Transcript Part 2
ELIMINASI GAUSS-JORDAN Prosedur untuk mengubah sebarang matriks ke bentuk eselon baris tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1.Tentukan kolom tak nol paling kiri. 2.Jika unsur paling atas dari kolom tak nol paling kiri yang didapatkan pada langkah 1 adalah 0, pertukarkanlah baris teratas dengan baris lain. 3.Jika unsur teratas yang sekarang pada kolom yang didapatkan di dalam langkah 1 atau 2 adalah a, kalikanlah baris pertama dengan 1/a untuk memperoleh 1 utama. 4. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke beris-baris dibawahnya sehingga semua unsur di bawah 1 utama menjadi 0. 5. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 - 4 yang dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris. 6. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama. Motivasi 3.Seorang pengusaha ingin memperoleh keuntungan $50.000 pertahun dari uang yang diinvestasikannya, untuk mengurangi resiko, pengusaha tersebut menginvestasikan uangnya di dua bank berbeda yang memberikan suku bunga masing-masing 10% dan 11% pertahun.Jika pengusaha mempunyai uang $480.000,berapakah besar uang yang diinvestasikan di masing-masing bank? Motivasi 2. Dalam suatu kantong terdapat 13 uang pecahan yang terdiri atas uang pecahan seratusan, limaratusan dan seribuan.Jika total nilai uang yang ada di kantong tersebut adalah Rp.6100,berapakah banyaknya uang pecahan dari masing-masing jenis? Motivasi 1. Ali, Ani, dan Budi pergi ke suatu toko untuk membeli pensil dan buku yang sama. Ali membeli dua pensil dan dua buku, Ani membeli tiga pensil dan 4 buku, sedangkan Budi membeli satu pensil dan dua buku. Jika Ali dan Ani berturut-turut membayar Rp 2.500,- dan Rp 4.500,-, maka berapakah Budi harus membayar ? Sistem Persamaan Linear (SPL) Persamaan linear : Suatu persamaan dalam n variabel x1 , x2 ,..., xn disebut persamaan linear jika persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a1 x1 a2 x2 ... an xn b Dengan a1 , a2 ,..., an , b bilangan real Penyelesaian persamaan linear Penyelesaian persamaan linear a1 x1 a2 x2 ... an xn b Adalah barisan n bilangan s1 , s2 ,..., sn Sehingga persamaan dipenuhi jika disubstitusikan x1 s1 ,...xn sn Operasi elementer baris 1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan konstan yang tidak nol 2. Mempertukarkan dua buah baris 3. Menambahkan kelipatan suatu baris dengan baris lainnya Notasi OEB: Didefinisikan notasi-notasi untuk operasi elementer baris sebagai berikut : 1.Bij (k) = Menambahkan k kali baris ke-j ke baris ke-i. 2.Bi (k) = Mengalikan baris ke-i dengan konstanta k 0 3.Bij = Mempertukarkan baris ke-i dengan baris ke-j. 3. Tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris teratas ke beris-baris dibawahnya sehingga semua unsur di bawah 1 utama menjadi 0. 4. Abaikan baris teratas di dalam matriks tersebut dan mulailah sekali lagi dengan langkah 1 - 4 yang dikerjakan pada submatriks yang masih tersisa. Teruskanlah cara ini sampai keseluruhan matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris. 5. Dimulai dari baris tak nol terakhir dan dikerjakan ke arah atas, tambahkanlah kelipatan yang sesuai dari baris tersebut ke baris-baris diatasnya untuk mendapatkan nol di atas 1 utama. Contoh: Ubahlah matriks berikut ke dalam bentuk eselon baris tereduksi. 1 1 2 3 0 1 2 1 2 2 3 0 2 3 0 2 1 4 4 1 1 0 3 1 Suatu matriks dikatakan bentuk eselon baris tereduksi jika memiliki 4 sifat berikut 1. Jika suatu baris tak nol maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1 (selanjutnya dinamakan 1 utama). 2. Jika ada baris nol maka baris-baris nol itu dikelompokkan bersama-sama pada bagian bawah matriks. 3. Pada sebarang dua baris berurutan yang tak nol, 1 utama pada baris yang lebih rendah berada disebelah kanan 1 utama pada baris yang lebih tinggi. 4. Setiap kolom yang memuat 1 utama mempunyai unsur nol untuk yang lain Contoh : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 2 2 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 Sistem Persamaan Linear (SPL) Masalah/Problem Solusi SPL Matriks Augmented SPL Baru Bentuk Eselon Eselon brs Tereduksi Suatu persamaan dalam n variabel x1,x2, …, xn disebut persamaan linear, apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk a1 x1 + a2 x2 + …+ an xn = b dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta real.