Transcript METODE ELIMINASI GAUSS DAN CRAMER
Slide 1
METODE ELIMINASI GAUSS
DAN METODE CRAMER
LOLA YORITA ASTRI
(05/184102/ET/04461)
BAMBINA
(05/184103/ET/04462)
HENDRA USYIARDI
(05/184104/ET/04463)
ARVI IRAWATI
(05/184106/ET/04465)
NOVETRA SENJA TIRAMA (05/184110/ET/04469)
Slide 2
METODE ELIMINASI GAUSS
Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar
sistem persamaan linier.
f 1 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
f 2 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
f 3 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
.
.
.
f n x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
Slide 3
Contoh: Ditinjau dari sistem persamaan:
2x1 7x 2 4x 3 9
x1 9x 2 6x 3 1
3x1 8x 2 5x 3 6
Slide 4
Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat
ditulis sebagai berikut:
B x u
2
1
3
7
9
8
4 x1 9
6 x 2 1
5 x 3 6
Slide 5
Untuk menjelaskan eliminasi gauss,maka dibentuk suatu
matriks sebagai berikut:
2
B u I 1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
Kita kalikan baris 1 dengan ½,tambahkan (-1 x baris 1 yang
baru) kepada baris 2,dan tambahkan (3x baris 1 yang
baru)kepada baris 3.
1
0
0
7/2
2
25 / 2
8 7/2 1/2
5/2
9/2
1/2
11 39 / 2 3 / 2
0
1
0
0
0
1
Slide 6
Operasi diatas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem
persamaan asli menjadi
x1
25
2
5
2
7
2
9
x 2 2x 3
2
x 2 8x 3
7
x 2 11 x 3
39
2
2
Slide 7
Perhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks
adalah
1
2
1
2
1
2
0
1
0
0
0
1
2
1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2
dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada
baris 3.
1
0
0
7/2
1
0
2
9/2
1/2
16 / 25 7 / 25 1 / 25
47 / 5
94 / 25
7/5
0
2 / 25
1/5
0
0
1
Slide 8
Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi
x1
7
2
x2
x 2 2x 3
9
16
7
25
x3
47
5
x3
2
25
94
25
Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x
baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang
baru).
1
0
0
7/2
0 1 / 2 19 / 24
2 / 47
1
0
1 13 / 235
22 / 235
0
1
2
7 / 47
1 / 47
10 / 47
16 / 235
5 / 47
Slide 9
Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2)
1
0
0
0
0 4 93 / 235
67 / 235
1
0 1 13 / 235
22 / 235
0
1 2 7 / 47
1 / 47
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4,x2= 1,x3 =2 dan inverse
matriks [B] adalah
93 / 235
13 / 235
7 / 47
67 / 235
22 / 235
1 / 47
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Slide 10
Dari pengamatan: det B 1 x 2 x 5
2 25 47
Jadi kalau di ‘resume’
1
235
BuI
2
1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
1
0
0
0
0 4 93 / 235
67 / 235
1
0 1 13 / 235
22 / 235
0
1 2 7 / 47
1 / 47
I x B
1
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Slide 11
METODE CRAMER
Metode Cramer didasarkan atas perhitungan
determinan matriks. Suatu sistem persamaan
linier berbentuk A x b dengan A adalah matriks
bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode
Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan
bahwa det( A ) 0 .Penyelesaian yang didapatkan
dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.
Slide 12
Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk A x b
dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn
dan det( A ) 0 sedangkan nilai x dan b adalah
x1
x
2
x .
.
x
n
b1
b
2
b .
.
b
.
n
maka penyelesaian untuk x adalah
x1
A1
A
, x2
A2
A
,..., x n
An
A
Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan
vektor b
Slide 13
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier berbentuk A x b
2
1
2
5
1
4
5 x 1
0 y 1
3 z 1
a.Periksa apakah metode cramer dapat digunakan?
b.Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk x ?
Slide 14
Jawab:
2
a.
Det ( A ) 1
2
5
1
4
5
0 ( 6 20 ) ( 15 10 ) 1
3
Karena det(A) = -1 maka metode Cramer dapat digunakan.
Slide 15
1
b.
Det ( A 1 ) 1
1
5
1
4
2
Det ( A 2 ) 1
2
2
Det ( A 3 ) 1
2
0 ( 3 20 ) ( 15 5 ) 3
3
1
5
1
0 ( 6 5 ) ( 3 10 ) 4
1
5
1
4
5
3
1
1 ( 2 10 4 ) ( 5 8 2 ) 3
1
Slide 16
Jadi nilai untuk x, y, z adalah
x
A1
A
y
z
A2
3
1
4
A
1
A3
3
A
1
3
4
3
METODE ELIMINASI GAUSS
DAN METODE CRAMER
LOLA YORITA ASTRI
(05/184102/ET/04461)
BAMBINA
(05/184103/ET/04462)
HENDRA USYIARDI
(05/184104/ET/04463)
ARVI IRAWATI
(05/184106/ET/04465)
NOVETRA SENJA TIRAMA (05/184110/ET/04469)
Slide 2
METODE ELIMINASI GAUSS
Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar
sistem persamaan linier.
f 1 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
f 2 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
f 3 x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
.
.
.
f n x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n
Slide 3
Contoh: Ditinjau dari sistem persamaan:
2x1 7x 2 4x 3 9
x1 9x 2 6x 3 1
3x1 8x 2 5x 3 6
Slide 4
Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat
ditulis sebagai berikut:
B x u
2
1
3
7
9
8
4 x1 9
6 x 2 1
5 x 3 6
Slide 5
Untuk menjelaskan eliminasi gauss,maka dibentuk suatu
matriks sebagai berikut:
2
B u I 1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
Kita kalikan baris 1 dengan ½,tambahkan (-1 x baris 1 yang
baru) kepada baris 2,dan tambahkan (3x baris 1 yang
baru)kepada baris 3.
1
0
0
7/2
2
25 / 2
8 7/2 1/2
5/2
9/2
1/2
11 39 / 2 3 / 2
0
1
0
0
0
1
Slide 6
Operasi diatas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem
persamaan asli menjadi
x1
25
2
5
2
7
2
9
x 2 2x 3
2
x 2 8x 3
7
x 2 11 x 3
39
2
2
Slide 7
Perhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks
adalah
1
2
1
2
1
2
0
1
0
0
0
1
2
1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2
dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada
baris 3.
1
0
0
7/2
1
0
2
9/2
1/2
16 / 25 7 / 25 1 / 25
47 / 5
94 / 25
7/5
0
2 / 25
1/5
0
0
1
Slide 8
Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi
x1
7
2
x2
x 2 2x 3
9
16
7
25
x3
47
5
x3
2
25
94
25
Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x
baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang
baru).
1
0
0
7/2
0 1 / 2 19 / 24
2 / 47
1
0
1 13 / 235
22 / 235
0
1
2
7 / 47
1 / 47
10 / 47
16 / 235
5 / 47
Slide 9
Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2)
1
0
0
0
0 4 93 / 235
67 / 235
1
0 1 13 / 235
22 / 235
0
1 2 7 / 47
1 / 47
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4,x2= 1,x3 =2 dan inverse
matriks [B] adalah
93 / 235
13 / 235
7 / 47
67 / 235
22 / 235
1 / 47
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Slide 10
Dari pengamatan: det B 1 x 2 x 5
2 25 47
Jadi kalau di ‘resume’
1
235
BuI
2
1
3
7
4 91
0
9
61 0
1
8
5 6 0
0
0
0
1
1
0
0
0
0 4 93 / 235
67 / 235
1
0 1 13 / 235
22 / 235
0
1 2 7 / 47
1 / 47
I x B
1
6 / 235
16 / 235
5 / 47
Slide 11
METODE CRAMER
Metode Cramer didasarkan atas perhitungan
determinan matriks. Suatu sistem persamaan
linier berbentuk A x b dengan A adalah matriks
bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode
Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan
bahwa det( A ) 0 .Penyelesaian yang didapatkan
dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.
Slide 12
Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk A x b
dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn
dan det( A ) 0 sedangkan nilai x dan b adalah
x1
x
2
x .
.
x
n
b1
b
2
b .
.
b
.
n
maka penyelesaian untuk x adalah
x1
A1
A
, x2
A2
A
,..., x n
An
A
Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan
vektor b
Slide 13
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier berbentuk A x b
2
1
2
5
1
4
5 x 1
0 y 1
3 z 1
a.Periksa apakah metode cramer dapat digunakan?
b.Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk x ?
Slide 14
Jawab:
2
a.
Det ( A ) 1
2
5
1
4
5
0 ( 6 20 ) ( 15 10 ) 1
3
Karena det(A) = -1 maka metode Cramer dapat digunakan.
Slide 15
1
b.
Det ( A 1 ) 1
1
5
1
4
2
Det ( A 2 ) 1
2
2
Det ( A 3 ) 1
2
0 ( 3 20 ) ( 15 5 ) 3
3
1
5
1
0 ( 6 5 ) ( 3 10 ) 4
1
5
1
4
5
3
1
1 ( 2 10 4 ) ( 5 8 2 ) 3
1
Slide 16
Jadi nilai untuk x, y, z adalah
x
A1
A
y
z
A2
3
1
4
A
1
A3
3
A
1
3
4
3