Transcript BUDI DARMA SETIAWAN Matriks Sekumpulan elemen berupa angka/ simbol yang tersusun dalam baris dan kolom p q s t v w r u x.

BUDI DARMA SETIAWAN
Matriks
Sekumpulan
elemen berupa
angka/ simbol yang
tersusun dalam
baris dan kolom
p q
s t
v w
r
u
x
Matriks
Aij
jumlah baris
jumlah kolom
p q
s t
v w
r
u
x
Matriks
p
a q
a ar
Sa at au
va aw ax
11
A33
12
13
21
22
23
31
32
33
Ordo Matriks: 3 x 3
Matriks
Berdasarkan ordonya
Matriks Persegi
Ordo Matriks: n x n
1
4
1
3
2
6
9
5
8
4
7
3
7
15
4
8
3
12
7
9
10
11
1
16
6
14
5
2
13
Matriks Kolom
Ordo Matriks: n x 1
1
6
8
Matriks Baris
Ordo Matriks: 1 x n
1
6
8
Matriks Tegak
Ordo Matriks: m x n
8
1 Untuk m > n
6
5
2
7
Matriks Datar
Ordo Matriks: m x n
Untuk m < n
2
8
1
6
5
7
Matriks
Berdasarkan elemennya
Matriks Diagonal
Matriks Persegi dengan
semua elemen bernilai 0
Kecuali unsur-unsur pada diagonal utama
-1
0
0
0
4
0
0
0
7
Matriks Segitiga
Matriks Persegi dengan
semua elemen bernilai 0 pada
unsur-unsur di bawah/ di atas diagonal utama
-1
5
47 9
0
0
0
0
2
3-2
-6
3
0
0
0
0
-7
-4
1
-1
6
0
0
0
09
8
-5
1
8
Matriks Skalar
Matriks Persegi
Dengan semua elemen
bernilai sama pada diagonal utama
6
0
0
0
6
0
0
0
6
Matriks Simetri
Matriks Persegi dengan
elemen
amn = anm
a33
=
a
12
22
13
32
11
21
22
31
23
33
11
3
5
-2
5
1
4
-2
4
-6
TRANSPOSE
Matriks
Matriks
Transpose matriks
T
A
Aij
2
6
8
5
= Aji
2
6
8
5
1
7
1
7
Matriks Setangkup
3
5
-2
5
1
4
-2 4
-6
A=
T
A
OPERASI
Matriks
Penjumlahan & Pengurangan Matriks
Ordo matriks harus sama
A=
a a a
a a a
a a a
11
12
13
21
22
23
31
32
33
A+B : aij+bij
B=
b b b
b b b
b b b
11
12
13
21
22
23
31
32
33
A-B : aij-bij
int
i,j,m=3,n=3,a[m][n],b[m][n],c[m][n];
main()
{
for(i=0;i<m;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
cin>>a[i][j];
cin>>b[i][j];
c[i][j]=a[i][j]+b[i][j];
}
}
Perkalian skalar dengan matriks
ka
ka
ka
11
A’=kA=
21
31
ka
ka
ka
12
22
32
ka
ka
ka
13
23
33
Perkalian Matriks
Aij dengan Bjk menghasilkan matriks Cik
a a
A32= a a
a a
11
21
31
C31=
12
22
b
B21=
b
11
21
32
a11*b11 + a12*b21
a21*b11 + a22*b21
a31*b11 + a32*b21
LATIHAN
-2 8 10
A = 3 -1 4
6 -5 7
8 1 9
B = 7 -3 5
11 4 -2
T
1.
A+B
Tentukan:
2. 2A*B
T
3. Algoritma 2A
•
Hitunglah:
– Baris ke tiga dari AB
– 3B – A
•
2A + X = B. Hitung matriks X2x3 jika diketahui


Hukum komutatif perkalian
Bilangan real
◦ ab = ba

Matriks
◦ Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 3
◦ Jika ordo A = 2 x 3, dan ordo B = 3 x 2
◦ AB = BA ?

Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran
matriks adalah sedemikian sehingga operasioperasi yang ditunjukkan dapat dilakukan,
maka kaidah-kaidah ilmu hitung matriks
akan berlaku: ……
a)
Hukum komutatif untuk menambahan
A+B=B+A
b)
Hukum asosiatif untuk penambahan
A + (B + C) = (A + B) + C
c)
Hukum asosiatif untuk perkalian
A(BC) = (AB)C
d)
Hukum distributif
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA




a(B + C) = aB + aC
(a + b)C = aC + bC
(ab)C = a(bC)
a(BC) = (aB)C = B(aC) ≠ (aC)B


Matriks 0 adalah matriks yang semua
elemen-elemennya bernilai 0
Dalam ilmu hitung bilangan real terdapat
hasil standar:
◦ jika ab = ac dan a ≠ 0, maka b = c (hukum
peniadaan)
◦ Jika ad = 0, maka setidak-tidaknya salah satu
antara a atau d bernilai 0

Hitung :
◦ AB
◦ AC
◦ AD
A ≠ 0, tetapi B ≠ C
AD = 0 tetapi A ≠ 0 dan D ≠ 0



AI = A ;
IB = B
Sehingga AI dan IB terdefinisi
I  Matriks identitas
I2  Matriks identitas berukuran 2 x 2



Definisi:
Matriks bujur sangkar A berukuran n x n
mempunyai invers jika ada matriks B,
sehingga AB = BA = In.
Matriks B disebut matriks invers dari matriks
A
B = A-1
Tidak semua matriks memiliki invers
?

Jika ada, carilah invers matriks berikut:

Matriks A mempunyai invers jika dan hanya
jika ad-bc ≠ 0 dan matriks invers dari A
adalah






A0 = I
A1 = A
A2 = AA
A3 = AAA
An+1 = AnA = AAn
A-2 = (A-1)2


Hitung inversnya menggunakan rumus
Hitung A-2
•
Melakukan operasi perkalian dan pertukaran
pada baris-baris di dalam matriks
Contoh:
•
1. Oij(I) = Eij 
•
2. Oi(λ)(I) = Ei(λ≠0) 
•
3. Oij(λ)(I) = Eij(λ≠0) 
•
Baris 1 ditukar dengan baris 3
Baris 2 dikalikan -2
Baris 1 ditambah dengan -2 kali baris 3

Suatu matriks berukuran n x n dikatakan
matriks elementer jika matriks tersebut
dapat diperoleh dari matriks identitas In
dengan melakukan operasi baris elementer
tunggal (hanya melakukan operasi baris
elementers sebanyak 1 kali)





Eij . Eij = I
Jika matriks A dikenakan operasi OBE
padanya, ternyata nilainya sama dengan
matriks elementer yang berkaitan dengan
OBE tersebut dikalikan dengan matriks A
Oij(A) = Eij . A
Oi(λ)(A) = Ei(λ≠0) . A
Oij(λ)(A) = Eij(λ≠0) . A

O12(A) = E12 . A


Cara I : menggunakan OBE
(A | I)  OBE  (I | A-1)
Menambahkan -2 kali baris pertama
pada baris kedua dan -1 kali baris
pertama pada baris ketiga
Menambahkan 2 kali baris kedua
pada baris ketiga
Mengalikan baris ketiga dengan -1
Menambahkan 3 kali baris ketiga
pada baris kedua dan -3 kali baris
ketiga pada baris pertama
Menambahkan -2 kali baris kedua
pada baris pertama

Carilah invers dari matriks berikut dengan
menggunakan OBE: