نظریۀ ارزش فرین
Download
Report
Transcript نظریۀ ارزش فرین
عنوان « :نظریۀ ارزش َ
فرین با رویکرد اندازهگیری ریسک »
توضیح مختصر:
ای ننن ارائ ننه ب ننه نظری ننۀ ارزش ف ننرین مدپ ننردازد .دو رویک ننرد نظری ننۀ ارزش ف ننرین ن ن "نظری ننۀ ارزش ف ننرین ی یافت ننه" و
"فراتننر از آاننتانه" شننریم م دد ن د .تننا ع اگنناحت الت ننال ،نحن ۀ ب نرآورد پارامتراننا ت شننیم داده مدد ن د ،و نح ن ۀ محاا ن ۀ
ارزش در م رض ریسک ت شیم داده مدد د.
اول بار ارائه در کالس تحلیل آماری پیشرفته ،مقطع دکترا ،دانشکدۀ مدیریت دانشگاه تهران
3
رویداداای فرین
اثر سیار باال
4
الت ال سیار پایین
مسألۀ اااس رویداداای فرین
ک د دادهاا
کااش قابلیت
اتکای برآورداا
5
َ
نظریۀ ارزش فرین
تالشهابرایحلمسألهارزشهایفریندر
نهایتبهارایۀنظریۀارزشفرینمنجرگردید.
نظریۀارزشفرینشاخهایازآمارکاربردی
استکهبرایحلچنینمسائلیتوسعهیافته
است.
دالیل ااتفاده از نظریۀ ارزش فرین
ارزشهااایفااریننااادراسااترف،ااشتعریاامیمراااهدا ک اایدر
دن،الههایتوزیعرجوددارد.
براساسمطالعا انجامگرفتاهرجاوددن،الاههایمتاراکخرخ و اا
غیرنرمالدرسریبازدۀمالیمرهوداست.
ه یرهایناحت الرجودداردکهتحرکاا فاریندرمی اتداراییهاا
توسطساازرکارهاییایجاادشاوندکاهباهلحاتسااختاریاز
مع ولبازارمتفار باشد.
ل ارد
جایگاه نظریۀ ارزش فرین در عل آمار
ی
ط قهبندی ت زیعاای آمار
آمار
م ت بر
ارزش فرین
8
آمار
م ت بر
ی
گرا ش مرکز
رویکرداای نظریۀ ارزش فرین
رویکرد فراتر از
آاتانه
Peak Over
Threshold
نظریۀ ی یافتۀ
ارزش فرین
Generalized
Extreme
Value Theory
10
از ارزش فرینGEVT ریف آماری
X1, X2, … , Xn
X min, n min( X 1 , X 2 ,..., X n )
X max, n max( X 1 , X 2 ,..., X n )
11
ت زیع دقیق Xmax,nو Xmin,n
گام ل در اال 1958نشان داد اگر متغیراای X1, X2, … , Xnبهلحاظ آماری مستقل از یکدیگر ب ده و
دارای ت زیعاای یکساند بادند ،ت زیع دقیق لداکثراا را مدت ان بهعن ان تا عت از ت زیع مادر ) F(xو ط ل
nبازگ ن د:
دورۀ انتخابد
n
H max, n ( x ) F ( x )
به ا ین ترتیب ت زیع دقیق لداقلاا از رابطۀ زیر بهدات مدآید:
H min, n ( x ) 1 1 F ( x )
n
12
Xmin وXmax ت زیع تقریب
با،بر اااس قضیۀ فیشر و تیپت
ت زیع ارزشاای فرین،n بزرگددن
به ت زیعXmin وXmax
:ی یافتۀ ارزش فرین نزدیک مدد د
H , , ( x max
if max 0
1 max
x max max
exp 1 max
max
)
if max 0
x max max
exp exp
max
13
Xmin وXmax ت زیع تقریب
H , , ( x max
) exp
1 max
x max max
max
1 max
14
پارامتراایGEVT
• پارامتر م ق یت :انجۀ گرا ش مرکزی ت زیع اات.
• پارامتر م یار :انجۀ پراکندگد ت زیع اات.
• داخص دن اله :بر دکل یا تراک دن الۀ ت زیع داللت دارد.
15
لالتاای خاص ت زیع GEV
max 0
• ت زیننع ی یافتننۀ ارزش فننرین بننه ت زیننع فردننت م نندل م ددن د.
این ننن ت زین ننع زمن نناند اان ننتفاده مدد ن ن د کن ننه دن الن ننۀ ) F(xمت ن نراک
اا ن ن ننت .ت زیعا ن ن نناید ک ن ن ننه در ای ن ن ننن ط ق ن ن ننه ج ن ن ننای مدگی ن ن ننرد د ن ن ننامل
ت زین ننع ل ن ن ی ،ت زین ننع ،tت زین ننع پرت ن ن ،ک ع ن ن و ت زیعان ننای مرکن ننب
ا
اا ننت .ای ننن لال ننت خی ب ننا بن نرای بازدها ننای م نناحت مفی نند اا ننت،
ا
اراکننه ع مننا دن النهاای متنراک دارد .دنناخص دن الننه در ا لننب
بازدهاای ماحت ،مثبت و در عین لال ک اکتر از 0/35مدبادد.
16
لالتاای خاص ت زیع GEV
max 0
• ت زی ننع ی یافت ننۀ ارزش ف ننرین ب ننه ت زی ننع گام ننل ت نندیل
مدد ن ن د و آن زمن نناند اان ننت کن ننه ) F(xدارای دن ال ن نهاای
ا
ت زی ن ن ننع ن ن ن نناید باد ن ن نند .دن ال ن ن نهاای ت زی ن ن ننع ن ن ن نناید نس ن ن ننبتا
یعا نناید
دن ال نهااید ا ن ک (ک ت نراک ) اا ننت .از ج ل ننه ت ز
کن ننه در دامنن ننۀ جن ننر ت زین ننع گام ن ننل ق ن نرار مدگین ننرد ت زین ننع
نرمننال ،ن نناید ،گامننا و الگنرمننال ااننت کننه از میننان آناننا
ا
تنها ت زیع الگنرمال دارای دن الۀ نسبتا متراکم اات.
17
لالتاای خاص ت زیع GEV
max 0
• ت زیع ی یافتۀ ارزش فرین به ت زیع وی ل بدل مدگردد
و آن لالت اانت کنه ) F(xدارای دن النهااید ک تراک تنر از
دن الهاای ت زیع نرمنال اانت .بندیی اانت کنه ت زینع وی ن ل
ا
خی ب ننا ب نرای مدلا ننازی بازدها ننای م نناحت مناا ننب نیس ننت،
اراکننه اننری بننازدۀ منناحت ا لننب دن النهااید بننه ایننن ک تراکمن
ننندارد .از ج لننه ت زیعانناید کننه در دامنننۀ جننر ت زیننع وی ن ل
قرار مدگیرند ،ت زیع یکن اخت و بتا اات.
18
GEV ت ا ع اگاحت الت ال ااتاندارد
0.45
0.4
Probability Density
0.35
0.3
Weibull
Frechet
0.25
Gumbel
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
X
19
تخ ین پارامتراای ت زیع GEV
اه روش جهت تخ ین پارامتراا وج د
دارد:
امتریک
نی هپار
20
رگرای ن
لداکثر
دراتن اید
گاماای روش لداکثر دراتن اید
1
h , , ( H ; x max )
1 max
x max max
max
1 max
max
1
exp 1 max
x max max
max
max
if
ln L h
max 0
n e ln max
1 max
max
ne
i 1
ln 1 max
x max max
max
1
ne
i 1
ln 1 max
x max max
max
max
21
گاماای روش لداکثر دراتن اید
1 max
x max max
max
0
22
مزایا و م ایب روش لداکثر دراتن اید
max 0
23
گاماای روش رگرای ن
, ,X
,XنشنانXمنددای
.1تن احت ارزشانای لنداکثر را کنه بنا
از ک ا ن ننک ب ن ننه ب ن ننزرگ مرت ن ننب م ن ندکنی و ب ن ننه ای ن ننن ترتی ن ننب ب ن ننه آمارها ن ننای ترتیب ن ن
ارزشا ننای ل ننداکثر ن ن دا ننت مدی ننابی .ای ننن آمارها ننا د ننرو زی ننر را بن نرآورده
مداازد:
max ,n e - 1
max , 1
e
max , n
Xˆ max , n Xˆ max ,n e -1 Xˆ max , 1
e
.2میانگین فراواند تج عت «»iامین مقدار را محاا ه مدکنی :
ne i 1
ne 1
که ،iد اره آماره اات و آن را در محدوده 1تا
24
e
nریف مدکنی .
گاماای روش رگرای ن
.3روش رگراننی ن ،تننا ع ت زیننع تج عننت ایننن مشنناادار مرتبدننده را برابننر میننانگین نظن نری آناننا
قرار مدداد:
ˆ x
E H
ˆ( x
) E exp 1
1 max
max
ne i 1
ne 1
max, i
max
max
H , , ( xˆ max, i )
max, i
ne i 1
ne 1
.4از رابطۀ ف ق ،دو بار لگاریت مدگیری تا به دکل اادهتری ت دیل د د ،انپ
به ا ت راات اشافه مدکنی تا به یک ساوی ت دیل گردد:
xˆ max, i max
max
log 1 max
1
max
ne i 1
i
log log
n
1
e
25
, ,
ج لنۀ خطنا را
گاماای روش نی هپارامتریک
X 1 ,n ,X
ˆ
1
2 ,n
, ,X
k,n
k 1
ln
k 1
X i , n ln X k , n
for k 2
i 1
26
روش نی هپارامتریک
• اگر ن دار ایل برای برخت از مقادیر
ا
kنس ن ن ننبتا ب ن ن ننا ث ن ن ننار (افق ن ن نند) باد ن ن نند،
مقننادیری از kکننه باعننج ایجنناد انننین
ث ن ننا د دن نندهاند ،ب ن نرآوردی منطق ن نند از
داخص دن اله فراا مدآورد.
27
گام ا م
روش نی هپارامتریک
0.3
0.28
0.26
0.22
0.2
0.18
50
28
45
40
35
30
25
k
20
15
10
5
0
Hill estimator
0.24
GEV محاسبۀ چندکهای توزیع
1 max
ln p
exp
x max
x max max
max
1 max
x max max
max
if max 0
if max 0
max
1 ln p
if ( Frechet , 0 )
max
max
if ( Gumbel , 0 )
max max ln( ln p )
X max
29
محاسبۀ چندکهای گامبل:مثال
0, 1
ln ln( 0 . 05 ) 1 . 0972
ln ln( 0 . 095 ) 2 . 9702
30
محاسبۀ چندکهای فرشت:مثال
max 0 . 2
(1 0 . 2 ) 1 ( ln( 0 . 05 )
0 .2
0 . 9851
(1 0 . 2 ) 1 ( ln( 0 . 95 )
0 .2
4 . 0564
max 0 . 3
(1 0 . 3 ) 1 ( ln( 0 . 05 )
0 .3
0 . 9349
(1 0 . 3 ) 1 ( ln( 0 . 95 )
0 .3
4 . 7924
31
محاسبۀ ارزش درمعرضریسک
H max, n ( x ) F ( x )
n
F ( x)
H max, n ( x ) Pr X max x max
F ( x ) Pr X x max
H max, n ( x )
p
1
32
محاسبۀ ارزش درمعرضریسک
if ( Frechet , 0 )
max
max
1
n
ln(
1
)
max
max
x
if ( Gumbel , 0 )
max max ln n ln( 1
33
فردت
مثال :ارزش درم رضریسک
فننرض کنینند پارامتراننای مر ن و بننه ت زیننع ارزشاننای فننرین بننازدۀ یننک اننه از ت زیننع فراننت بننا
مشخیار زیر پیروی مدکند:
max 0 . 3
max 2 %
max 0 . 7 %
ا انین فرض کنید ارزشانای فنرین از ن ننهااید بنا انندازۀ 100مشنااده لابنل دندهاند.
قی ن ننت ج ن نناری ای ن ننن ا ن ننه 1,000ت م ن ننان اا ن ننت .ارزش درم رضریس ن ننک در ا ن ننطم اط ین ن ننان
%99/5ع ارر اات از:
0 . 007
q
( r ) 0 . 02
1 100 ln( 0 . 995 )
0 . 03
0 .3
99 . 5 %
0 . 02537
و در اطم اط ینان %99/9داری :
VaR 1000 0 . 02537 253 . 7
0 . 007
0 . 03
q 99 .9 % ( r ) 0 . 02
1 100 ln( 0 . 999 )
0 .3
0 . 04322
VaR 1000 0 . 04322 432 . 2
34
مثال :ارزش درم رضریسک گام ل
فننرض کنینند پارامتراننای مر ن و بننه ت زیننع ارزشاننای فننرین بننازدۀ یننک اننه از ت زیننع فراننت بننا
مشخیار زیر پیروی مدکند:
max 0 . 7 %
max 2 %
ا انین فرض کنید ارزشانای فنرین از ن ننهااید بنا انندازۀ 100مشنااده لابنل دندهاند.
قی ن ننت ج ن نناری ای ن ننن ا ن ننه 1,000ت م ن ننان اا ن ننت .ارزش درم رضریس ن ننک در ا ن ننطم اط ین ن ننان
%99/5ع ارر اات از:
q 99 .5 % ( r ) 2 0 . 007 ln 100 ln( 0 . 995 ) 0 . 02483
VaR 1000 0 . 02483 248 . 3
و در اطم اط ینان %9/99داری :
q 99 .5 % ( r ) 2 0 . 007 ln 100 ln( 0 . 999 ) 0 . 03612
VaR 1000 0 . 03612 361 . 2
35
36
رویکرد POTدر م اجهه با رخداداای فرین
ا انگ ن ننه ک ننه نظری ننۀ ی یافت ننۀ ارزش ف ننرین راهلل ننت
ب ن نندیی بن ن نرای مدلا ن ننازی ل ن ننداکثراا و لداقلااان ن ننت،
رویکرد فراتر از آاتانه نیز روع بدیی برای مدلاازی
تخطداننا از یننک آاننتانۀ بننزرگ ااننت .ب نهع ار د دیگ نر مننا
تنهن ننا ب ن نهدن ال مشن نناادار لن ننداکثر ین ننا لن ننداقل نیس ن ن ی ،
بلک ننه تخط نند مش نناادار ف ننرین از ی ننک آا ننتانۀ ب ننزرگ نی ننز
برای ان جالب ت جه اات.
37
GEVTو POT
رویکرد فراتر از آاتانه
• ت زیع فراتر از آاتانه
38
نظریۀ
فرین
ی یافتۀ ارزش
• ت زیع لداکثراا و لداقلاا
ریف آماری فراتر از آاتانه
X 1, X 2 , , X n
F (u )
F ( x)
F ( u ) Pr X i u
i 1, 2 , , n
Xi u
39
ریف آماری فراتر از آاتانه
مقدار اشافت فراتر از آاتانه را نیز بهب رر زیر ریف مدکنی :
yi X i u
و برای الت االر
X i yi u
خ اای دادت:
) Pr X i y i u F ( y i u
به این ترتیب برای ت زیع الت ال مقادیر اشافت فراتر از آاتانۀ uخ اای دادت:
F u ( y ) Pr X i u y i X i u
40
ریف آماری فراتر از آاتانه
که ) Fu ( yن ایانگر الت ال تخطد Xلداکثر به اندازۀ yاز آاتانۀ uاات ،ال ته مشروو بر اینکه Xاز u
فراتر رفته بادد .این الت ال مشروو را مدت ان بهب رر زیر ن دت:
Pr X i u y i , X i u
) Pr( X u
Fu ( y )
که در ن یجه خ اای دادت:
) F ( x ) 1 F ( u ) Fu ( y ) F ( u
41
) F ( y i u ) F (u
) 1 F (u
Fu ( y )
قضیۀ فراتر از آاتانه
بالک ن ننا و دیان ننان و نین ننز پیکانن نندس طن نند قضن ننیهای نشن ننان دادنن نند کن ننه
ب نرای«»uا نناید ک ننه ب ننه ان نندازۀ ک ننافت ب ننزرگ اا ننت ،ت ننا ع ت زی ننع مق ننادیر
را مدتن ان بننا ت زیننع ی یافتننۀ پرتن
فراتن )نر( yازFآاننتانه ن
تقریب زد .ت زیع ی یافتۀ پرت را بهب رر زیر ریف مدکنی :
u
1 max
42
x max max
max
) 1 1 max
G , , ( x max
GEV وGPD
وجودGEV وGPD رابطۀ سادهای بین
:دارد
G , , ( x max ) 1 log H , , ( x max )
if log H , , ( x max ) 1
43
پارامتراایGEVT
• پارامتر م ق یت :انجۀ گرا ش مرکزی ت زیع اات.
u
• پارامتر م یار :انجۀ پراکندگد ت زیع اات.
• داخص دن اله :بر دکل یا تراک دن الۀ ت زیع داللت دارد.
44
لالتاای خاص GPD
ا
• ت زیع ی یافتۀ پرت دارای دن الهای نسبتا متراکم خ ااد ب د.
در این لالت ت زیعااید مانند tدر دامنۀ جر آن قرار مدگیرد.
اگر
max 0
• ت زیع ی یافتۀ پرت دارای دن الهای با تراک مت اط اات .در
این لالت ت زیعااید مانند نرمال در دامنۀ جر آن قرار
مدگیرد.
اگر
max 0
ا
• ت زیع ی یافتۀ پرت دن الهای نسبتا ک تراک دا رد .در این
لالت ت زیعااید مانند بتا در دامنۀ جر آن قرار مدگیرد.
اگر
max 0
45
GPD ت ا ع اگاحت الت ال ااتاندارد
1
Probability Density
0.8
<0
=0
0.6
>0
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
X
3
3.5
4
4.5
5
46
برآورد پارامتراا :انتخا u
بنرای تخ ننین پارامتراننا باینند یننک مقنندار منطقنند بنرای آاننتانۀ uانتخننا کنننی .ایننن آاننتانه
یینکنننندۀ ننداد مشنناادار فراتننر از آاننتانه ن ااننت .م نناند نظننری ش ن یفد ب نرای
انتخا آاتانه وج د دارد و این یکند از نقناو شن ف نظرینۀ فراتنر از آانتانه اانت .بندین
ترتیب این انتخا بیشتر به قضاوراای ما مر و مدد د .اراند تخ ین اینن پنارامتر از
طرین ننق لن ننداکثر درا ن نتن اید ط یعتتن ننرین راه ب ن نهنظر مدران نند ،امن ننا این ننن رویکن ننرد از ث ن ننار
برخ ن ردار نیسننت .بننا غییننر آاننتانه ،ننداد مشنناادار فراتننر از آاننتانه غییننر مدکننند و ایننن
امر م جب ایجاد تا ع الت ال ناپی اته و ا لب نامحدود مدد د.
47
برآورد پارامتراا :انتخا u
بزرگد آاتانه
دقت برآورد
ت رش
داد مشاادار
قابلیت اتکا
واریان
48
ابزاراای دناااید دن اله
49
ن دار ایل
تا ع میانگین فزوند
ن دار اندک-اندک
Hill plot
mean
excess
function
quantilequantile
plot
اندک-ن دار اندک
10
Normal Quantiles
5
0
-5
-10
-4
-3
-2
-1
0
1
t student Quantiles
2
3
4
50
تا ع میانگین فزوند
اگ ن ننر ت ن ننا ع می ن ننانگین فزون ن نند در ب ن نناالی ی ن ننک آا ن ننتانۀ
خن ن نناص ،خطن ن نند راان ن ننت بن ن ننا دن ن ننیب مثبن ن ننت بادن ن نند،
نشانگر این اات که دادهانا از ت زینع ی یافتنۀ
پرت ن ب ننا د نناخص دن ال ننۀ مثب ننت پی ننروی مدکنن ند .از
ان ن ی دیگ ننر ،ت ننا ع می ننانگین فزون نند دادها نناید کن نه
در
دارای ت زیننع ن نناید ااننت ،خطنند افقنند ااننت و
نهای ن ننت ای ن ننن ت ن ننا ع بن ن نرای داد ها ن نناید ب ن ننا دن الن ن نهاای
ک تراک ،خطد با دیب منفد اات.
51
nu
) u
i
(X
i 1
nu
) ( X i u
I
i 1
e nu ( u )
تا ع میانگین فزوند
-3
3.4
x 10
Mean Excess
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Thershold
3.5
4
4.5
5
-3
x 10
52
ن دار ایل
برای یین آاتانه ،ن دار ایل را ترای مدکنی ،بهگ نهای که داخص دن الۀ
تخ ی تا عت از داد kباالترین آمارۀ ترتیب بادد .آاتانه را در جاید انتخا
ا
مدکنی که داخص دن اله نسبتا ثابت بادد .به ع ار د دیگر ،آاتانه را در جاید
ا
انتخا مدکنی که تا ع میانگین فزوند ،برای مقادیر kنسبتا افقد مدد د.
k 1
for k 2
X i , n ln X k , n
1
ln
k 1
ˆ
i 1
که kد ارۀ باالترین آمارۀ ترتیب اات و یا بهع ارر دیگر داد تخطداا مدبادد و nاندازۀ ن نه اات.
53
ن دار ایل
2
Hill Estimator
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
k
54
تخ
ین اایر پارامتراا در رویکرد POT
μ max
ا نان آانتانه اانت و بنا انتخنا uمشنکل انتخنا اینن پنارامتر مرتفنع
پارامتر م ق یت
م دگننردد .ب نرای انتخننا آاننتانه باینند ترکیب ن از ابزاراننای منااننب مانننند ن ن دار بنندک -ب ندک،
ت ن ننا ع می ن ننانگین فزون ن نند و ن ن ن دار ای ن ننل را م ن نند نظ ن ننر ق ن نرار داد ،در ی ن ننر اینب ن ن رر م ک ن ننن اا ن ننت
برآورداای نان وارینان بناالید دادنته و ینا ا نراه بنا ارینب بادند .در ادامنه کنار بایند پارامترانای
و را برآورد کنی .این پارامتراا را مدت ان با ااتفاده از روشاای ذیل تخ ین زد:
max
max
روش رگرسیون
55
روش حداکثر درستنمایی
گاماای روش لداکثر دراتن اید
ااتخراج تا ع.1
:اگاحت الت ال
ااتخراج تا ع.2
الت ال و اپ
تا ع لگاریت الت ال
1
g , , ( G ; x max )
max
1 max
if 0
1 max n u
ln
n ln max
u
max
i 1
ln L h
if 0
1 nu
x max
n u ln max
max i 1
x max max
max
1 max
max
1 max
max
x max max
max
56
گاماای روش لداکثر دراتن اید
max ,
x
max max
max ,
max
if 0
if 0
57
گاماای روش رگرای ن
,X max ,n -1 , ,X max ,1
نان Xمنددای
.1ت احت ارزشاای لداکثر را که بنا
ش max
ن ,n
از ک ا ن ننک ب ن ننه ب ن ننزرگ مرت ن ننب م ن ندکنی و ب ن ننه ای ن ننن ترتی ن ننب ب ن ننه آمارها ن ننای ترتیب ن ن
ارزشا ننای ل ننداکثر ن ن دا ننت مدی ننابی .ای ننن آمارها ننا د ننرو زی ننر را بن نرآورده
مداازد:
u
u
Xˆ max , n Xˆ max ,n u -1 Xˆ max ,1
u
.2میانگین فراواند تج عت «»iامین مقدار را محاا ه مدکنی :
nu i 1
nu 1
که ،iد اره آماره اات و آن را در محدوده 1تا
58
u
nریف مدکنی .
گاماای روش رگرای ن
تننا ع ت زیننع تج عننت ایننن مشنناادار مرتبدننده را برابننر میننانگین نظن نری آناننا، روش رگراننی ن.3
if 0
:قرار مدداد
E G max, n ( xˆ max,
1 max
xˆ max max
E 1 1 max
max
nu i 1
nu 1
)
i
if 0
xˆ
max
E 1 exp max
max
nu i 1
nu 1
G max, n ( xˆ max, i )
nu i 1
nu 1
59
گاماای روش رگرای ن
.4 از رابطننۀ ف ن ق ،دو ب ننار لگنناریت مدگیننری ت ننا بننه د ننکل اننادهتری ت نندیل د ن د ،اننپ
خطا را به ا ت راات اشافه مدکنی تا به یک ساوی ت دیل گردد:
if 0
nu i 1
if 0
nu 1
1 max
nu i 1
ne 1
ج ل ننۀ
ˆ x
max
1 1 max max
max
xˆ max
1 exp
max
.5 از رابطۀ ف ق دو بار لگاریت مدگیری تا بنه دنکل انادهتری ت ندیل دن د .انپ ج لنۀ خطنا
را بنه ان ت راانت اشنافه مندکنی تنا رابطنه بنه ینک سنناوی ت ندیل گنردد و در نهاینت پارامتراننا
را از طریننق ک ین نهکردن مج ن ر مجننرورار خطننا بننا ااننتفاده از م ننادالر رگراننی ن یرخط ند
برآورد مدکنی .
ˆ x
n i1
1 max
if 0
if 0
60
u
nu 1
max
1 1 max max
max
xˆ max n u i 1
1
exp
ne 1
max
محاسبۀ ارزش درمعرضریسک
ب نرای اینکننه بت ن انی بنندکاای مر ن و بننه ت زیننع ی یافتننۀ پرت ن را بننه بنندکاای ت زیننع مننادر
منتقننل کنننی ،باینند بهگ ن نهای بننین الت نناالر ایننن دو ت زیننع رابطننه برق نرار ن ننایی .بن نرای ایننن کننار از
رابطۀ زیر ااتفاده مدکنی .
) F ( y u ) F (u
) 1 F (u
Fu ( y )
بنرای «»uاناید کنه بنه انندازۀ کنافت بنزرگ اانت،
ط نق قضنیۀ بالک نا ،دیانان و پیکان
ندسF ( ،
)y
ی یافت ننۀ پرت ن نزدی ننک مدد ن د و نی ننز از آنج ننا ک ننه ب نر u
،
ای Xاننر
بننه ت زیننع
داuری نX:
y
مدت ان ن دت:
) F ( x ) 1 F ( u ) G ( x u ) F ( u
u
, ,
ند از ینین آانتانه ،مشناادار فراتنر از آانتانه را از ن ننۀ مشناادار جندا مندکنی .اگ نر نداد
مشنناادار فراتننر از آاننتانه را بننا و ننداد کننل مشنناادار ن نننه را بننا ن ننا ش داننی .ب نهرالت
زنیn:
مدت انی آخرین ج لۀ ا ت راات رابطۀ باال را با برآوردکنندۀ تجربد زیر تخ ین ب n
ˆ
F (u )
u
n
61
محاسبۀ ارزش درمعرضریسک
با جایگراری رابطۀ ف ق در رابطۀ ق لت به رابطۀ زیر مدرای :
n nu
n nu
Fˆ ( x ) 1
G , , ( x u )
n
n
( x u ) 1
در نهایت با جایگراری تا ع ت زیع تج عت
, ,
G
nu
1
n
n
ˆmax
مدت انی به جای
xu
n
xu
Fˆ x 1 u 1 ˆmax
n
ˆ max
مقادیر اشافت فراتر از آاتانه را جایگزین کنی :
1
max
62
n
ی یافتۀ پرت در رابطۀ ف ق خ اای دادت:
1
،م ادل آن
n nu
G , , ( x u )
nu
ˆ
n
y
Fˆ x 1 u 1 ˆmax
n
ˆ max
محاسبۀ ارزش درمعرضریسک
بنرای یننک الت ننال م ننین مثننل ،بنهرالت مدتن ان بنندک مر ن و بننه ت زیننع را بنرآورد ن ن د .بندیی
اات که این کار با م ک سکردن ت زیع امکانپریر اات:
ˆ
این رابطه در ب ر د صحیم اات که درو
max
n
1
n
u
) 1 F (u
ˆ max
برآورده گردد:
ˆmax
1 u
1
ˆF
اگننر دادهاننای م ردبررسن بننازدۀ داراینند بادنند ،رابطننۀ بنناال ا ننان ارزش درم رضریسننک دربنندی
مدت ان ن دت:
اات.
ˆ
max
n
1
n
u
ریزش م ردانتظار دربدی نیز برابر اات با:
ˆ max ˆmax u
1 max
63
ˆ max
ˆmax
% VaR u
% VaR
1 max
% ES
مثال :محاا ۀ ارزش در م رض ریسک
فننرض کنینند ب نرای بازدهاننای روزانننۀ یننک اننه ،آاننتانهای م ننادل %6یننین کننردهای .قی ننت
روز این انه 100ت منان اانت و پارامترانای تخ ی ن ˆ 0 .05 ،و ˆ 0 .5مدبادند.
اگ ننر n 1000و n 50باد نند ،ارزش درم رضریس ننک ی نکروزه در ا ننطم اط ین ننان %99
برابر اات با:
max
max
u
0 .5
0 . 05 1000 0 . 01
% VaR q 0 .01 ( r ) 0 . 06
1 0 . 184
0 . 5
50
VaR 100 0 . 184 18 . 4
و ESنیز در ا ین اطم اط ینان برابر اات با:
0 . 408
0 . 05 0 . 5 0 . 06
1 0 .5
0 . 184
1 0 .5
% ES
ES 100 0 . 408 40 . 8
64
65
GEVTدر مقابل POT
اننر دو رویکننرد GEVو POTنسننخهاای مختلفنند از یننک نظریننۀ زیر ننناید ب نهنام نظریننۀ ارزش فننرین ااننت .رویک نرد
اول ،پ دن نشداندۀ ت زی ننع ارزشا ننای ف ننرین اا ننت و رویک ننرد دوم ،ب ننا ت زی ننع تخطدا ننای فرات ننر از ی ننک آا ننتانۀ ب ننزرگ
اننروکار دارد .بنننابراین ب نهلحاظ نظننری اخننتالآ زیننادی بننین آناننا نیسننت ،امننا در ع ننل م کننن ااننت بنننا بننه دالیلننت کننه
ارایه مدکنی ،یکد بر دیگری رجحان یابد:
ا
در یننک م ق ی ننت خ نناص انتخ ننا یک نند از رویکردا ننا م ک ننن اا ننت از ت جی ننه بیش ننتری برخ ن ردار باد نند .م ننثال ،م ک ننن
اا ننت ب ننا مح نندودیت داده م اج ننه باد ننی و انتخ ننا ی ننک رویک ننرد ب ننر دیگ ننری ت ننرجیم داد ننته باد نند .رویک ننرد GEV
نسبت به POTدارای یک پارامتر اشافت اات .ا انین رویکرد GEVم کنن اانت باعنج از دانترفتن بخ ن
از اطالعار مفید گردد ،اراکه م کن اات برخت از ن نهاا (بل کاا) بیش از یک ارزش فرین دادته بادد .این
دو من رد از م ایننب GEVنسننبت بننه POTااننت .از طننرآ دیگننر POT ،مسننتلزم انتخننا یننک آاننتانه ااننت و
این مسأله در GEVوج د ندارد.
66
GEVTدر مقابل POT
ان ن ننر دو رویکن ن ننرد GEVو POTاز م ن ن نناند
نظننری محکمن برخ ردارننند و بننه ا ننین دلیننل
م ق ن ل و منطقدان نند ،وحننت ب ننه اننر ل ننال بای نند
رویک ن ننردی را انتخ ن ننا ن ن ن د ک ن ننه ب ن ننا مس ن ننأله
پیش روی مناابت بیشتری دادته بادد.
67
تکامل رویکردهای ارزش فرین
در ب ن ن ن رر نقن ن ننص مفروشن ن ننار مقن ن نندما د نظرین ن ننۀ ارزش
ف ننرین ،ناا نناری نس ننخهاای پی ی نندهتری از ای ننن نظرین نه را
بهکار گیری :
• ارزش فرین درطد
• ارزش فرین با دادهاای وا سته
• نظریۀ ارزش فرین اندمتغیره
68
محدودیتاای EVT
• ن یجۀ ک د مشاادار این اات که برآورداای ارزش فرین
نسبت به بدکاا یا الت االر مرکزیتر ت زیع سیار نامط ئن
ا
ا
اات و مت اق ا دارای ف ابل اط ینان نسبتا پنه خ ااند ب د.
ک د دادهاا
• ما باید جهت ارایۀ تخ ینااید از ارزشاای فرین مفروشار
مختلفد را در نظر بگیری و این در لاحت اات که در ع ل ،تأیید
صحت این مفروشار مشکل اات.
ریسک مدل
ا
• نظریۀ ارزش فرین مجان ا خن ع نل مدکنند ،در ن یجنه تخ ینانا
نسبت به اثرار ن نۀ ک اک ن اریبانا ،یرخطدبن دن و دیگنر
مسائل نامطل سیار لساس اات. .
69
اثرار نامطل
ن نۀ ک اک
لسنختام :نقل ق ل از بالبنظران
مک نیل که در این زمینه پیشتاز اات ،مدگ ید:
• ما با دن الهاا کار مدکنی و این در لاحت اات کنه تنهنا نداد محندودی داده
در اختیار داری .عدماط ینان تحلیلاای ان ا لب باالات و اینن م شن ر در
ف ابننل اط ینننان ظهننن ینناار مدد ن د ... .بننه اننر لننال اگننر ب نهدن ال کم ا نازی
ل ن ن اد ن ن ننادر اس ن ن ی ،مدت ن ن انی ب ن ننه ج ن ننای اا ن ننتفاده از رویکردا ن ننای فاق ن نند
ع میننت ،تهتننرین ااننتفاده را از EVTبننه ع ننل بینناوری .نظریننۀ ارزش فننرین
تهت ننرین تخ ننین را از روی ننداداای ف ننرین بهدا ننت مددا نند .ای ننن نظری ننه ن این نندۀ
درانتترین رویکرداننا بنرای اننندازهگیری عنندماط ینان م جن د در رویننداداای
فرین اات.
70
لسنختام :نقل ق ل از بالبنظران
دی لد و ا کارانش در مقالهای که در اال 2000ان شار یافت ،مدن یسند:
• تهت ن ننرین اا ن ننتفاده از EVTدر م ن نندیریت ریس ن ننک م ن نناحت زم ن نناند لاب ن ننل
م دد ن ن د کن ننه عن ننالوه بن ننر نقن نناو ق ن ن ر از محن نندودیتاای آن نین ننز آگن نناه
بادننی .بننا رودندنندن اتهامننار EVT ،بن ه نظرینهای مفینند و اااسن
بنندل خ اانند دنند EVT .بننه مننا در جهننت را ن منح اننای ا ن ار از
میان دن الهاای فرین ت ا ع تجربد ک نک مدکنند ... .وحنت ن ایند از آن
بیشتر از آن ه که است ،انتظار دادته بادی .
71
72