Transcript OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

Tatap Muka 26 Maret 2012
BY NURUL SAILA
1.
2.
3.
4.
Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss Jordan
BY NURUL SAILA
Definisi:
 Persamaan linier adalah suatu persamaan
yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah satu.
 Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …,
xn adalah sebuah persamaan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk:
a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
dimana a1, a2, …, an, b adalah konstantakonstanta riil.
Pemecahan persamaan linier:
a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b
adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2,
…, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi
bila kita mensubstitusikan x1= s1, x2 = s2, …,
xn = sn.
Himpunan semua pemecahan persamaan
tersebut dinamakan himpunan
pemecahannya.
contoh:
Tentukan selesaian dari persamaanpersamaan berikut:
1. 2x + 3 = -7
2. 2x + 3y -2 = 10
3. 2x + 3y + 5z + 10 = 15


Sebuah himpunan berhingga dari persamaan
linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn
dinamakan sebuah system persamaan linier
atau sebuah system linier.
Sistem persamaan linier yang terdiri dari m
persamaan dalam n variable adalah:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎𝑚 1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn
dinamakan sebuah pemecahan system
tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn =
sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap
persamaan di dalam system tersebut.
Contoh:
Perhatikan sistem persamaan linier berikut:
2x + 3y – 5z = -8
-x –y + 15z = 42
5x -2y + z = 11
Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}
Ada beberapa cara menentukan pemecahan
system persamaan linier, yaitu:
(1) Eliminasi Gauss
(2) Eliminasi Gauss Jordan
(3) Perkalian Matrik dan
(4) Kaidah Cramer
Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang
digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier, yang meliputi langkahlangkah sbb:
1. Mengubah system persamaan linier ke
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya
adalah koefisien dari variable dan konstanta
dari persamaan dalam system;
2. >>>
BY NURUL SAILA
2.
3.
4.
Dengan menggunakan OBE, mengubah
bentuk matriks yang diperbesar menjadi
matriks bentuk eselon baris (row-echelon
form).
Mengubah matrik eselon baris ke bentuk
sistem persamaan.
Menyelesaikan tiap persamaan dalam
sistem.
BY NURUL SAILA
Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu
operasi yang dikenakan pada suatu baris
matriks, yaitu:
1. Kalikan suatu baris dengan sebuah
konstanta yang bukan 0.
2. Pertukarkan sebarang dua baris.
3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd
baris yang lain.
1
𝐴 = −2
3
2
3
−2
3
1
1
−1
2
−3
OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1)
 OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1  B2)
 OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah
sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0,
maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris
tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari
0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan
bersama-sama di bawah matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan,
yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1
utama di dalam baris yang lebih rendah
terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama
di dalam baris yang lebih tinggi.
BY NURUL SAILA
Contoh:
1. Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris?
1
a. 0
0
2.
0
2
0
3
1
8 b. 0
0
0
3
0
1
0
1
0 c. 0
4
0
0
1
0
3
2
3
Dengan OBE, ubahlah matrik berikut
menjadi matrik bentuk eselon baris.
2
a. 1
3
1
4
2
−3
−1
0 b. 0
−1
3
1
4
−2
−3
2
0 c. −1
−1
0
BY NURUL SAILA
−1
4
2
3
0
−1
Contoh:
Tentukan selesaian dari sistem persamaan
berikut menggunakan metode eliminasi
Gauss.
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80
Langkah-langkah yang ditempuh, yaitu:
1. Mengubah system persamaan linier ke
bentuk matriks yang diperbesar (augmented
matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya
adalah koefisien dari variable dan konstanta
dari persamaan dalam system;
2. Dengan menggunakan OBE, mengubah
bentuk matriks yang diperbesar menjadi
matriks bentuk eselon baris yang direduksi
(reduced row-echelon form)
Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris yang
direduksi adalah sebagai berikut:
1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari
0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris
tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya
dari 0, maka semua baris seperti itu
dikelompokkan bersama-sama di bawah
matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan,
yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1
utama di dalam baris yang lebih rendah
terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama
di dalam baris yang lebih tinggi.
4. Setiap kolom yang mengandung sebuah 1
utama mempunyai 0 ditempat lain.
Contoh:
1. Manakah yg merupakan matrik bentuk
eselon baris yang direduksi?
1
a. 0
0
2.
0
1
0
3
1
8 b. 0
0
0
3
0
1
0
1
0 c. 0
4
0
0
1
0
3
2
3
Dengan OBE, ubahlah matrik berikut
menjadi matrik bentuk eselon baris yg
direduksi.
2
a. 1
3
1
4
2
−3
−1
0 b. 0
−1
3
1
4
−2
−3
2
0 c. −1
−1
0
BY NURUL SAILA
−1
4
2
3
0
−1
Contoh:
Tentukan selesaian dari sistem persamaan
berikut menggunakan metode eliminasi
Gauss.
1.
4𝑥 + 10𝑦 = 30
6𝑥 + 25𝑦 = 67
2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 16
−4𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −63
3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 80