Transcript Wyk??ad 6
Tomasz Szumlak, WFiIS, 12/04/2013
1
Wartość oczekiwana zdefiniowana na ostatnim wykładzie:
Wybierzmy funkcję g(x) jak poniżej:
wówczas, wyrażenie
nazywamy momentem rzędu „r” względem punktu „a”.
Jeżeli wybierzemy punkt „a” jako:
dostaniemy tzw. momenty centralne (szczególnie ważne w statystyce)
2
W szczególności mamy:
czyli, drugi moment centralny, możemy zidentyfikować jako wariancję
Z.L. X
Uwaga! Powyższe rozważania dotyczą oczywiście obu rodzajów Z.L.
jakie dyskutowaliśmy, tzn. ciągłych i dyskretnych:
Podobnie możemy zdefiniować momenty główne:
3
Istnieje prosty związek, pomiędzy momentami centralnymi i głównymi:
Zauważmy, że:
Można również łatwo pokazać, że gdy wartość oczekiwana dla danej
Z.L. E(X) = 0, wówczas momenty centralne równe są momentom
głównym.
To ciekawa obserwacja, np. dla zmiennej standardowej (ostatni
wykład) oba typy momentów są równe z definicji!
4
Jeżeli funkcja R.G.P. jest niesymetryczna, można wprowadzić pewną
miarę, która będzie opisywać stopień odkształcenia rozkładu,
nazywamy ją skośnością
Dla rozkładów symetrycznych skośność zanika!
5
Ostatnią z najczęściej stosowanych miar, określających własności
funkcji R.G.P. jest kurtoza.
Stosuje się ją, do określenia stopnia skupienia wartości Z.L. wokół
maksimum, podobnie jak w przypadku skośności wprowadza się
wygodny parametr bezwymiarowy:
„Mała” kurtoza
„Duża” kurtoza
Można pokazać, że dowolny R.G.P. można określić używając
momentów
6
Poza wartością oczekiwaną, która jest najczęściej używana do
określania tendencji centralnej danej Z.L., stosujemy również inne
miary:
Moda xm (wartość modalna) – wartość zmiennej
odpowiadająca maksimum (globalne lub lokalne) prob. :
losowej,
X,
Jeżeli jedno max. globalne – rozkład nazywamy jednomodalnym, jeżeli
więcej max. wówczas nazywamy go wielomodalnym
Poniżej rozkład dwumodalny, większe z maksimów nazywamy dominantą
Mody
7
Mediana x1/2 R.G.P. zdefiniowana jest jako wartość Z.L., dla której
mamy:
Mediana, dzieli powierzchnię pod krzywą reprezentującą R.G.P. na dwie
równe części (w przypadku Z.L. dyskretnej sytuacja może być nieco
bardziej skomplikowana – dyskusja na ćwiczeniach).
Analogicznie, mediana może zostać wyrażona przez dystrybuantę Z.L.
Jeżeli mamy Z.L., która posiada R.G.P. będący funkcją ciągłą oraz
symetryczną wokół swojego globalnego maksimum, wówczas wartość
średnia, moda oraz mediana są sobie równe!
8
Kwantyle, są blisko związane z pojęciem mediany. Np. kwartyle
definiujemy jako:
powyższe nazywamy dolnym i górnym kwartylem
Podobnie, możemy zdefiniować decyle:
Ogólnie, kwantylem x nazywamy:
9
Momenty zdefiniowane dla jednowymiarowych zmiennych losowych
mogą być łatwo przeniesione do „świata” zmiennych wielowymiarowych.
Zdefiniujmy zmienną losową posiadającą n-składowych:
Funkcję R.G.P. oraz dystrybuantę oznaczymy jako:
Momenty centralne, zdefiniujemy jak poniżej:
W szczególności momenty drugiego rzędu zapiszemy jako:
10
Dla wprawy popatrzmy na przypadek dwuwymiarowy:
Zakładamy, że rozkład zmiennych X i Y opisany jest przez f(x,y)
Wartości oczekiwane dla zmiennych X oraz Y definiujemy jako:
Odpowiednio, wariancje:
11
Zarówno wartości oczekiwane jak i wariancje definiujemy podobnie
jak w przypadku Z.L. jednowymiarowej.
Nowością jest następujące wyrażenie mieszane
to samo w postaci jawnej:
Można pokazać, że prawdziwe są poniższe tożsamości:
Z.L.
niezależne
12
Kowariancja nie ma odpowiednika w przypadku jednowymiarowych Z.L.
Zawiera ona informacje dotyczące liniowej zależności pomiędzy
zmiennymi losowymi X1 (X) oraz X2 (Y), np. gdy zdarzenie:
„Tradycyjnie”, najwygodniej jest wprowadzić wielkość bezwymiarową
do określenia zależności pomiędzy Z.L. – współczynnik korelacji
Łatwo pokazać (np. korzystając z definicji Z.L. w postaci standardowej):
13
Uwaga! Jeżeli wsp. korelacji jest różny od zera, mówimy wówczas, że
Z.L. są liniowo zależne – skorelowane
W przypadku, gdy wsp. korelacji jest równy „0” (zanika kowariancja)
Z.L. nazywamy nieskorelowanymi liniowo (mogą jednak być zależne!)
14
Wróćmy do rozważań dotyczących Z.L. wielowymiarowych, w tym
przypadku, możemy zdefiniować tzw. macierz kowariancji (używając
wprowadzonych wcześniej oznaczeń)
Jest to macierz rzeczywista, symetryczna (ckl = clk), wyrazy diagonalne
są po prostu wariancjami:
Wprowadźmy zapis:
Mamy wówczas:
Formalnie
zapisujemy T
15
Załóżmy, że chcemy dokonać pomiaru zmiennej losowej Y
Może okazać się, że bezpośredni pomiar jest trudny i zamiast tego
mierzymy inne zmienne losowe, związane ze zmienną X (np. pomiar
rezystancji elementu elektronicznego – mierzymy prąd, I, i napięcie, V)
Rozważmy przykład następującej transformacji liniowej
Wartość oczekiwana:
16
To prowadzi nas do sformułowania tzw. twierdzenia o przenoszeniu
niepewności pomiarowych:
Załóżmy, że zachodzi związek pomiędzy Z.L. taki jak na poprzednim
slajdzie. Jeżeli znamy wartości oczekiwane, wariancje oraz kowariancje
wszystkich Z.L. Xi, to:
17