Transcript Eliminasi Gauss Jordan

PERTEMUAN 3
RABU, 20 MARET 2013
08.00 – 10.30 WIB [MNJ B]
10.30 – 13.00 WIB [MNJ A]
SELASA, 26 MARET 2013
10.00-12.30 WIB [AKT]
NURUL SAILA
1
Definisi dan
Istilah
Persamaan Linier
SPL
OBE
Sistem
Persamaan
Linier (SPL)
Matrik Eselon
Baris
Eliminasi
Gauss-Jordan
Metode
Menyelesaikan SPL
Matrik Eselon Baris
yg direduksi
Matrik yg diperbesar
Kaidah
Cramer
Perkalian Matrik
Menyelesaikan
SPL dg Eliminasi
Gauss-Jordan
NURUL SAILA
2
1. PERSAMAAN LINIER
 Persamaan linier adalah suatu persamaan
yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah satu.
 Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …,
xn adalah sebuah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk:
a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
dimana a1, a2, …, an, b adalah konstantakonstanta riil.
NURUL SAILA
3
Pemecahan persamaan linier:
a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2,
…, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi
bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …,
xn = sn.
Himpunan semua pemecahan persamaan
tersebut dinamakan himpunan
pemecahannya.
NURUL SAILA
4
Tentukan selesaian dari persamaanpersamaan berikut:
1. 2x + 3 = -7
2. 2x + 3y -2 = 10
3. 2x + 3y + 5z + 10 = 15
NURUL SAILA
5


Sebuah himpunan berhingga dari persamaan
linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn
dinamakan sebuah system persamaan linier
atau sebuah system linier.
Sistem persamaan linier yang terdiri dari m
persamaan dalam n variable adalah:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚 1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
NURUL SAILA
6

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn
dinamakan sebuah pemecahan system
tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah
sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan
di dalam system tersebut.
NURUL SAILA
7
Perhatikan sistem persamaan linier berikut:
2x + 3y – 5z = -8
-x –y + 15z = 42
5x -2y + z = 11
Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}
NURUL SAILA
8
Ada beberapa cara menentukan pemecahan
system persamaan linier, yaitu:
(1) Eliminasi Gauss
(2) Eliminasi Gauss-Jordan
(3) Kaidah Cramer
(4) Perkalian Matrik
NURUL SAILA
9
Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier, yang meliputi langkahlangkah sbb:
1. Mengubah system persamaan linier ke
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya
adalah koefisien dari variable dan konstanta
dari persamaan dalam system;
2. >>>
NURUL SAILA
10
2.
3.
4.
Dengan menggunakan OBE, mengubah
bentuk matriks yang diperbesar menjadi
matriks bentuk eselon baris (row-echelon
form).
Mengubah matrik eselon baris ke bentuk
sistem persamaan.
Menyelesaikan tiap persamaan dalam
sistem.
NURUL SAILA
11
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu
operasi yang dikenakan pada suatu baris
matriks, yaitu:
1. Kalikan suatu baris dengan sebuah
konstanta yang bukan 0.
2. Pertukarkan sebarang dua baris.
3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd
baris yang lain.
NURUL SAILA
12
1
𝐴 = −2
3
2
3
−2
3
1
1
−1
2
−3
OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1)
 OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2)
 OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

NURUL SAILA
13
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah
sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0,
maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris
tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari
0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan
bersama-sama di bawah matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan,
yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1
utama di dalam baris yang lebih rendah
terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama
di dalam baris yang lebih tinggi.
NURUL SAILA
14
1.
Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris?
1
a. 0
0
2.
0
2
0
3
1
8 b. 0
0
0
3
0
1
0
1
0 c. 0
4
0
0
1
0
3
2
3
Dengan OBE, ubahlah matrik berikut
menjadi matrik bentuk eselon baris.
2
a. 1
3
1
4
2
−3
−1
0 b. 0
−1
3
1
4
−2
−3
2
0 c. −1
−1
0
−1
4
2
NURUL SAILA
3
0
−1
15
Tentukan selesaian dari sistem persamaan
berikut menggunakan metode eliminasi
Gauss.
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
NURUL SAILA
16
Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu:
1. Mengubah system persamaan linier ke
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya
adalah koefisien dari variable dan konstanta
dari persamaan dalam system;
2. Dengan menggunakan OBE, mengubah
bentuk matriks yang diperbesar menjadi
matriks bentuk eselon baris yang direduksi
(reduced row-echelon form)
NURUL SAILA
17
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang
direduksi adalah sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari
0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris
tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya
dari 0, maka semua baris seperti itu
dikelompokkan bersama-sama di bawah
matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan,
yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1
utama di dalam baris yang lebih rendah
terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama
di dalam baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1
utama mempunyai 0 ditempat lain.
NURUL SAILA
18
1.
Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris yang direduksi?
1
a. 0
0
2.
0
1
0
3
1
8 b. 0
0
0
3
0
1
0
1
0 c. 0
4
0
0
1
0
3
2
3
Dengan OBE, ubahlah matrik berikut
menjadi matrik bentuk eselon baris yg
direduksi.
2
a. 1
3
1
4
2
−3
−1
0 b. 0
−1
3
1
4
−2
−3
2
0 c. −1
−1
0
−1
4
2
NURUL SAILA
3
0
−1
19
Tentukan selesaian dari sistem persamaan
berikut menggunakan metode eliminasi
Gauss-Jordan.
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
NURUL SAILA
20
Silahkan dilihat blog:
http://nsaila2fe.wordpress.com
Dikumpulkan via email:
[email protected]
Paling lambat 27 maret 2013 jam 20.00 WIB
NURUL SAILA
21