Transcript Desarrollo de una Funcion Lineal (Oferta y Demanda)

Funciones Lineales
Desarrollo De la(s) Función(es)
Lineal(es) de Oferta y Demanda
MAEC 2140
Prf. J.L Cotto
Objetivos de Aprendizaje
• Como suplemento a la teoría de lo que es una
función lineal, aprendemos a establecer una
ecuación dado los datos relevantes para trabajar
su desarrollo.
• Una vez establecida la función, aprendemos a
calcular el punto de equilibrio de forma
algebraica.
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar
• En nuestro mundo de algebra, aprendimos que una
linea recta está representada por la ecuación
Y = mx + b.
• Recordemos lo que significa cada término
m= la pendiente o inclinación de la recta, o lo que es
más relevante aún, la tasa de cambio de la variable
dependiente (Y) por cada cambio unitario en la variable
independiente (X).
b = el intercepto en Y. Esto es, el valor de la dependiente
Y, cuando la variable independiente (X) es = 0, ó por
donde la recta numérica intersectará el eje de Y en la
gráfica.
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
• En álgebra, aprendimos que los valores de la
pendiente podrian ser tanto negativos (-) como
positivos (+). Esto es lo relevante para nuestro
mundo empresarial.
• También aprendimos en álgebra, que el
intercepto b, puede tambier tomar valores
negativos (-), positivos (+) o cero (0), lo cual es
lo relevante en nuestro ámbito empresarial.
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
• Otro punto relevante en nuestra discusión, es que
en álgebra aprendimos que se necesitan dos
puntos cualesquiera para trazar una gráfica de la
línea recta y para calcular la función
correspondiente.
• Dicho todo esto, podemos hacer una transición
utilizando las herramientas del mundo algebráico
y aplicarlas al mundo empresarial.
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
• Primero: asumiremos una relación lineal entre precio
$P y Cantidades Q en las leyes de Oferta y Demanda.
• Segundo: vamos a establecer los que dicen las leyes de
Oferta y Demanda en nuestro mundo empresarial:
a) La Ley de Oferta dice que la cantidad que un
productor ofrece varía en forma proporcional
ascendente según aumenta el precio $P. En otras
palabras, mientras más alto el precio $P, más está el
productor dispuesto a ofrecer.
b) Esto quiere decir que la pendiente de la gráfica y la
ecuación de la función de Oferta tendrán una Pendiente
POSITIVA (+).
La Ley de la Oferta

Todas las cosas constantes, mientras más alto el precio
de un bien o servicio, mayor es la cantidad ofrecida.
S
Pendiente Positiva (+)
$P
Q
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
c) La Ley de Demanda dice que la cantidad que un
consumidor estádispuesto a comprar varía en forma
proporcional decreciente según aumenta el precio $P. En
otras palabras, mientras más alto el preci $P de un bien
menos está el consumidor dispuesto a comprar.
d) Esto quiere decir que la pendiente de la gráfica y la
ecuación de la función de Demanda tendrán una Pendiente
NEGATIVA (-).
La ley de Demanda
Todas las demás cosas constantes, mientras más alto el precio
de un bien, menor la cantidad demandada por el cpnsumidor
D
Pendiente Negativa ( -)
$P
Q
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
• Ahora podemos hacer la conección entre la forma
clásica de una línea recta Y=mx + b y su forma
correspondiente en las funciones de oferta y
demanda:
Función de Oferta
Qs = mP ± b (nota que la pendiente es positiva)
Función de Demanda
QD = -mP ± b (nota que la pendiente es negativa)
Nota: ± quiere decir que el intercepto podria ser
positivo, negativo o aún cero
Desarrollo de las Funciones
Puntos a considerar (cont…)
• En la funciónes de Oferta y Demanda, ahora notamos
que Q es la variable depediente, esto es sería la Y en la
ecuación de forma algebraica y el precio $P seria la
variable independiente, esto es la X.
• La razón fundamental es que en el ámbito comercial, las
cantidades que ofrecen o demandan tanto los
productores como los consumidores, son función del
precio $P, no al revés. En
En otras palabras
Q = f($P)
¿Cómo desarrollamos la Función?
• Repasemos un ejemplo del ámbito algebraico
a) El primer paso es establecer la pendiente
b) Luego calculamos el intercepto
c) Establecemo la función
d) Podemos sustituir valores de la variable
independiente (X) para calcular valores de la
variable dependiente (Y)
¿Cómo desarrollamos la Función?
Ejemplo algebraico
• El primer paso es establecer la pendiente
•
•
•
X 1, Y1
(-4, -6)
(-7,-15)
Pasos:
1) Calcular la pendiente: m
2) Calcular el intercepto: b
3) Establecer la función: Y=mx+b
X2, Y2
(4, 18)
1) Pendiente:
y  y 18  (6) 24
m 2 1 

3
x2  x1 4  (4)
8
2) Intercepto
Escogemos cualquier punto (x, y) y
sustituimos en la ecuación Y=mx+b
18 =3(4) + b ; despejamos por b
18-12=b; b = 6
3) Establecemos la función
Y = 3m +6
Ahora podemos utilizar la función para calcular cualquier punto que resida en la línea recta
Ejemplos: Y = 3(-4) + 6 = -6; uno de los puntos originales
Y = 3 (5) + 6 = 21
Y = 3( -7) + 6 = -15 etc..
Desarrollo de las Funciones de
Oferta y Demanda
• Seguimos los pasos establecidos anteriormente
• En esta ocasión, las variables X y Y serán
X = $P : recordar que el precio $P es la variable
independiente
Y = Q : recordar que Q, la cantidad es la variable
dependiente
• Similar al procedimiento algebraico, necesitamos dos
puntos para calcular y establecer la función
• Los datos nos los proveerá un plan de Oferta y
Demanda
• Un Plan de Oferta y Demanda detalla las relaciones
entre los precios y las cantidades
Plan de Oferta y Demanda de un Bien
Demanda
Oferta
$P
QD
$P
QS
20
6000
20
2000
22
22
28
28
32
32
36
36
40
4000
40
8000
En este plan, una vez establezcamos las funciones de
Oferta y Demanda, podemos hallar las cantidades
ofrecidas y demandadas a los precios estipulados
Desarrollo de las Funciones de
Oferta y Demanda(cont…)
Oferta: Q = mP + b
1) Calcular la pendiente
Nota: la pendiente tiene que
resultar positiva.
Recordar que
$P es la X y Q es la Y en
la fórmula de la pendiente
m
Q 2 - Q 1 2000  8000 6000
=

 300
P2 - P1
20  40
20
2) Calcular el intercepto
Escogemos cualesquiera de los
puntos y sustituimos en la
ecuación Q = mP + b
2000 = 300(20) + b
Depejamos por b
2000 = 6000 + b
-4000 = b
Establecemos la función
Q = 300($P) - 4000
Desarrollo de las Funciones de
Oferta y Demanda(cont…)
Demanda: Q = mP + b
1) Calcular la pendiente
Nota: la pendiente tiene que
resultar negativa.
Recordar que
$P es la X y Q es la Y en
la fórmula de la pendiente
m
Q 2 - Q 1 6000  4000 2000
=

 -100
P2 - P1
20  40
20
2) Calcular el intercepto
Escogemos cualesquiera de los
puntos y sustituimos en la
ecuación Q = mP + b
6000 = -100(20) + b
Depejamos por b
6000 = -2000 + b
8000 = b
Establecemos la función
Q = -100($P) + 8000
Completando el Plan de Oferta y Demanda
utilizando las funciones calculadas
Oferta
Demanda
Q = 300($P) – 4000
Q = -100($P) + 8000
Q = 300(22) – 4000 = 2600
Q = -100(22) + 8000 = 5800
Q = 300(28) – 4000 = 4400
Q = -100(28) + 8000 = 5200
Q = 300(32) – 4000 = 5600
Q = -100(32) + 8000 = 4800
Q = 300(36) – 4000 = 6800
Q = -100(36) + 8000 = 4400
Plan de Oferta y Demanda de un Bien
Demanda
Oferta
$P
QD
$P
QS
20
6000
20
2000
22
2600
22
5800
28
4400
28
5200
32
5600
32
4800
36
6800
36
4400
40
4000
40
8000
Oferta y Demanda
Equilibrio de Mercado
D
S
E
$P
Q
20
En un mercado en Equilibrio…
QS = QD
Las cantidades ofrcidas y demandadas son iguales
y
$Ps = $Pd
Los precios de Oferta y Demanda para la cantidad
De equilibrio son iguales
¿Cómo calculamos el Punto de Equilibrio?
• Primeramente debemos graficar las curvas si
tenemos el plan de Oferta o Demanda.
• Muchas veces podemos identificarlo visualmente
extrapolando a los ejes correspondientes
• Pero… como estudiantes serios de Economía,
hemos aprendido a que si las curvas de Oferta y
Demanda estan representadas por lineas rectas,
podemos de forma sencilla, calcular el Punto de
Equilibrio en forma algebraica.
Punto de Equilibrio: Forma Algebraica
Función de Oferta:
QS = 300($P) – 4000
Función de Demanda: QD = -100($P) + 8000
Punto de Equilibrio: Forma Algebraica
(cont…)
1. Igualamos las funciones: QS = QD (o vice versa)
-100P + 8000 = 300P - 4000
2. Resolvemos por P transponiendo los terminos
100P + 300P = 8000 + 4000 asi que.. 400P = 12000 y
P E = $30.00
3. Sustituimos el valor de P calculado en las ecuaciones
originales y obtenemos QE
QE = -100P +8000
QE = 300P - 4000
= -100(30) +8000
= 300(30) - 4000
QE = 5000
QE = 5000