Leyes de Probabilidad
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Transcript Leyes de Probabilidad
LEYES DE PROBABILIDAD:
Las relaciones que se dan entre los eventos al
ser aplicadas las operaciones que se
presentaron, se facilitan y comprenden mejor
haciendo uso de los axiomas y teoremas de
probabilidad (Leyes de Probabilidad).
Axioma: Es una verdad evidente que no
requiere demostración.
Teorema: Es una verdad que requiere ser
demostrada.
AXIOMA 1:
Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento,
tal que A S, entonces se cumple que
0 P(A) 1
esto significa que la probabilidad de cualquier
evento no puede ser más grande que uno, ni ser
menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento
seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.
P(A)
___________________________________
-2
-1
0
1
2
AXIOMA 2:
La probabilidad del espacio muestral S es un evento seguro y es
uno:
P(S) = 1
Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado.
Si A = S, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio
muestral, entonces:
P ( A)
N ( A)
N (S )
N (S )
N (S )
1
TEOREMA 1:
Si es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de es igual a
cero:
N ( )
0
P ( )
0
N (S ) N (S )
Ejemplos:
Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no
compra boleto.
Que aparezca un siete al lanzar un dado.
Que una persona viva 250 años.
En estos casos los eventos son vacíos.
AXIOMA 3:
Sea S un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos
eventos tales que: A S, B S y A B = , es decir,
dos eventos mutuamente excluyentes, entonces
P(A B) = P(A) + P(B)
EJEMPLO:
Experimento: “Se lanzan dos monedas”.
Espacio muestral: S = { ss, aa, sa, as}, N(S) = 4
Sean los eventos:
A: “Caen dos soles exactamente”.
B: “Cae un sol exactamente”.
Los elementos de A y B son: A = { ss }, B = {sa, as}.
Se puede ver que para A B = (vacío, no hay elementos en
común), por lo que los eventos son mutuamente excluyentes o
disjuntos, por tanto
P(A B) = P(A) + P(B)
CONTINUACIÓN DEL EJEMPLO:
P ( A)
P(B)
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )
1
4
2
4
P ( A B ) P ( A) P ( B )
1
4
2
4
3
4
AXIOMA 4:
Sean A1, A2, A3, A4, ..., An; eventos mutuamente
excluyentes:
P(A1 A2 A3 A4, ... An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)
Este axioma dice que la probabilidad de varios
eventos mutuamente excluyentes (que no tienen
elementos en común), es igual a la suma de sus
probabilidades.
CONTINUACIÓN:
Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces para n
eventos seria:
P ( A1
A2
...
n
P(A
i j
A n ) P ( A1 ) P ( A 2 ) ... P ( A n )
n
i
Aj)
i jk
P ( Ai
Aj
A k ) ... P ( A1
A2
...
Ak )
EJEMPLO:
Experimento: “Se lanza un dado”.
Sean los eventos:
A: “Que al lanzar un dado salga el 2 o el 4”.
B: “Que al lanzar un dado salga un número mayor a 4”.
C: “Que salga el 1 o 3”.
Los elementos de A, B y C son
A = {2, 4},
B = {5, 6},
C = {1, 3} ,
N(A) = 2
N(B) = 2
N(C) = 2
CONTINUACIÓN:
Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que:
A B = {}, A C = { }, B C = { }
Por axioma 4:
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C)
P ( A)
P(B)
P (C )
N ( A)
N ( )
N (B)
N ( )
N (C )
N ( )
2
6
2
6
2
6
P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P (C )
2
6
2
6
2
6
6
6
1
TEOREMA2: LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD.
Sean A y B dos eventos no excluyentes, A B ,
entonces:
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
DIFERENCIA:
Sean A y B dos eventos:
A-B={x|xAyxB}
EJEMPLO:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3
A B = { 2s }
N(A B ) = 1
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( A B )
2
12
3
12
1
12
1
3
TEOREMA 3:
Sea A un evento cualquiera y S un espacio muestral,
tal que A S, si Ac es el complemento del evento A,
entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la
probabilidad de A, es decir
P(Ac) = 1 – P(A)
EJEMPLO:
Experimento.- “Se lanza un dado y una moneda”.
S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
N(S) = 12
Evento A: “Que aparezcan el número 2 o 3 con sol”.
Evento B: “Que aparezcan números pares con sol”.
A = { 2s, 3s },
N(A) = 2
B = { 2s, 4s, 6s }
N(B) = 3
Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }
P ( A ) 1 P ( A) 1
c
2
12
P(B
C
) 1 P(B) 1
3
12
10
12
9
12
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral
S, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento
A suceda una vez que E ha sucedido o en otras
palabras, la probabilidad condicional de A dado E,
se define como:
P( A / E)
P( A E)
P(E )
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que los eventos A y E son independientes si se
cumplen:
P ( A / E ) P ( A)
P ( E / A) P ( E )
P ( A B ) P ( A) P ( B )
Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Ley Multiplicativa de la Probabilidad.
Ya que (A E) = (E A) y despejamos a P(A E), se tiene que
la probabilidad de la intersección es:
P(A / E)
P(A E)
P(E )
P ( E / A)
P ( E A)
P ( A)
P( A E ) P( A / E )P(E )
P( E/A ) P( A )
PROBABILIDAD CONDICIONAL:
Si A y B son independientes:
P ( A E ) P ( A / E ) P ( E ) P ( A) P ( E )
P( E/A ) P( A ) P(E)P(A)
P(A / E)
P ( E / A)
P(A E)
P ( A) P ( E )
P(E )
P(E )
P ( E A)
P ( E ) P ( A)
P ( A)
P ( A)
P ( A)
P(E )
EJEMPLO:
Experimento: “Lanzar un dado”.
Evento A: “Que al lanzar el dado caiga 3”.
Evento E: “Que al lanzar un dado salga un impar”.
Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se
obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.
S = {1,2,3,4,5,6}
A = {3},
E = { 1,3,5},
(AE) = {3},
1
P(A) = 1/6
1x6
PA E
1
A
6
P
3
P E
6 x3
3
E
6
Otra forma de calcular las probabilidades de la
intersección y las probabilidades condicionales, de
dos eventos A y B, tal que:
A AC = S
B BC = S
es elaborando primero la tabla de número de
elementos de los eventos y después la tabla de sus
probabilidades.
Se tienen los eventos A y B y sus complementos Ac, Bc
B
Bc
Total
A
AB
A Bc
A
Ac
Ac B
Ac Bc
Ac
Total
B
Bc
S
Tabla de número de elementos de A, B y sus
complementos Ac, Bc
B
Bc
Total
A
N(A B)
N(A Bc)
N(A)
Ac
N(Ac B)
N(Ac Bc)
N(Ac)
Total
N(B)
N(Bc)
N(S)
Tabla de probabilidades de A, B, Ac, Bc y sus
intersecciones
B
Bc
Total
A
P(AB)
P(ABc)
P(A)
Ac
P(AcB)
P(AcBc)
P(Ac)
Total
P(B)
P(Bc)
P( Ω)
PROBABILIDADES CONDICIONALES:
P(A/B) = P(A B)/P(B)
P(B/A) = P(A B)/P(A)
P(A/Bc) = P(A Bc)/P(Bc)
P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)
P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)
P(Bc/A) = P(A Bc)/P(A)
EJEMPLO:
En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la
población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las
mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista
estudia la situación de empleo, elige al azar una persona
desempleada. Si la población total es de 8000 personas,
¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:
a).- Mujer.
b).- Hombre.
c).- Mujer dado que está empleado.
d).- Desempleado dado que es hombre.
e).- Empleado dado que es mujer.
SOLUCIÓN:
Sean los eventos:
M: “Que sea Mujer”.
H: “Que sea Hombre”.
D: “Que sea Desempleado”.
E: “Que sea Empleado”
Tabla de elementos de los eventos M, H, D, E Y S.
Desempleados : D
Empleados: E
Total
Mujeres: M
800
3200
Hombres: H
200
3800
4000
Total
1000
7000
8000
4000
TABLA DE PROBABILIDADES:
D
E
Total
M
800/8000 = 0.1
3200/8000= 0.4
4000/8000= 0.5
H
200/8000= 0.025
3800/8000= 0.475
4000/8000= 0.5
Total
1000/8000= 0.125
7000/8000= 0.875
8000/8000= 1
CONTINUACIÓN:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(M/E) = P(ME)/P(E) = 0.40/0.875 = 0.4571
P(D/H) = P(DH)/P(H) = 0.025/0.5 = 0.05
P(E/M) = P(ME)/P(M) = 0.40/0.5 = 0.8
P(M/D) = P(MD)/P(D) = 0.10/0.125 = 0.8
P(H/D) = P(HD)/P(D) = 0.025/0.125 = 0.2
CONTINUACIÓN:
Eventos dependientes e independientes
En el ejemplo anterior se tiene que:
P(M) = 0.50
P(H) = 0.50
P(E) = 0.875
P(D) = 0.125
P(ME) = 0.40
P(DH) = 0.025
P(MD) = 0.10
P(EH) = 0.475
P(M) P(E)
P(D) P(H)
P(M) P(D)
P(E) P(H)
= 0.4375
= 0.0625
= 0.0625
= 0.4375
CONTINUACIÓN:
Por tanto los eventos M y E ,
D y H,
M y D,
EyH
son dependientes.
LEY MULTIPLICATIVA:
P ( A1
A2
A3
...
Ak ) P ( A1 ) P ( A2 \ A1 ) P ( A3 \ A1
A2 )... P ( Ak \ A1
A2
...
INDEPENDENCIA DE n EVENTOS
P ( A1
A2
A3
...
Ak ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )... P ( Ak )
Ak 1 )
PROBABILIDAD TOTAL:
Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente
excluyentes), que forman una partición de S. Esto es Ai
Aj = para toda i y toda j, y además
S = A1 A2 A3 An
A2
A5
A3
A1
A4
A6
An
Y sea E otro evento tal que E S y E Ai
A2
A5
A3
A1
A4
E
A6
An
E
Entonces:
E = S E = (A1 A2 A3 An) E
= (A1 E) (A2 E) (A3 E) (An E)
Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se
tiene que:
P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)
Ya que (Ai E) es ajeno a (Aj E) para i ≠ j
Como (Ai E) = (E Ai) entonces
P(Ai E) = P(E Ai) = P(E/Ai) P(Ai)
Entonces la probabilidad completa de E es:
P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) + P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)
EJEMPLO:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el artículo
sea defectuoso?
SOLUCIÓN:
Sea
D el evento: “Que sea un artículo defectuoso”.
P(M1) = 0.50
P(D/M1) = 0.03
P(M2) = 0.30
P(D/M2) = 0.04
P(M3) = 0.20
P(D/M3) = 0.05
P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3)
= 0.03(0.50) + 0.04(0.30) + 0.05(0.20) = 0.037
Defectuoso
Máquina 1
No
defectuoso
Defectuoso
Maquina 2
No
defectuoso
Defectuoso
Maquina 1
No
defectuoso
P(D/M1) = 0.03
D
P(M1) = 0.50
P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
M1
ND
P(ND/M1) = 0.97
P(D/M2) = 0.04
D
P(M2) = 0.30
P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012
M2
ND
P(ND/M2) = 0.96
P(D/M3) = 0.05
D
P(M3) = 0.20
P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01
M3
ND
P(ND/M3) = 0.95
P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
TEOREMA DE BAYES:
Supóngase que A1, A2, A3,...,An es una partición de un
espacio muestral S. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición
es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente
excluyentes. Sea E cualquier evento, entonces para
cualquier Ai,
P ( Ai / E )
P ( Ai ) P ( E / A I )
P ( A1 ) P ( E / A1 ) P ( A 2 ) P ( E / A 2 ) P ( A n ) P ( E / A n )
CONTINUACIÓN:
Como la probabilid ad completa
P(E) P(A 1 )P(E/A
1
) P(A 2 )P(E/A
entonces
P(A i /E)
P(A i )P(E/A
P(E)
de E es :
I
)
2
) P(A n )P(E/A
n
)
EJEMPLO:
En una pequeña empresa de tejidos, la producción se obtiene
con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen
respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de
artículos.
Los porcentajes de productos
defectuosos producidos por
estas máquinas son 3%, 4% y
5%. Si se selecciona un
artículo al azar, ¿Cuál es la
probabilidad de que el artículo
sea defectuoso?
SOLUCIÓN:
Sea
D: “Que el artículo sea defectuoso”.
ND: “Que el artículo no sea defectuoso”.
M1: “Que haya sido producido por la máquina 1”.
M2: “Que haya sido producido por la máquina 2”.
M3: “Que haya sido producido por la máquina 3”.
P(M1) = .50
P(M2) = .30
P(M3) = .20
P(D/M1) = .03
P(D/M2) = .04
P(D/M3) = .05
P(D/M1) = 0.03
D
P(M1) = 0.50
P(M1) x P(D/M1) = 0.5 x 0.03 = 0.015
M1
ND
P(ND/M1) = 0.97
P(D/M2) = 0.04
D
P(M2) = 0.30
P(M2) x P(D/M2) = 0.3 x 0.04 = 0.012
M2
ND
P(ND/M2) = 0.96
P(D/M3) = 0.05
D
P(M3) = 0.20
P(M1) x P(D/M1) = 0.2 x 0.05 = 0.01
M3
ND
P(ND/M3) = 0.95
P(D) = 0.015 + 0.012 + 0.01 = 0.037
CONTINUACIÓN:
Por teorema de Bayes se tiene:
P (M 1 / D )
P (M 1 )P (D / M 1 )
P (M 1 )P (D / M 1 ) P (M 2 )P (D / M 2 ) P (M 3 )P (D / M 3 )
P (M 1 )P (D / M 1 )
P(D )
(. 50 )(. 03 )
. 4054
. 037
La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya
producido en la M1 es del 40.54%