Transcript 198_Výpočet pravděpodobnosti_Prezentace

VY_32_INOVACE__04_PVP_198_Kli
Název školy
Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod
Název OP
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu
CZ.1.07/1.5.00/34.0258
Název projektu
Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ
Šablona
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_198_Kli
Druh učebního materiálu
Prezentace
Autor
Mgr. Květa Klímová
Vzdělávací obor, pro který je
materiál určen
Obchodní akademie, Ekonomické lyceum, Hotelnictví
Předmět
Matematika, Matematický seminář
Ročník
Třetí, čtvrtý
Název tematické oblasti (sady)
Statistika a pravděpodobnost
Název vzdělávacího materiálu
Výpočet pravděpodobnosti
Anotace
Vzdělávací materiál porovnává výpočet pravděpodobnosti průniku a
sjednocení jevů. Zavádí pojmy neslučitelný a nezávislý jev. Materiál
může být použit v Matematice při výkladu nové látky ve 3. ročníku
nebo při maturitním opakování látky ve 4. ročníku.
Zhotoveno, (datum/období)
leden 2014
Ověřeno
6. února 2014
Neslučitelné jevy
Příklad:
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo 1 nebo
padne číslo sudé (nebo = sjednocení).
Můžeme na tuto situaci pohlížet jako na dva jevy, které se
navzájem vylučují (nemohou nastat současně):
Jev A ... padne číslo 1, 𝑃 𝐴 =
1
6
3
1
Jev B ... padne číslo sudé, 𝑃 𝐵 = =
6
2
1
3
4
2
Výsledek: 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = + = =
6
6
6
3
Jsou-li A a B dva neslučitelné jevy, pak pravděpodobnost
jejich sjednocení je rovna součtu jejich pravděpodobností:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑩)
Neslučitelné jevy - příklad
 V osudí je 12 zelených, 14 modrých a 20 bílých koulí.
Vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že je
zelená nebo modrá?
12
46
14
=
46
 jev A ... vytažená koule je zelená 𝑃 𝐴 =
= 0,261
 jev B ... vytažená koule je modrá 𝑃 𝐵
= 0,304
 Jevy nemohou nastat současně, jsou neslučitelné,
proto jejich pravděpodobnosti můžeme sečíst.
 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,261 + 0,304 = 0,565 𝑡𝑗. 𝟓𝟔, 𝟓 %
Sčítání pravděpodobností
Příklad:
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší jak
tři nebo padne číslo sudé.
Tyto jevy mohou nastat současně, pokud padnou čísla 4 nebo 6.
3
6
1
2
Jev A ... padne číslo větší jak 3, 𝑃 𝐴 = =
3
1
2
Jev B ... padne číslo sudé, 𝑃 𝐵 = =
6
Výsledky nemůžeme sečíst, protože pravděpodobnost, že padne
číslo 4 nebo číslo 6 je započítána dvakrát. Musíme tedy odečíst
pravděpodobnost průniku jevů A, B.
2
1
Jev A∩B ... padne číslo 4 nebo číslo 6, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = = .
6
3
𝟏 𝟏 𝟏 𝟐
𝑷 𝑨∪𝑩 = + − = ,
𝒕𝒋. 𝟔𝟔, 𝟕 %
𝟐 𝟐 𝟑 𝟑
Obecný vzorec pro sčítání pravděpodobností
Jsou-li A a B libovolné jevy, pak platí:
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Pro tři libovolné jevy A, B, C platí:
𝑷 𝑨∪𝑩∪𝑪
=𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 +𝑷 𝑪 −𝑷 𝑨∩𝑩 −𝑷 𝑩∩𝑪
− 𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)
Sčítání pravděpodobností - příklad
Příklad:
Ve třídě je 30 žáků. Škola umožňuje připojení k internetu na
vlastním zařízení. Mobilní telefon k tomuto účelu může
použít 17 žáků, tablet 12 žáků, obojí současně 5 žáků.
S jakou pravděpodobností náhodně vybraný žák třídy může
využít tuto službu školy?
17 12 5
𝑃 𝐴∪𝐵 =
+
−
= 𝟎, 𝟖
30 30 30
Poznámka:
Žáci, kteří mají přístup pomocí mobilu, mohou mít současně
i tablet. Proto je součet 17+12+5 větší než počet žáků ve třídě.
Opačný jev
Příklad:
a) jev A ... při hodu kostkou padne sudé číslo
jev A´... při hodu kostkou padne liché číslo
b) jev B ... při hodu dvěma kostkami padne součet 12
jev B´... při hodu dvěma kostkami nepadne součet 12
c) jev C ... při rozdávání karet dostanu alespoň jedno eso
jev C´... při rozdávání karet nedostanu žádné eso
Uvedené dvojice jevů představují navzájem opačné jevy.
Jsou neslučitelné a vždy nastává právě jeden z nich.
Platí :
𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑨´ = 𝟏
Nezávislé jevy
 Nezávislostí dvou jevů rozumíme to, že uskutečnění
jednoho nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění
druhého jevu.
 Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí:
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷(𝑩)
 Příklad:
Na výrobku se objevují dva druhy vad. První vada s
pravděpodobností 8 %, druhá (nezávislá na první) s
pravděpodobností 3 %. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně vybraný výrobek bude bez vady?
𝑃 𝐴´ ∩ 𝐵´ = 0,92 ∙ 0,97 = 0,8924 𝑡𝑗. 89,24 %
 Poznámka: Využili jsem pravděpodobnosti opačných jevů
Příklady
1)
Hodíme dvakrát hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost,
že padne součet větší jak 10?
2) Jaká je pravděpodobnost, že se dva lidé narodili ve
stejném měsíci?
3) Střelec se trefí do terče s pravděpodobností 92 %. Jaká je
pravděpodobnost, že při dvou pokusech zasáhl cíl právě
dvakrát?
4) Žárovka svítí se spolehlivostí 0,85. Jaká je spolehlivost
systému (alespoň část svítí), jsou-li zapojeny:
a) dvě žárovky sériově,
b) dvě žárovky paralelně?
Řešení
1) Součet větší než 10 padne, pokud bude kombinace na
kostkách 6+5, 5+6 nebo 6+6. 𝑃 𝐴 =
2) 𝑃 𝐴 =
12
144
3
36
𝑡𝑗. 𝟖, 𝟑 %.
𝑡𝑗. 𝟖, 𝟑 %
3) Jsou to nezávislé jevy. 𝑃 𝐴 = 0,92 ∙ 0,92 𝑡𝑗. 𝟖𝟒, 𝟔 %.
4) a) průnik nezávislých jevů
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 0,85 ∙ 0,85 𝑡𝑗. 𝟕𝟐, 𝟑 %,
b) jde o sjednocení jevů
Použitá literatura:
CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika,
pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední
školy. ISBN 978-80-7196-365-3.
ROBOVÁ, Jarmila, HÁLA, Martin a CALDA, Emil. Komplexní čísla, kombinatorika,
pravděpodobnost a statistika: matematika pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus,
2013. 235 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-425-4.
PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké
školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. 303 s. ISBN 80-7196-099-3.
Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na
všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá
autorskému zákonu.