Transcript Klingné Takács Anna prezentációja

KOGNITÍV KATEGÓRIÁK VIZSGÁLATA AZ
ANALÍZIS SZÁMÍTÓGÉPES OKTATÁSÁBAN
GALOIS-GRÁFOKKAL
Klingné Takács Anna
Kaposvári Egyetem, Gazdaságtudományi Kar,
Matematika és Fizika Tanszék
MIDK
Szatmárnémeti, 2011. január 28-30.
Az analízis tanításának elemei egyetemünkön
• Szakjaink
(pénzügy-számvitel BA, gazdaság és vidékfejlesztő BA)
• Előadás
heti 2 óra
• Gyakorlat
heti 2 óra
• Számítógépes matematika módszertan (választható)
heti 3 óra
Miért van szükség választható tantárgy
bevezetésére?
• Év eleji felmérés tapasztalatai
Év eleji felmérés matematikából
60,00
Teljesítmény(%)
50,00
40,00
Pénzügy-Számvitel
Vidékfejlesztés
30,00
Felsőfokú Szakképzés
20,00
10,00
0,00
2006
2007
2008
2009
2010
Felmérés éve
• Hallgatói felkészültség, képességek
• Tanulói kudarcélmények az analízis
tanulása során
• Rendszeres konzultációk igénye
Kognitív matematikatanulási célok
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Varga Tamás(1978)
Megértés
Tudás,cselekés,alkalmazás
Konstruálás
Értékelés
Zech(1989)
Megértés
Tényállások ismerete
Tartalmi és formális eljárások birtoklása
Analízis(elemzés) és egyszerű alkalmazások
Szintézis – Problémamegoldás
Piaget
Az elmúlt tanévben végeztünk egy kutatást, amelyben
szöveges matematikafeladatok megoldását vizsgáltuk
nyelvészeti és matematikai szempontból.( Klingné T.A., N.
Kis.Sz., 2010) A kiválasztott korosztály az általános iskola
felső tagozatos diákjai közül került ki. Hosszú éves tanítási
tapasztalataink azt mutatják, hogy tanulóinknak a szöveges
feladatok megoldása matematikából nehézséget okoz.
Ennek okait keresve arra a kérdésre próbáltunk választ
adni, hogy az anyanyelvi és a matematikai készségek adott
korcsoportban összhangban vannak-e egymással. Az elvégzett
felmérések eredményeit Galois-gráfokkal értékeltük ki.
Összehasonlítottuk a két tantárgy szaktudományi gráfjait adott
feladattípusokban, elkészítettük a tanulói ismeretgráfokat, majd
azokat összevetettük a vizsgált tantárgyi struktúrákkal.
Az általunk definiált univerzális kognitív
kategóriák a következők voltak:
•
•
•
•
•
Tér (tájékozódás, alatt, fölött)
Idő (egymásutániság)
Tulajdonságok (mennyiséget kifejező szavak)
Cselekvést kifejező szavak
Tárgy, fogalom (szakkifejezések ismerete,
használata)
• Cselekvés körülményei (feladatmegoldás
módja, helyessége)
Galois-gráfokról
A vizsgálati módszert Darmstadt műszaki egyetemén hálóelméleti iskola -Rudolf Wille és Bernard Ganter a
fogalomanalízis megalkotói dolgozták ki, nevezetesen
a fogalomanalízis a fogalmak hierarchiájának
matematizálását jelenti.
A Galos-gráfoknak több típusát különböztetjük meg,
attól függően, hogy a pedagógiai munka mely területén
használjuk őket:
•objektumok és tulajdonságaik
•individuális gráfok: lehet szaktudományi, lehet tanulói
gráf
•kollektív gráfok: tanulók-feladatok gráf
•szociometriai gráfok
•kutatási alkalmazásokat jellemző gráfok
Van két alaphalmaz, melynek elemei között több-többértelmű
kapcsolat van. Ugyanakkor az első és második halmaz részhalmazai
között tudunk egy egy-egyértelmű kapcsolatot létesíteni. Az ilyen
részhalmazt zártnak nevezzük, ha elemeinek a száma nem bővíthető
anélkül, hogy a másik részhalmaz elemeinek száma ne csökkenne,
ugyanígy igaz ez a másik részhalmazra is. Ha találunk olyan relációt,
mely kétértékű az adott két alaphalmaz elempárjai között,
gondolhatunk Galois-gráf használatára.
A gráf megrajzolása
Gráf szögpontjai = a zárt részhalmazpárok
A szögpontokat egymás fölé rajzoljuk, aszerint hogy hány
eleműek . Így lesznek egyeleműek, ezeket rajzoljuk egymás
mellé majd a kételeműeket az egyeleműek fölé, míg a
kételeműek egy sorban lesznek és így tovább. Az egyes
szinteket nevezzük a gráf emeleteinek.
Összekötés szabálya = válasszunk ki egy tetszőleges
szögpontot, ezt összekötjük minden olyan alatta fekvő
ponttal, amely a szóban forgónak legnagyobb
részhalmazát jelöli. Az eljárást minden szögpontra
nézve elvégezzük.
Feladatok-tanulók gráf készítése
Feladatokra kapott pontszámok
Feladat: a binér
reláció megtalálása
1.tanulócsoport hallgatói
Tanulók - feladatok gráf
Analízis vizsgán elért
eredmények 2008
december 29-én
• A továbbiakban a fent megnevezett
univerzális kognitív kategóriák
viszonylatában végzünk elemzést az
analízis egyik alapfeladata
kapcsolatában, hozzákapcsolva a
Bruner által meghatározott
reprezentációs síkok megjelenését is,
mivel e szintek a tanítás-nevelés
folyamatában mindvégig jelen vannak.
• A kategóriák és szintek kapcsolat
rendszerét Galois-gráffal ábrázoljuk.
Reláció táblázat a függvényvizsgálat és a kognitív
kategóriák viszonylatában
materiális
sík
ikonikus
sík
szimbolikus
sík
tér
idő
tulajdonság
cselekvést
kifejező
cselekvés
körülményei
1
1
1
1
1
1
Értelmezési
tartomány
1
paritás
1
1
zérushely
1
1
szélsőértékmonotonitás
1
1
1
1
1
1
inflexiós
pontkonvexitás
1
1
1
1
1
1
határértékek
1
1
1
1
1
1
1
1
1
grafikon
értékkészlet
1
1
tárgyfogalom
1
1
1
1
1
1
1
1
A függényvizsgálat
Galois-gráfja
Számítógépes matematika módszertan
tantárgy tanításában alkalmazott módszerek
• differenciál és integrálszámítás (hagyományos út)
• Excel használattal (értéktáblázat készítés és ábrázolás
diagrammal)
• GeoGebra (elsősorban ellenőrzésre)
K. Takács,2010
CAD
(P. Hámori I.,2004)
Tall, 1994
„Hagyományos út”
Tekintsük a következő formulával adott függvényt!
x2  x 1
f x  
ex
A matematikai analízisben tanult eszközökkel meghatározzuk a
függvény ábrázolásához szükséges pontokat:
zérushely:
f x   0 
x 2  x  1  0  x1, 2 
1 5
2
szélsőérték lehetséges helyei:
f x  0  f x   2 x  1e  x
x
e 
2
x 2
 x  1e x
Hogyan segít a GeoGebra?
Az összefüggés így értendő!
e 
x 2
2 x  1e  x
f x  
x
e 
2
x 2

f 
f   g  f  g
  
2
g
g
 
 x  1e x
előjeltáblázat- a függvény és első deriváltjának
kapcsolata:
-1,2
-1,1
-1
-0,9
-0,8
-0,7
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
-2,124875
-0,931291
0
0,713285
1,246303
1,63114
1,895004
2,060902
2,148228
2,173273
2,149669
2,088773
2
1,89111
1,768458
1,637208
1,501517
1,364694
1,229338
1,097454
0,970551
0,849731
0,735759
0,629126
0,530102
0,438776
0,3551
0,278913
0,209972
0,147974
0,092567
0,043375
0
-0,037961
-0,070914
-0,099256
az első derivált
zérushelyei:
x1, 2  
1
2
A három módszer összekapcsolása!
Sorozat jellemzésének elemei
1-tagok kiszámítása
2-monotonitás
3-korlátosság
4-konvergencia tulajdonság alapján
5-konvergencia
szabályaival
határátmenet
6-konvergencia rendőr elvvel
7-küszöbindex meghatározása
8-sorozat ábrázolása
Sorozat jellemzése Excellel
1 3,880466
(hallgatói munka)
2
3,8416
 3n  8 
an  

4

3
n


n2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3,824088
3,814697
3,809076
3,805444
3,802961
3,801189
3,79988
3,798885
3,798112
3,797498
3,797004
3,796599
3,796264
3,795983
3,795746
3,795543
3,795369
3,795217
3,795085
3,79497
3,794868
3,794777
3,794696
3,794624
3,794559
3,794501
3,794448
3,7944
Határérték
Küszöbindex
0,01
Monotonitás
3,79
8
monoton csökkenő
Sorozat GeoGebrával
ÖSSZEGZÉS
• A Galois-gráf és az univerzális kategóriák lehetőséget
adnak arra, hogy a függvényjellemzést más
szemszögből is megvilágítsuk. A szimbolikus síkon való
jártasságot kell erősítenünk diákjainkban, hiszen ez a
feladat megoldását végig kíséri, ehhez azonban Bruner
elmélete szerint a materiális síkon és ikonikus síkon is
jól kell boldogulniuk, a problémamegoldást segíti a
síkok közötti átjárhatóság. Ennek lehet egyik eszköze a
számítógép. Bekapcsolása a munkafolyamatba a
gráfban kapott alsó szinteken célszerű, miután
„cselekvést kifejező” kategória megjelenik, a
számítógép is utasítást, konkrét műveletet hajt végre,
ezért indokolt itt a bevezethetősége.
• Varga matematika tanítás kognitív célrendszere szerint
is az utolsó fázisban, az értékelésben indokolt a
számítógép bevonása.
Köszönöm a figyelmet!