Transcript Teorie pravděpodobnosti výklad i procvičení

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním
fondem a státním rozpočtem České republiky
TEORIE
PRAVDĚPODOBNOSTI
 část první
Teorie pravděpodobnosti

je matematická disciplína, popisující
zákonitosti týkající se jevů, které
(přinejmenším z hlediska pozorovatele)
mohou a nemusí nastat, resp. jejichž výsledná
hodnota není předem jistá.

Příkladem může být výsledek hodu kostkou
ještě předtím, než hodíme, anebo venkovní
teplota zítra v poledne.
Rozvoj teorie pravděpodobnosti
probíhal od 17. století, zpočátku
inspirován hlavně hazardními hrami.
Základní pojmy
 Náhodný pokus
 Náhodný jev
 Množina všech možných výsledků pokusů
Pokus

Každá opakovatelná činnost ve vědě,
výzkumu, ale i v praktickém životě.

Rozlišujeme pokusy:
• deterministické
• náhodné
Deterministické pokusy

Pokusy, které při dodržení předepsaných
podmínek vedou vždy k témuž, předem
očekávanému výsledku.

Například:
Fyzikální zákon o změně skupenství vody
zahřáté na 100 °C při tlaku 100 kPa.
Náhodné pokusy (NP)

Pokusy, které při dodržení předepsaných
podmínek vedou k různým výsledkům,
tzn. výsledky pokusů se od jednoho
provedení k druhému mohou měnit.

Pokusy, jejichž výsledky závisí nejen na
předepsaných podmínkách, ale také na
náhodě.

Častěji se vyskytující v praktické činnosti.
Náhoda a úkol pravděpodobnosti

Náhoda (jako soubor drobných příčin) má
svá pravidla a své zákonitosti.

Studium a formulace těchto zákonitostí i
jejich využívání je úkolem počtu
pravděpodobnosti.
Náhodné pokusy důležité

účinek nového léku na pokusných zvířatech,

stanovení přesné hodnoty nějaké fyzikální
konstanty (např. rychlosti světla ve vakuu),

odhad výnosu nové zemědělské plodiny, …
Náhodné pokusy klasické

slosování loterie, tahy sportky,

hody hrací kostkou, mincí,

míchání karet, …
Přes důležitost prvně jmenovaných se v
hodinách matematiky zaměříme na příklady z
oblasti klasických náhodných pokusů pro jejich
jednoduchost a názornost.
Náhodný jev (NJ), ozn. A, B, C, ...

Jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného
pokusu, o kterém lze (po provedení pokusu)
rozhodnout, zda je pravdivé.

Každý jev, o kterém nejsme schopni předem
rozhodnout, zda nastane.

Zjednodušeně: Každý výsledek nebo
skupina výsledků náhodného pokusu (NP).
Řešený příklad 1:
Odlište u následujících situací náhodné pokusy (NP)
od náhodných jevů (NJ). Dojdete-li k závěru, že jde o
NP, vyslovte NJ a naopak:

vylosování čísla

(NP)

vypěstování rostliny

(NP)

vybrání losu s číslem 5

(NJ)

hod kostkou

(NP)

vyrobení výrobku 1. jakosti

(NJ)

padnutí šestky při hodu kostkou

(NJ)

narození chlapce

(NJ)
Množina možných výsledků pokusů

Množinu označujeme Ω (její prvky ω)

Předpokládáme, že se jedná o množinu
výsledků náhodného pokusu takových, že
1) jsme schopni je všechny předem vyjmenovat
(tzn. ve středoškolské matematice vždy konečná),
2) se navzájem vylučují
(tzn. nastane-li jeden, nemůže nastat druhý),
3) jeden z nich nastane vždy
(tzn. nemůže nastat žádný jiný než jeden z
jmenovaných),
4) každý výsledek má stejnou možnost, aby nastal.
Řešený příklad 2:
V daném tvrzení rozpoznejte pojmy: náhodný
pokus (NP), náhodný jev (NJ). Zapište množinu
všech možných výsledků. V pořadí NP, , NJ.
a) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne pětka.
NP: hod kostkou
Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6}
NJ: A = {5}
b) Při hodu kostkou vyhraješ, když padne liché
číslo.
NP: hod kostkou
Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6}
NJ: B = {1; 3; 5}
c) Při zkoušce pevnosti určitého vlákna v tahu se
vlákno nepřetrhlo.
NP: zkouška pevnosti vlákna
Ω = {přetrhne, nepřetrhne}
NJ: C = {nepřetrhne}
d) Pokud padne na minci orel, získám pro své
mužstvo míč.
NP: hod mincí
Ω = {orel, panna}
NJ: D = {orel}
e) Při hře dvěma kostkami vyhrajeme, padne-li
šestka alespoň na jedné z nich.
NP: hod dvěma kostkami







NJ: E=





















NP: hod dvěma kostkami
Záleží na pořadí příslušného hodu, proto jsou kostky
rozlišeny barevně: [Modrá; Žlutá].
 1;1
2;1

3;1

4;1
5;1

6;1
1;2
2;2
3;2
4;2
5;2
6;2
NJ: výhra ... E
1;3
2;3
3;3
4;3
5;3
6;3
1;4
2;4
3;4
4;4
5;4
6;4
1;5
2;5
3;5
4;5
5;5
6;5
1;6
2;6
3;6 = E

4;6
5;6

6;6
Závěr:

Ve 2. příkladu jsme názorně předvedli, že
sledovaný jev je podmnožinou všech
možných výsledků, které v dané situaci
mohou nastat.

Pro jevy platí totéž co pro množiny a
podmnožiny, jen se vžilo jiné názvosloví.
Jevy jako množiny

Důvod, proč je označujeme velkými písmeny.

Popisujeme je nějakou jistou vlastností,
společnou všem prvkům daného jevu:
• Například asi zřejmě
neřekneme: „Padla mi šestka a jednička.“,
ale spíš použijeme: „Vyhrála jsem!“
(viz Př. 2e).
Jev jistý a nemožný

V daném pokusu rozeznáváme tolik jevů, kolik je
podmnožin množiny všech možných výsledků (Ω) a
mezi ně počítáme také:
• celou množinu: A = Ω ... jev jistý
(každá množina je sama sobě podmnožinou),
• prázdnou množinu: A = Ø ... jev nemožný
(množina prázdná je podmnožinou každé množiny).
Náhodné jevy a vztahy mezi nimi
     je výsledek množiny všech
možných výsledků
  A   je výsledek příznivý jevu A
A  B  jev A je podjevem jevu B
A  B  jev, který nastává právě tehdy,
když nastane aspoň jeden z jevů
A nebo B (sjednocení jevů A, B)
A  B  jev, který nastává právě tehdy,
když nastanou oba jevy A, B
současně (průnik jevů A, B)
AB=Ø
A´
průnik jevů A, B je jev
nemožný, tzn. jevy A, B
se navzájem vylučují a
říkáme, že
A, B jsou jevy disjunktní
 jev opačný k jevu A, tzn. jev,
který nastane právě tehdy, když
jev A nenastane (negace jevu A)
Znegujte dané věty:
A: Vyber lístky, které nebudou mít stejnou barvu.
A´: Vyber lístky, které budou mít stejnou barvu.
B: Vyber skupinu, ve které nebudou pouze dívky.
B´: Vyber skupinu, ve které budou pouze dívky.
C: ... budou alespoň tři kuličky červené.
C´: ... budou nejvýše dvě kuličky červené.
D: ... budou maximálně čtyři dívky.
D´: ... bude minimálně pět dívek.
E: ... nebudou alespoň tři žáci připraveni.
E´: ... budou alespoň tři žáci připraveni.
JEDNODUCHÁ
PRAVDĚPODOBNOST
Pravděpodobnost náhodného jevu
V pokusu, jehož všechny možné výsledky jsou
stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost (ozn. P)
sledovaného jevu (např. A) rovna podílu počtu
příznivých výsledků danému jevu A (ozn. mA) a
počtu všech možných výsledků, které v daném
pokusu mohou nastat (ozn. n).
mA
počet příznivýchvýsledků
P( A ) 

n
počet všech možných vý
sledků
Z definice plyne, že pravděpodobnost
1) jevu nemožného se rovná nule:
2) jevu jistého se rovná jedné:
P( )  0
P ( )  1
3) jevu libovolného je v rozmezí hodnot
od nuly do jedné:
0  P( A)  1
Výsledek pravděpodobnosti

se uvádí
• ve tvaru zlomku, který vnímáme jako
poměr,
• ve tvaru desetinného čísla, které ale
daleko častěji převádíme na procenta.
Řešený příklad 3:
Házejme 3 mincemi, které umíme rozlišit, např.
pětikorunou, desetikorunou a dvacetikorunou
českou. Na každé minci může padnout líc (L)
nebo rub (R). Určete prvky množiny všech
možných výsledků: Ω, vypočtěte jejich počet: n.


 







LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR 
n  V3(2)  2  8
3
… stará dobrá kombinatorika …
Kombinatorika – přehled vzorců
Na pořadí prvků ve skupině
záleží
nezáleží
KOMBINACE
n
n!
C k (n)    
 k  k!n  k !
VARIACE
n!
Vk ( n ) 
n  k !
Vk (n)  n k
PERMUTACE
P(n)  n!
P (n1 ,..., nk ) 
 n  k  1

C k (n)  
 k 
n1  n2  ...  nk !
n1!n2 !...  nk !
Při stanovení prvků množiny všech možných
výsledků Ω je určitá libovůle podle toho, jak
podrobné (jemné) chceme výsledky pokusů
rozlišovat.
Řešený příklad 4:
Ze třídy o 28 žácích určete losem 4 žáky, kteří
se podrobí zkoušení. Určete počet n všech
možných losování, neboli počet prvků množiny
všech možných výsledků Ω, jestliže ...
jestliže
a) určujeme pouze čtveřici žáků, kteří budou
zkoušeni, aniž by nás zajímalo pořadí.
Použijeme:
KOMBINACE
 28 
n  C4 (28)     20 475
4
b) určujeme čtveřici žáků, kdy chceme zajistit
pevné pořadí zkoušených, například od
nejslabšího po nejúspěšnějšího.
Použijeme:
VARIACE
28 !
n  V4 (28) 
 491 400
24 !
Řešený příklad 5:
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací
kostkou padne šestka?
n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6}
mA = 1, protože A = {6}
mA 1
PA  

n 6
Řešený příklad 6:
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací
kostkou padne liché číslo?
n = 6, protože Ω = {1, 2 ,3, 4, 5, 6}
mA = 3, protože A = {1, 3, 5}
mA 3 1
PA  
 
n 6 2
Řešený příklad 7:
Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí
prvních 10 přirozených čísel že,
a) vytáhnu prvočíslo, b) nevytáhnu prvočíslo?
n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
a) mA = 4, protože A = {2, 3, 5, 7}
b) mB = 6, protože B = {1, 4, 6, 8, 9, 10}
mA 4 2
PA  
  ,
n 10 5
mB 6 3
PB 
 
n 10 5
Řešený příklad 8:
Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí
prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo
dělitelné dvojkou nebo trojkou?
n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
mA = 7, protože A = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}
mA 7
PA  
  0,7
n 10
Řešený příklad 9:
Jaká je pravděpodobnost, jestliže je v osudí
prvních 10 přirozených čísel že, vytáhnu číslo
dělitelné dvojkou i trojkou?
n = 10, protože Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
mA = 1, protože A = {6}
mA 1
PA  
  0,1
n 10
Řešený příklad 10:
Jaká je pravděpodobnost, že z pěti obránců
půjde do hry společně zrovna Petr s Pavlem?
n = C2(5) = 10
mA = 1, protože A = {1 dvojice: [Petr, Pavel]}
mA
PA  
 0,1
n
Řešený příklad 11:
Jaká je pravděpodobnost, že ze všech
přirozených trojciferných čísel kamarád napíše
zrovna číslo 123?
n = V3´(10) – V2´(10) = 900
mA = 1, protože A = {jedno číslo:123}
mA
1
PA  

n 900
Řešený příklad 12:
Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek. Jaká je
pravděpodobnost, že ve čtyřčlenné skupině žáků
této třídy budou
a) tři chlapci a jedna dívka,
b) právě dva chlapci?
5 CH
celkem 18 ž 
13 D
výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060
a) jedna skupina: 3 CH, 1 D
mA = C3(5).C1(13) = 10.13 = 130
mA 130
PA  

 0,0425  4,25%
n 3 060
5 CH
celkem 18 ž 
13 D
výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060
b) právě (přesně) dva chlapci, tzn. musíme
dobrat do skupiny ještě 2 dívky: 2 CH, 2 D
mB = C2(5).C2(13) = 10.78 = 780
mB
780
PB 

 0,2549  25,49%
n 3 060
PŘÍKLADY NA
PROCVIČENÍ
 Jednoduchá pravděpodobnost
13. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu hrací
kostkou padne
a) číslo 3,
b) číslo sudé,
c) dělitelné třemi, d) dělitelné dvěma i třemi?
[1/6; 1/2; 1/3; 1/6]
14. Jaká je pravděpodobnost, napíšeme-li
libovolné přirozené číslo od 1 do 15, že to
a) bude prvočíslo, b) nebude prvočíslo?
[6/15; 9/15]
15. Ze třídy, ve které je 14 chlapců a 17 dívek, byla
vybrána náhodně skupina pěti studentů. Jaká je
pravděpodobnost, že v ní byli
a) dva chlapci a tři dívky,
b) tři chlapci a dvě dívky,
c) čtyři chlapci a jedna dívka?
[0,3642; 0,29135; 0,10015]
16. V urně je 8 bílých a 6 černých koulí. Náhodně
vytáhneme 4 koule. Jaká je pravděpodobnost, že
mezi nimi budou a) 2 bílé koule,
b) 3 bílé koule, c) 4 bílé koule?
[0,4196; 0,33566; 0,0699]
17. V sérii 40 výrobků je 5 zmetků. Náhodně
vybereme tři výrobky. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi nimi budou
a) dva zmetky, b) jeden zmetek,
c) žádný zmetek?
[0,0354; 0,3011; 0,66245]
18. Při hře 32 kartami (v sadě jsou 4 esa) bylo
rozdáno 8 karet. Jaká je pravděpodobnost, že
mezi nimi byla a)čtyři esa,
b) dvě esa,
c)jedno eso?
[0,00195; 0,2149; 0,45028]
19. V osudí je 12 lístků bílých, 10 červených a 14
zelených. Náhodně vytáhneme 6 lístků. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi nimi budou
a) 2 bílé, 2 červené a 2 zelené lístky,
b) 1 bílý, 2 červené a 3 zelené lístky,
c) 3 bílé, 1 červený a 2 zelené lístky?
[0,13876; 0,1009; 0,10278]
20. Ve Sportce je ze 49 čísel vylosováno šest.
Určete pravděpodobnost výhry
a) v prvním pořadí, b) ve druhém pořadí,
c) ve třetím pořadí?
[7,15.10-8; 1,845.10-5; 9,686.10-4]
21. V MATESu je losováno 5 čísel ze 35. Jaká
je pravděpodobnost, že vyhraji na jeden
vyplněný tiket
a) první místo,
b) druhé místo?
[3,08.10-6; 4,62.10-4]
SOUČET
PRAVDĚPODOBNOSTÍ
Vyhněte se nedorozumění

V následující kapitole budeme odvozovat
pravděpodobnost sjednocení více jevů, ale
to je závislé na jejich průniku.
Pravděpodobnost sjednocení
disjunktních jevů A1, A2

A1  A2 = Ø,

jevy se vylučují:
• muž  žena,
• vadný výrobek  dobrý výrobek,
• modrá kulička  žlutá kulička,
• číslo sudé  číslo liché, ...
P(A) P(A1  A2 )  P(A1 )  P(A2 )
Pravděpodobnost sjednocení jevů
B1, B2, které nejsou disjunktní

B1  B2  Ø,

jevy se nevylučují:
• číslo dělitelné č. 2  číslo dělitelné č. 3,
• student AJ  student NJ, ...
P(B)  P(B1  B2 )
P(B)  P(B1 )  P(B2 )  P(B1  B2 )
Ať se jedná o jevy, které se navzájem vylučují
či naopak, sčítat lze přímo počty možností,
které jsou sledovaným jevům příznivé:

P(A)  P(A1  A2 )  P(A1 )  P(A2 )
mA1 mA2 mA1  mA2 mA
P(A) 



n
n
n
n

Pozor! U jevů, které nejsou disjunktní
(nevylučují se) prvky průniku započítáme jen
jednou.
Řešený příklad 22:
Ve třídě je 5 chlapců a 13 dívek (viz zadání
řešeného příkladu 12). Jaká je pravděpodobnost,
že ve čtyřčlenné skupině žáků této třídy
a) bude nejvýše jeden chlapec,
b) budou aspoň tři chlapci?
5 CH
celkem 18 ž 
13 D
výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060
a) nejvýše 1 CH, tzn. buď 0 CH nebo 1 CH,
4 ve skupině  0 CH, 3 D nebo 1 CH, 4 D
(jevy se vylučují)
mA = C0(5). C4(13) + C1(5). C3(13) =
= 1.715 + 5.286 = 715 + 1 430 = 2 145
mA 2 145
PA  

 0,7010  70,10%
n
3 060
5 CH
celkem 18 ž 
13 D
výběr: 4 členná skupina  n = C4(18) = 3 060
b) aspoň 3 CH, tzn. buď 3 CH nebo 4 CH,
4 ve skupině  3 CH, 1 D nebo 4 CH, 0 D
(jevy se vylučují)
mB = C3(5). C1(13) + C4(5). C0(13) =
= 10.13 + 5.1 = 130 + 5 = 135
mB
135
PB 

 0,0441  4,41%
n
3 060
Řešený příklad 23:
V osudí je prvních 20 očíslovaných lístků. Jaká
je pravděpodobnost, že si vytáhnu lístek s
číslem, které bude dělitelné dvojkou nebo
trojkou?

Počet všech výsledků, které mohou nastat:
vytáhnu jedno z dvaceti  n = 20

Počet možností příznivých sledovanému jevu:
č. děl. 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = 10
č. děl. 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18} = 6
jevy se evidentně NEVYLUČUJÍ
č. děl. 2 i 3 = { 6, 12, 18} = 3
mA = 10 + 6 – 3 = 13
mA 13
PA  

 0,65  65%
n
20
PŘÍKLADY NA
PROCVIČENÍ
 Součet pravděpodobností
24. V urně je 5 bílých a 7 černých kuliček.
Vytáhneme náhodně 3 kuličky. Jaká je
pravděpodobnost, že budou mít tutéž barvu?
[0,2045]
25. Jaká je pravděpodobnost, že ve Sportce
vyhraji při jednom vyplněném tiketu druhou
nebo třetí cenu?
[9,871.10-4]
26. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma
hracími kostkami padne
a) součet 3, b) součet 4,
c) součet 6,
d) součet 8, e) součet 10, f) součet 12?
[1/18; 1/12; 5/36; 5/36; 1/12; 1/36]
27. Jaký součet má nejmenší (resp. největší )
pravděpodobnost při hodu
a) třemi kostkami, b) čtyřmi kostkami,
c) pěti kostkami, d) šesti kostkami?
[3,18,(10,11); 4,24,(14); 5,30,(17,18); 6,36,(21)]
28. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi
hracími kostkami padne
a) součet 3, b) součet 5, c) součet 7,
d) součet 8, e) součet 10, f) součet 13,
g) součet 15?
[1/216; 1/36; 5/72; 7/72; 1/8; 7/72; 5/108]
29. Vypočítejte pravděpodobnost, že při hodu
třemi hracími kostkami padne
a) součet dělitelný čtyřmi,
b) součet dělitelný pěti?
[0,2546; 0,199]
30. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi
hracími kostkami padne součet 8, 10 nebo 12?
[0,3333]
31. V sérii 28 výrobků jsou 3 zmetky. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně
vybranými výrobky bude nejvýše jeden
zmetek?
[0,9548 ]
32. V sérii 45 výrobků je 5 zmetků. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně
vybranými výrobky budou nejméně tři zmetky?
[0,00272]
33. Při hře 32 kartami bylo rozdáno 6 karet. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi nimi budou alespoň
dvě esa?
[0,1504]
34. V osudí je 10 bílých, 5 černých a 6 zelených
kuliček. Náhodně vytáhneme 4 kuličky. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi nimi budou nejméně
2 černé?
[0,228]
35. V urně je 5 černých, 7 bílých a 8 zelených
koulí. Náhodně vybereme 3 koule. Jaká je
pravděpodobnost, že a) budou mít tutéž barvu,
b) každá koule bude mít jinou barvu?
[0,0886; 0,24561 ]
PRAVDĚPODOBNOST
OPAČNÉHO JEVU
Řešený příklad 36:
V osudí je 6 kuliček modrých a 4 žluté. Jaká
je pravděpodobnost, že vylosujeme 1 kuličku
a) modrou, b) žlutou?
={

}
Počet všech výsledků, které mohou nastat:
n = 10 (vytáhnu jednu z deseti)

Počet výsledků příznivých jevu
a) mA = 6 (vytáhnu jednu ze šesti, z modrých)
b) mB = 4 (vytáhnu jednu ze čtyř, ze žlutých)

Výsledek:
6
a) P(A) 
 0,6
10
4
b) P(B) 
 0,4
10
Všimněte si

Součet pravděpodobností obou jevů A, B v
příkladu 19 se rovná jedné:
P(A)  P(B)  0,6  0,4  1

Jevy A, B jsou tzv. doplňkové. (Obdobně
také jevy A, B v zadání příkladu 7.)
Doplňkové jevy

Jevy, pro které platí:
AB 
AB  Ω
P(A)  P(B)  1
Opačné jevy, ozn. A, A´
A´ je negace tvrzení A

Jevy A, A´ se navzájem vylučují, tzn. A  A´ 

Protože pro jevy A, A´ také platí: A  A´ 
Jevy A, A´ jsou jevy doplňkové a tedy:
P(A)  P(A´)  1
Použití jevů opačných

Pravděpodobnost opačného jevu určujeme pouze
tehdy, je-li to pro výpočet výhodnější.
Tzn. počet možností příznivých opačnému jevu A´
je podstatně menší, než počet možností příznivých
jevu výchozímu A.

Pravděpodobnost výchozího jevu A nakonec
dopočteme jako doplněk pravděpodobnosti jevu
opačného A´ do jedné:
P(A)  1  P(A´)
Řešený příklad 37:
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma
kostkami nepadne součet 2?
A … nepadne součet 2,
tzn. padne součet: 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12
tzn. 10 různých možností a každou z nich početně určit
 určujeme jev opačný (negace výroku A)
A´… padne součet 2,
tzn. pouze jedna jediná možnost pro výpočet!
n = V2´(6) = 36
mA´ = 1
{[1; 1] ... jediná uspořádaná dvojice}
1
P(A´) 
 0,027
36
P(A)  1  P(A´)  1  0,027  0,972
PŘÍKLADY NA
PROCVIČENÍ
 Pravděpodobnost opačného jevu
38. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi
hracími kostkami nepadne součet 13?
[0,9028]
39. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu třemi
hracími kostkami nepadne součet dělitelný
pěti?
[0,801]
40. V urně je 15 černých a 6 bílých koulí.
Náhodně vybereme 5 koulí. Jaká je
pravděpodobnost, že nebudou mít tutéž
barvu?
[0,8521]
41. Ve třídě je 15 chlapců a 17 dívek. S jakou
pravděpodobností mezi 4 vybranými zástupci
nebudou samé dívky?
[0,9338 ]
42. Ve třídě je 30 žáků, z nichž 8 není připraveno.
V hodině budou zkoušeni 4 žáci. S jakou
pravděpodobností, nebudou alespoň tři
připraveni?
[0,283525]
43. V krabici je 10 větrníků a 15 trubiček. Jaká je
pravděpodobnost, že mezi pěti vybranými
zákusky a) nebudou žádné trubičky, b) bude
jedna trubička, c) budou aspoň dvě trubičky.
[a) 0,004743, b) 0,059288; c) 0,935968]
PŘÍKLADY NA
PROCVIČENÍ
 Souhrnné opakování kapitoly:
Jednoduchá pravděpodobnost
1. V bedně je 40 žárovek, z nichž jsou 4 vadné. S
jakou pravděpodobností nebude mezi 5 náhodně
vybranými žárovkami ani jedna vadná?
[0,572929]
2. V koši je 30 jablek, z nichž je 5 červivých. Jaká
je pravděpodobnost, že z šesti tažených budou
alespoň 2 dobrá?
[0,999958]
3. Maminka přinesla 4 věnečky, 7 žloutkových
řezů a 10 špiček. Každý smí sníst pouze 3
zákusky. Jaká je pravděpodobnost, že nedostanu
pouze jeden druh?
[0,880451]
4. V krabici je 15 bonbónů jahodových a 20
citrónových. Jaká je pravděpodobnost, že ze čtyř
tažených bude nejvýše jeden citrónový?
[0,200]
5. V koši je 20 žárovek, z nichž je 6 rozbitých. Jaká
je pravděpodobnost, že z pěti vybraných jsou
alespoň tři dobré?
[0,869]
6. V urně je 20 losů červených a 30 modrých. Jaká
je pravděpodobnost, že vyberu nejvýše čtyři
modré ze šesti losovaných?
[0,783]
7. Ve škole je 35 učitelů, z toho je 17 žen. Jaká je
pravděpodobnost, že v šestičlenné delegaci
budou alespoň 3 ženy?
[0,6424]
8. Ze čtyřiceti výrobků je šest vadných. Jaká je
pravděpodobnost, že z deseti tažených je nejvýše
pět vadných?
[0,9999]
9. Při hře 32 kartami bylo rozdáno pět karet. Jaká
je pravděpodobnost, že mezi vybranými kartami
nebude ani jedno eso?
[0,488042]