Mocniny s přirozeným mocnitelem Matematika – 8. ročník

Početní operace

 Základní početní operace:

Základní aritmetickou operací je sčítání .

Odčítání je opačnou aritmetickou operací ke sčítání tj. platí a – b = a + (-b); při odčítání vlastně přičítáme opačné číslo Násobení je opakované sčítání.

tj. platí a · b = b + b + b + … + b; sčítáme a stejných čísel b.

Dělení a je opačnou aritmetickou operací k násobení.

tj. platí

𝐚 ∶ 𝐛 = 𝐚 𝐛 = 𝐚 ∙ 𝟏 𝐛

; při dělení vlastně násobíme převráceným číslem.

Početní operace

 Základní početní operace:

Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo násobení ke sčítání.

Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení.

tj. platí b a = b · b · b · … · b; násobíme a stejných čísel b.

a Odmocňování je opačnou aritmetickou operací k umocňování.

tj. platí

𝒏 𝒂 = 𝒃, 𝒌𝒅𝒆 𝒃 𝒏 = 𝒂

; při odmocňování vlastně rozkládáme číslo na součin n stejných čísel.

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pro každé přirozené číslo čísla a n je součin, ve kterém je n-tá n mocnina činitelů a .

𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 = 𝒂

𝒏 𝟐 𝟓 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟔𝟒

n

krát

(−𝟏) 𝟒 = (−𝟏) ∙ (−𝟏) ∙ (−𝟏) ∙ (−𝟏) = 𝟏

Základ mocniny Mocnitel (exponent)

n-

tá mocnina čísla a

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Přečti mocninu: 12 7 (−0,5) 12 0,7 4 (−16) 36 120 10 (−1) 72

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš jako mocninu: 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟓 𝟕 (−𝟎, 𝟑) ∙ (−𝟎, 𝟑) ∙ (−𝟎, 𝟑) ∙ −𝟎, 𝟑 = (−𝟎, 𝟑) 𝟒 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟑 = 𝟐, 𝟑 𝟗 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 ∙ 𝟑 𝟐 𝟑

=

𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐𝟑𝟕 𝟐 𝟑 𝟏 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝟐 𝟑 ∙

Pro každé číslo a se a na prvou rovná a.

𝒂 𝟏 = 𝒂 𝟐 𝟑 𝟏𝟔

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Vypočtěte: 𝟓 𝟒 = 𝟔𝟐𝟓 (−𝟎, 𝟑) 𝟓 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟐 𝟒𝟑 𝟐 𝟗 = 𝟏𝟏 𝟓𝟏𝟐 𝟎, 𝟏 𝟕 = 𝟏 𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟏 = 𝟐 𝟐 𝟎𝟒𝟖 𝟏 𝟔𝟒 = 𝟏

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Vypočtěte: (−𝟐) 𝟒 = 𝟏𝟔 (−𝟐) 𝟓 = −𝟑𝟐

Pro n-tou mocninu libovolného kladného čísla a platí: a n > 0

(−𝟐) 𝟔 = (−𝟐) 𝟕 = 𝟔𝟒 −𝟏𝟐𝟖

Pro n-tou mocninu libovolného záporného čísla a platí: Jeli n sudé číslo, potom je a n > 0

𝟎 𝟖 = 𝟎

Jeli n liché číslo, potom je a n < 0

𝟎 𝒏 = 𝟎

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Určete, zda bude daná mocnina kladná, či záporná: 𝟓 𝟏𝟒 = + (−𝟎, 𝟑) 𝟏𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟓 𝟕 = (−𝟎, 𝟏) 𝟒𝟐 = − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟔𝟒 = 𝟏𝟏 = − + + − +

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Pomocí znaků <; >; = porovnejte čísla: 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 (−𝟓) 𝟔 𝟓 𝟕 𝟎, 𝟖 𝟔 − 𝟑 𝟒 (−𝟑) 𝟒 𝟕 −𝟔 𝟕 𝟕 𝟓 𝟎, 𝟖 𝟓 − 𝟑 𝟒 (−𝟐) 𝟔 𝟏𝟎

< = > Pozor: Vyšší základ, stejný mocnitel => větší mocnina (neplatí vždy – zkus zjistit kdy)

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Rozložte na součin prvočísel číslo 3 600:

3 600

= 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓

60 60 6 10 6 10 2 3 2 5 2 3 2 5

Zapište rozklad čísla 3 600 jako součin mocnin prvočísel: 𝟑 𝟔𝟎𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐 𝟒 ∙ 𝟑 𝟐 ∙ 𝟓 𝟐

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš dané číslo jako součin mocnin prvočísel: 𝟕𝟐 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝟑 𝟐 𝟏𝟎𝟖 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 𝟐 ∙ 𝟑 𝟑 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝟓 𝟑 𝟏 𝟖𝟎𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 𝟐 𝟑 ∙ 𝟑 𝟐 𝟏𝟎 𝟓𝟖𝟒 = = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟕 ∙ 𝟕 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝟓 𝟐 ∙ 𝟑 𝟑 ∙ 𝟕 𝟐 𝟒𝟑 𝟐𝟎𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 = 𝟐 𝟔 ∙ 𝟑 𝟑 ∙ 𝟓 𝟐

Mocniny s přirozeným mocnitelem

Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 10: 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝟐 𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝟑 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟎 Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 2: 𝟑𝟐 = 𝟐 𝟓 𝟏𝟐𝟖 = 𝟐 𝟕 𝟖 = 𝟐 𝟑 𝟏𝟎 𝟏 𝟎𝟐𝟒 = 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟔 𝟕𝟕𝟕 𝟐𝟏𝟔 = 𝟐 𝟐𝟒 Zapiš dané číslo jako mocninu se základem 5: 𝟏𝟐𝟓 = 𝟓 𝟑 𝟕𝟖 𝟏𝟐𝟓 = 𝟓 𝟕 𝟓 = 𝟓 𝟏

Mocniny s přirozeným mocnitelem

O vzniku šachu koluje více pověstí. Podle jedné vznikly šachy někdy v 5.století v Indii. Pověst dále praví, že ji vymyslel bráhman Sissa pro pobavení indického vladaře. Nadšený vládce vyzval vynálezce, aby si sám určil odměnu. Byl zklamán, když si vybral „jen pšenici“. Na prvé pole šachovnice jedno zrno, na druhé dvě, na třetí čtyři, na čtvrté osm, na páté šestnáct atd., vždy dvojnásobek předešlého. Tak málo? Divil se vladař. http://www.spartak-rokytnice.cz/sachy/ Spočtěte jakou hmotnost by měla pšenice pro vynálezce, je-li hmotnost tisíce semen v rozmezí 30–55 g.

𝟐 𝟔𝟒 − 𝟏 =

18 446 744 073 709 551 615 zrnek Od 553 402 322 211 286 548,45 g

≐

553 402 322 211 tun Do 1 014 570 924 054 025 338,825 g

≐

1 014 570 924 054 tun