Transcript Leyes de Probabilidad

LEYES DE PROBABILIDAD:
Las relaciones que se dan entre los eventos al
ser aplicadas las operaciones que se
presentaron, se facilitan y comprenden mejor
haciendo uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma: Es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema: Es una verdad que requiere ser
demostrada.
AXIOMA 1:
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento,
tal que A  S, entonces se cumple que
0  P(A)  1
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.
P(A)
___________________________________
 -2
-1
0
1
2
AXIOMA 2:
La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es
uno:
P(S) = 1
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado.
Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio
muestral, entonces:
P ( A) 
N ( A)
N (S )

N (S )
N (S )
1
TEOREMA 1:
Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a
cero:
N ( )
0
P ( ) 

0
N (S ) N (S )
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no
compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado.
Que una persona viva 250 años.
En estos casos los eventos son vacíos.
AXIOMA 3:
Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos
eventos tales que: A  S, B  S y A  B = , es decir,
dos eventos mutuamente excluyentes, entonces
P(A  B) = P(A) + P(B)
EJEMPLO:
Experimento: “Se lanzan dos monedas”.
Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4
Sean los eventos:
A: “Caen dos soles exactamente”.
B: “Cae un sol exactamente”.
Los elementos de A y B son: A = { ss }, B = {sa, as}.
Se puede ver que para A  B =  (vacío, no hay elementos en
común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos, por tanto
P(A  B) = P(A) + P(B)
CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO:
P ( A) 
P(B) 
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )

1
4

2
4
P ( A  B )  P ( A)  P ( B ) 
1
4

2
4

3
4
AXIOMA 4:
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente
excluyentes:
P(A1  A2  A3  A4, ...  An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente excluyentes (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.
CONTINUACIÓN:
Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n
eventos seria:
P ( A1
A2
...
n
 P(A
i j
A n )  P ( A1 )  P ( A 2 )  ...  P ( A n ) 
n
i
Aj) 

i jk
P ( Ai
Aj
A k )  ...  P ( A1
A2
...
Ak )
EJEMPLO:
Experimento: “Se lanza un dado”.
Sean los eventos:
A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.
B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”.
C: “Que salga el 1 o 3”.
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4},
B = {5, 6},
C = {1, 3} ,
N(A) = 2
N(B) = 2
N(C) = 2
CONTINUACIÓN:
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:
A  B = {}, A  C = { }, B  C = { }
Por axioma 4:
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)
P ( A) 
P(B) 
P (C ) 
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )
N (C )
N ( )

2
6

2
6

2
6
P ( A  B  C )  P ( A )  P ( B )  P (C ) 
2
6

2
6

2
6

6
6
1
TEOREMA2: LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD.
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B  ,
entonces:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
DIFERENCIA:
Sean A y B dos eventos:
A-B={x|xAyxB}
EJEMPLO:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A  B = { 2s }
N(A  B ) = 1
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( A  B ) 
2
12

3
12

1
12

1
3
TEOREMA 3:
Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral,
tal que A  S, si Ac es el complemento del evento A,
entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)
EJEMPLO:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s }
N(B) = 3
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P ( A )  1  P ( A)  1 
c
2

12
P(B
C
)  1  P(B)  1 
3
12
10
12

9
12
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral
S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento
A suceda una vez que E ha sucedido o en otras
palabras, la probabilidad condicional de A dado E,
se define como:
P( A / E) 
P( A  E)
P(E )
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que los eventos A y E son independientes si se
cumplen:
P ( A / E )  P ( A)
P ( E / A)  P ( E )
P ( A  B )  P ( A) P ( B )
Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A  E) = (E  A) y despejamos a P(A  E), se tiene que
la probabilidad de la intersección es:
P(A / E) 
P(A  E)
P(E )
P ( E / A) 
P ( E  A)
P ( A)
P( A  E )  P( A / E )P(E )
 P( E/A ) P( A )
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Si A y B son independientes:
P ( A  E )  P ( A / E ) P ( E )  P ( A) P ( E )
 P( E/A ) P( A )  P(E)P(A)
P(A / E) 
P ( E / A) 
P(A  E)

P ( A) P ( E )
P(E )
P(E )
P ( E  A)
P ( E ) P ( A)
P ( A)

P ( A)
 P ( A)
 P(E )
EJEMPLO:
Experimento: “Lanzar un dado”.
Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”.
Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”.
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se
obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {3},
E = { 1,3,5},
(AE) = {3},
1
P(A) = 1/6
1x6
PA  E 
1
 A
6
P  



3
P E 
6 x3
3
E 
6
Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales, de
dos eventos A y B, tal que:
A  AC = S
B  BC = S
es elaborando primero la tabla de número de
elementos de los eventos y después la tabla de sus
probabilidades.
Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc
B
Bc
Total
A
AB
A  Bc
A
Ac
Ac  B
Ac  Bc
Ac
Total
B
Bc
S
Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac, Bc
B
Bc
Total
A
N(A  B)
N(A  Bc)
N(A)
Ac
N(Ac  B)
N(Ac  Bc)
N(Ac)
Total
N(B)
N(Bc)
N(S)
Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus
intersecciones
B
Bc
Total
A
P(AB)
P(ABc)
P(A)
Ac
P(AcB)
P(AcBc)
P(Ac)
Total
P(B)
P(Bc)
P( Ω)
PROBABILIDADES CONDICIONALES:
P(A/B) = P(A  B)/P(B)
P(B/A) = P(A  B)/P(A)
P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc)
P(B/Ac) = P(Ac  B)/P(Ac)
P(Ac/B) = P(Ac  B)/P(B)
P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A)
EJEMPLO:
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la
población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las
mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una persona
desempleada. Si la población total es de 8000 personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:
a).- Mujer.
b).- Hombre.
c).- Mujer dado que está empleado.
d).- Desempleado dado que es hombre.
e).- Empleado dado que es mujer.
SOLUCIÓN:
Sean los eventos:
M: “Que sea Mujer”.
H: “Que sea Hombre”.
D: “Que sea Desempleado”.
E: “Que sea Empleado”
Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S.
Desempleados : D
Empleados: E
Total
Mujeres: M
800
3200
Hombres: H
200
3800
4000
Total
1000
7000
8000
4000
TABLA DE PROBABILIDADES:
D
E
Total
M
800/8000 = 0.1
3200/8000= 0.4
4000/8000= 0.5
H
200/8000= 0.025
3800/8000= 0.475
4000/8000= 0.5
Total
1000/8000= 0.125
7000/8000= 0.875
8000/8000= 1
CONTINUACIÓN:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571
P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05
P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8
P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8
P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2
CONTINUACIÓN:
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(ME) = 0.40
P(DH) = 0.025
P(MD) = 0.10
P(EH) = 0.475
P(M) P(E)
P(D) P(H)
P(M) P(D)
P(E) P(H)
= 0.4375
= 0.0625
= 0.0625
= 0.4375
CONTINUACIÓN:
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
EyH
son dependientes.
LEY MULTIPLICATIVA:
P ( A1
A2
A3
...
Ak )  P ( A1 ) P ( A2 \ A1 ) P ( A3 \ A1
A2 )... P ( Ak \ A1
A2
...
INDEPENDENCIA DE n EVENTOS
P ( A1
A2
A3
...
Ak )  P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( Ak )
Ak  1 )
PROBABILIDAD TOTAL:
Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente
excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai
 Aj =  para toda i y toda j, y además
S = A1  A2  A3  An
A2
A5
A3
A1
A4
A6
An
Y sea E otro evento tal que E  S y E  Ai  
A2
A5
A3
A1
A4
E
A6
An
E
Entonces:
E = S  E = (A1  A2 A3 An)  E
= (A1  E)  (A2  E)  (A3  E)  (An  E)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se
tiene que:
P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)
Ya que (Ai  E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j
Como (Ai  E) = (E  Ai) entonces
P(Ai  E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de E es:
P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)
EJEMPLO:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el artículo
sea defectuoso?
SOLUCIÓN:
Sea
D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.
P(M1) = 0.50
P(D/M1) = 0.03
P(M2) = 0.30
P(D/M2) = 0.04
P(M3) = 0.20
P(D/M3) = 0.05
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3)
= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037
Defectuoso
Máquina 1
No
defectuoso
Defectuoso
Maquina 2
No
defectuoso
Defectuoso
Maquina 1
No
defectuoso
P(D/M1) = 0.03
D
P(M1) = 0.50
P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
M1
ND
P(ND/M1) = 0.97
P(D/M2) = 0.04
D
P(M2) = 0.30
P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012
M2
ND
P(ND/M2) = 0.96
P(D/M3) = 0.05
D
P(M3) = 0.20
P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01
M3
ND
P(ND/M3) = 0.95
P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
TEOREMA DE BAYES:
Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un
espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición
es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente
excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para
cualquier Ai,
P ( Ai / E ) 
P ( Ai ) P ( E / A I )
P ( A1 ) P ( E / A1 )  P ( A 2 ) P ( E / A 2 )    P ( A n ) P ( E / A n )
CONTINUACIÓN:
Como la probabilid ad completa
P(E)  P(A 1 )P(E/A
1
)  P(A 2 )P(E/A
entonces
P(A i /E) 
P(A i )P(E/A
P(E)
de E es :
I
)
2
)    P(A n )P(E/A
n
)
EJEMPLO:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el artículo
sea defectuoso?
SOLUCIÓN:
Sea
D: “Que el artículo sea defectuoso”.
ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.
M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.
M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”.
M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”.
P(M1) = .50
P(M2) = .30
P(M3) = .20
P(D/M1) = .03
P(D/M2) = .04
P(D/M3) = .05
P(D/M1) = 0.03
D
P(M1) = 0.50
P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
M1
ND
P(ND/M1) = 0.97
P(D/M2) = 0.04
D
P(M2) = 0.30
P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012
M2
ND
P(ND/M2) = 0.96
P(D/M3) = 0.05
D
P(M3) = 0.20
P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01
M3
ND
P(ND/M3) = 0.95
P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
CONTINUACIÓN:
Por teorema de Bayes se tiene:
P (M 1 / D ) 

P (M 1 )P (D / M 1 )
P (M 1 )P (D / M 1 )  P (M 2 )P (D / M 2 )  P (M 3 )P (D / M 3 )
P (M 1 )P (D / M 1 )
P(D )

(. 50 )(. 03 )
 . 4054
. 037
La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya
producido en la M1 es del 40.54%