Transcript 3. előadás - DE Műszaki Kar

ÁLTALÁNOS GÉPTAN
Előadó: Dr. Fazekas Lajos
3. Előadás
A tehetetlenségi nyomaték és a
lendítőkerék
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A tehetetlenségi nyomaték és a
lendítőkerék
A gép mozgását részint mozgatási
(kinematikai), részint erőtani (dinamikai)
jellemzőkkel írhatjuk le
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
ds/dt = az elmozdulás idő
szerinti első deriváltja
derivált = megváltozás
(analízis)
dv/dt = a
sebesség
idő szerinti
első
deriváltja
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A haladó- és a forgómozgás
Figyelemre méltó az az energia, amely fennáll
a haladó- és forgómozgás egymásnak
megfelelő jellemzői között, úgy mint:
Haladómozgás
Forgó mozgás
Elmozdulás
Szögelfordulás
Sebesség
Szögsebesség
Gyorsulás
Szöggyorsulás
Erő
Nyomaték
Tömeg
Tehetetlenségi nyomaték
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A tehetetlenségi nyomaték
értelmezése
• Állandó tömeg esetén is – függ a fogástengely
helyzetétől és tömegeloszlásától.
• A tehetetlenségi nyomaték értelmezéséhez
célszerű elemezni a következő dián látható
forgógyűrűt.
• Ez a gyűrű eszményesített modell, amely a
küllőket és az egyrészt elhanyagolták az
egyszerűbb tárgyalás kedvéért.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Vázlat a redukált tehetetlenségi
nyomaték értelmezéséhez
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A redukált tehetetlenségi nyomaték
•Ha a hajtónyomaték és az ellennyomaték (amely pl.
csapágysúrlódás által okozott ellenálló nyomaték lehet) egymással
egyenlő, a gyűrű Ѡ=konstans (állandó) szögsebességgel forog.
•A hajtónyomaték Mh=r·Ft, az ellennyomaték Me=r·Fe alakban
írható fel.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A redukált tehetetlenségi nyomaték
•A kerület egyik pontjára redukálva, összpontosítva a gyűrű tömegét,
az Ft és az Fe erők abban a pontban egyensúlyban vannak egymással.
•Ezek után már csak a forgógyűrűt helyettesítő redukált tömeget kell
vizsgálni.
•A pillanatnyi mozgása a tömegnek haladó mozgásként is kezelhető.
Mivel az erők egyensúlyban vannak, a tömeg pillanatnyi sebessége v=
konst.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A redukált tehetetlenségi nyomaték
A redukálás azt jelenti, hogy a forgó tömeget
helyettesítik a kerület egyik pontjába koncentrált
olyan tömeggel, amelynek mozgási energiája egyenlő
a teljes tömeg mozgási energiájával:
mred  v mred  r  

Wv 

J
2
2
2
2
2
J=mred·r2 kifejezés a tehetetlenségi
amelynek mértékegysége: kg
m2
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
2
nyomaték,
Vázlat a tehetetlenségi nyomaték
számításához
•A tehetetlenségi nyomaték mindig
meghatározott forgástengelyre
vonatkozik.
•Egy tetszőleges forgó gépalkatrész
„A” pontján átmenő tengelyére a
tehetetlenségi nyomaték:
i n
J A   mi  ri  mred 1  r  mred 2  r  konst.
2
j 1
2
1
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
2
2
A tehetetlenségi nyomaték számítása
•Kiszámítása két módon lehetséges: az m tömeget
∆m elemi tömegrészekre bontani, s ezek elemi
tehetetlenségi nyomatékait összegezni (illetve ∆m
végtelen kicsi tömegek esetén integrálni).
•A másik mód a tetszőleges sugárra redukált tömeg
módszere. A forgó gépalkatrészek tehetetlenségi
nyomatékainak meghatározására gyors, közelítő
módszer is áll rendelkezésre, az alábbi képlet
segítségével:
mred    m
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A tehetetlenségi nyomaték számítása
•A kerület környezetébe történő redukálás esetén az ún.
redukálási tényező:
–λ≤1 vehető fel;
–teli korong esetében λ=0,5,
–papírvékonyságú gyűrűre pedig (amikor a kerületre redukált tömeg
maga a teljes tömeg) λ=1.
–Ezeket figyelembe véve, külső tárcsákra (ami a gépészeti
gyakorlatban leginkább előfordul) célszerűen λ≈0,7…0,8 értékre
vehető fel, amellyel a kerületre redukált tömeg számítható.
•A gép járásának egyenletességét a hajtóerő és az ellenállás
egyensúlya biztosítja.
•Forgó mozgás esetén a gép szögsebessége (fordulatszáma)
csak addig maradhat változatlan , (Ѡ=konst. És n=konst.), amíg
a hajtóerő nyomatéka az ellenállás nyomatékával egyensúlyt
tart (Mh=Mt, vagyis eredője zérus).
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A tehetetlenségi nyomaték számítása
Külön vizsgálatot igényel a gép ama üzemállapota,
mely az egyenletes üzemtől abban különbözik, hogy a
hajtó nyomatéknak és az ellenállás nyomatéknak csak
időbeli középértékei egyenlők, de közülük az egyik
(vagy mindkettő) ütemesen változik. Ezt kvázi
stacionárius üzemállapotnak nevezik.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Négyütemű, belső
égésű motor
forgattyúcsapján a
tangenciális
(érintőleges)
erők diagramja.
A főtengely szögsebességének
ingadozása a forgattyúcsap
körpályájának kiterített hosszúsága
függvényében .
W34
max  min
m
J
 max  min   max  min   J
 max  min  

2
2
m
 red  rs2  m2      mössz  rs2   2   2
 J  m2    m
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Egy négyütemű belsőégésű motor
forgattyús tengelye (Hayabusa főtengely)
Forgattyúcsapok
Főcsapok
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A szögsebesség változása a
munkaterület előjele alapján
•Négyütemű, belső égésű motoroknál azokon a szakaszokon, ahol
pozitív munkaterület van, a szögsebesség görbéje emelkedő, ahol
pedig negatív munkaterület van, ott csökkenő tendenciát mutat.
Mindez két főtengely fordulat alatt játszódik le.
1, 2, 3, 4, 5, 6:
zérushelyek
F(r) munkafüggvény
ω(r) idő szerinti első
deriváltja
F(r).
ω(r) szögsebesség-fv.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A szögsebesség változása a
munkaterület előjele alapján
• Ez a jelenség differenciálszámítás útján igazolható:
– Tekintsük az F(r) függvényt (a felső munkafüggvény) az ω(r)
függvény (az alsó szögsebesség-függvény) elsőrendű
derivált függvényének.
– A matematikai analízis kimondja, hogy egy differenciálható
függvény első deriváltjának előjele ha pozitív, akkor a
függvény szigorú monoton nő, ha negatív, akkor pedig
szigorú monoton csökken.
– Az ábrából is észrevehető az analízis fent említett tételének
egy jól ismert következménye, miszerint ahol az első
deriváltnak zérus-helye van (ahol értéke 0), ott a
függvénynek (feltételhez kötött) lokális szélsőértéke van!
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A szögsebesség ingadozása és számtani
közepe
•A szögsebesség ingadozását az egyenlőtlenségi
fokkal jellemzik:
   

m

max
m
min
•A szögsebesség számtani középértéke:
k 
max  min
2
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Az energiaegyenlet
•A mellékelt ábra alapján felírható a következő
energiaegyenlet:
W34  Wv 4  Wv3
•Illetve részletesebben:
2
2
J  max
 J  min
W34 
2
Az energiaegyenlet
•Ami matematikailag továbbfejlesztve:
max  min
m
J
W34  max  min   max  min   J
 max  min   
2
2
m
 J  m2    m red  rs2  m2      mössz  rs2   2   2
•Ebből a lendítőkerék tömege:
mössz
W34

  rs2  m2  
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Integrálszámítással
igazolható.
A dugattyús erőgépek lendítőkerekét a következő
egyenlőtlenségi fokokkal méretezik:
δ[%]
Aprítógépek
5-20
Villamos erőmű gépei 0,5-2
Fonógépek
0,2-0,5
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A lendítőkerék
•A gép tehetetlenségi nyomatékát (J) az ún.
lendítőkerék alkalmazásával lehet tetemesen
növelni.
•Így ugyanaz a gyorsító (lassító) nyomaték kisebb
szöggyorsulást (szöglassulást) eredményez  a
szögsebesség ingadozás és az egyenlőtlenségi fok is
kisebb lehet.
•A gép járásának egyenlőtlensége kedvezőtlenül hat
a gép munkájára. Vannak olyan feladatok, amelyek
csak rendkívül egyenletes munkasebességgel
végezhetők. Ilyen pl. a vékony fonalat készítő ún.
gyűrűs fonógép munkája, amelynél a munkasebesség
megváltozása szálszakadást okoz.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A lendítőkerék
•Hatványozott mértékben érzik meg a sebességingadozást a
villamos gépek is, mert a váltakozó áram periódusszáma a
villamos generátor fordulatszámával arányos, így a hálózatra
csak sebességtartó gépek dolgozhatnak párhuzamos
üzemben.
•A villamos izzólámpa fényereje a feszültség függvénye, ez
pedig az egyenáramú villamos gépcsoport fordulatszámával
ingadozik. A fényerő ütemes ingadozása szemrontó, a hálózati
feszültség időszakos növekedése pedig megrövidíti a lámpák
élettartamát.
•A lendítőkerék energiatároló forgó tömeg. Minél nagyobb a
tehetetlenségi nyomatéka, annál egyenletesebb a gép járása,
azaz annál kisebb a δ.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Személygépkocsik lendítőkerekei
Renault kettős tömegű
lendkerék kuplung szettel és
kinyomócsapággyal.
BMW 320d kettős tömegű
lendkerék felépítése.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Személygépkocsik lendítőkerekei
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
A lendítőkerék helye
egy Audi motoron.
(Többnyire mindig a
főtengely jobb
oldalára szerelik.)
Motorkerékpárok lendítőkerekei
Simson S 51 lendkereke
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Motorkerékpárok lendítőkerekei
Simson S51 lendkerekének
szakszerűtlen szereléstechnikája.
Debreceni Egyetem Műszaki Kar
Köszönöm figyelmüket!
Viszont látásra!
Debreceni Egyetem Műszaki Kar