2 I 2 M 12 I1I 2 2 2 同理，先合开关 k2使线圈 2充电至 I2 ，然后再合 开关k1保持 I2 不变，给线圈 1 充电，得到储存在 磁场中的总能量为： 1 2 1 2 Wm ' W2 W1 W21 L2 I 2 L1I1 M 21I 2 I1 2 2 这两种通电方式的最后状态相同，所以 Wm Wm ' M12 M 21 M 称MI1 I2 为互感磁能 M为互感系数 大学物理 互感磁能 总磁能： W12 MI1I 2 Wm Wm Wm W12 1 2 B B1 B2 H H1 H 2 1 Wm V B HdV 2 2 1 1 B 2 L1I1 dV 2 2 V MI1I 2 v B1 B2 2 2 1 B 2 L2 I 2 dV 2 2 V dv v B1B2 cos dv 互感磁能可正可负,是相互作用能量. B H 大学物理 例1. 求：长为 l 的一段同轴电缆的电感。 2 W 解： L 2m , 典型示例 I Wm V B(r) = R2 B2 dv 2 R1 0 I r 2 2R1 (r R1 ) 0 I 2r ( R1 r R2 ) 0 (r R2 ) I 0 I l 大学物理 B2 B2 R2 Wm V dV 2rldr 2 0 20 2 2 R 0 I R I 2 0 0 r 2 rldr 2rldr 2 4 2 2 R 8 R1 8 r I 0 0l 2 0l 2 R2 I I ln 16 4 R1 1 R1 2 1 I 0l 0l R2 2Wm 0l 0l R2 L 2 2 ln ln I 8 2 R1 16 4 R1 0l 0l R2 L ln 常见错误 I 4 2 R1 导体内磁感应线不是与整个导体中的电流全部套 连，应乘磁链因子。 l 大学物理 例2.一长直导线中通有电流 I1 ，矩形线圈通电流 I2, 二者位于同一平面内，求 ：保持 I2不变，使线圈绕 O O 轴 转过 90 度 要做多少功？ 解： 电流 I1 产生的磁场通过 矩形线圈的磁通量 O I1 d 2a I2 b d a a O d 2a Bbdx d 0 I1 2x d bdx 0 I1 d 2a b ln 2 d 线圈绕 轴 转动须克服磁力矩做功 A I2 I2 0 I1I2b ln d 2a 2 d 大学物理 或：线圈绕 轴 转过 90 度，直 导线与矩形线 圈互感磁能变为零。故线圈绕 轴 转动须做功 A=MI1I2 0 b d 2a ln M I1 2 d O I1 I2 b d a a O 0 I1 I 2 b d 2 a A ln 2 d 思维空间： 互感磁能（互感系数）与两 线圈的相对位置有关。 大学物理 第十六讲 位移电流 麦克斯韦方程组 主要内容: 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁波性质 重点要求: 位移电流 的概念及计算 难点理解: 在激发磁场上,变化的电场等效于电流. 数学方法: 微积分. 典型示例: 圆形平行板电容器板间位移电流, 板间磁感应强度 课外练习:习题17.24 17.25 17.28 17.30 大学物理 一、位移电流 主要内容 位移电流的假说是麦克斯韦为解决安培环路定 理在非稳恒电流情况下所出现的矛盾而提出来的。 L S2 S1 稳恒： H1 dl I 0 L I0 注意：闭和回路所包围的电流是指穿越以L为边界的 任意曲面（如图中S1和S2）的电流。此时都等于I。 非稳恒： H1 dl ? L 大学物理 L S1 S2 I0 s1 ： L H1 dl I 0 s2 ： L H1 dl 0 麦克斯韦注意到充电过程中，电荷在极板上不 断积累，极板间电场是变化的，电通量变化率恰等 于终止于极板的传导电流. 电流连续性原理： dq 0 dS dt S 高斯定理： D dS q S dq d D D dS dS dt dt S t S D S 0 dS S t dS D S（ 0 t ） dS 0 大学物理 L S1 S2 I0 麦克斯韦把变化的电场假定为电流,称位移电流.则两 种电流合在一起,保持了电流的连续性,上述矛盾消失. D s1 ： D 0, （ 0 ） dS I 0 t S1 D dq D d I0 s2 ： 0 0, （ 0 ） dS dS D dS t t dt S dt S2 S2 大学物理 位移电流 重点要求 d e Id dt 位移电流密度 dD d dt 传导电流与位移电流的区别 起源不同;存在范围不同;热效应不同。 大学物理 全 电 流 d e I全 I0 dt 全 电 流 定 律 D I 0 S dS t D LH dl I 0 S t dS 特别地： I0 = 0 (真空中) E D LH dl S t dS 0 t dS (S ) 位移电流的本质： 变化的电场激发涡旋的磁场。 大学物理 典型示例 dE 1013V / m s, R 0.1m, 匀速充电 dt 求： 板间位移电流,板间磁感应强度 例1. 已知 解： d e dE Id 0s dt dt dE R 0 2.8 A dt r 2 r<R dE D LH dl I 0 S t dS 0 S dt dE 2 2rH r 0 dt 大学物理 1 dE H r 0 2 dt B 0 H 1 0 0 r dE 2 dt 当 r = R 时， B 5.6 106 T dE r > R 时， 2rH R 0 dt 2 B 0 0 R 2 dE 2 r dt 常见错误 板间磁场为位移电流所产生. 大学物理 二、麦克斯韦方程组 1.电场的高斯定理 D1 dS q S D D1 D2 主要内容 D o r E D2 dS 0 （变化的磁场） S D dS q S 2.电场的环路定理 S E1 dl 0 E E1 E2 L E2 dl S B dS t B L E dl S t dS 大学物理 3.磁场的高斯定理 S B1 dS 0 B B1 B2 B o r H B2 dS 0 （变化的电场） S B dS 0 S 4.磁场的全电流定理 D H dl I 0 dS L S t H H1 H 2 特例:稳恒 H1 dl I 0 L 麦克斯韦方程组给出了场与激发场的原因 间的整体关系。 SD dS q0 B LE dl s t ds 大学物理 D E S B dS 0 B H D LH dl I 0 S t dS 自由空间中： 0 0, 0 0 S D dS 0 S B dS 0 B D L E dl S t dS , LH dl S t dS 变化的电场 变化的磁场 大学物理 三、电磁波 主要内容 1.电磁波的产生和传播 E H 天线 H E H 变化的电 场、变化 的磁场相 互激发， 相互转化； 以一定的 速度由近 及远地向 周围空间 传播电 磁波。 大学物理 2. L – C振荡电路 L – C电路中产生角 频率 1 L 电磁振荡。 C 通过互感天线 角频率的振荡电流。 L’ 能 源 LC 天线 按麦氏理论电磁 波。 大学物理 3.电磁波的基本性质 平面电磁波 x E E0 cos (t ), u x H H 0 cos (t ) u 1).任一点E、H周期性变化，同频率、同位相 E H 2). 横波（振动方向与传播方向垂直） y z E H u 3）.波速：真空中 u x 光速 1 c 0 0 大学物理 4.电磁波的能量 1 1).电磁场的能量： ω ω e ω m (ε E 2 μ H 2 ) 2 以电磁波形式传播的能量 E 辐射能。 2).辐射强度,又称能流密度： 单位时间内通过垂直于电磁波 传播方向单位面积的辐射能量。 e m s ωu S EH 1 1 2 E H 2 2 S EH 2 H EH u S 大学物理 典型示例 例2. 圆柱形导体长为l，半径为Q，电阻为R。 证明：①在导体表面上，坡印廷 矢量 S 处处垂直导体表 E 面，且指向导体内部。 ②导体内消耗的焦耳热等 于 S 传递来的能量。 证明：① S E H 如图所示 S H 大学物理 ②设长为 l 的异体，单位时间内通过截面上的能量 W S A S 2al EH 2al I 2al 2a I I 2 2al a 2a l I 2 I 2R a 2 由此说明导体内消耗的焦耳热正是由 S 传递来的能量。