Transcript SLIDES – Estatística – (Médias, mediana, moda
Estatística
Medidas de tendência central Média aritmética
As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, valores.
tenderá a estar no São medidas de tendência central:
meio
dos • Média aritmética • Média aritmética ponderada • Média geométrica • Mediana • Moda
Média aritmética é a razão entre a soma de todos os valores de determinada variável e o número total de valores.
x x 1 x 2 ...
x n n
Os valores seguintes referem-se em oito disciplinas do Ensino às notas obtidas por um aluno Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5 – 6,0 – 4,2 – 3,9 – 4,6 – 6,2 – 8,2 – 5,4
CALCULE
a média aritmética desses valores.
x 7,5 6 4,2 3,9 8 4,6 6,2 8,2 5,4 46 8 5 , 75
A média dos salários de quinze funcionários de uma loja de autopeças é R$ 790,00. Se forem contratados mais dois funcionários, com salários de R$ 855,00 e R$ 980,00, qual salários 15 790 será a nova média salarial da loja?
salários 790 15 11850 reais 11850 855 980 13685 reais ( nova som a) x 13685 17 805 reais
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a
média
da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe
empresas de maior
as
duas média anual.
As empresas que este investidor escolhe comprar são A) B) C) D) E) Balas W e Pizzaria Y. Chocolates X e Tecelagem Z. Pizzaria Y e Alfinetes V. Pizzaria Y e Chocolates X. Tecelagem Z e Alfinetes V.
A) B) C) D) E) Balas W e Pizzaria Y. Chocolates X e Tecelagem Z. Pizzaria Y e Alfinetes V. Pizzaria Y e Chocolates X. Tecelagem Z e Alfinetes V. V : 200 220 240 200 3 230 200 W : X : 250 3 210 215 3 220 210 225 Y : 230 230 230 3 Z : 160 210 245 3 230 205
18% 19% 21% 15% 19% 5 18 , 4 %
Estatística
Medidas de tendência central Média aritmética ponderada
Dado um conjunto de valores X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n , cada um com um respectivo peso p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n , a valores é dada por: média ponderada desses p x 1 p 1 x p 1 2 p 2 p 2 x p 3 3 p 3 ...
...
p n x n p n
Preço médio do quilo do peixe
M .
A .
3 5 9 3 5 , 67 M .
P .
3 18 18 5 10 10 6 9 6 M .
P .
54 50 54 34 4 , 65
Média de pontos – partida de futebol
Vitória – 3 pontos; empate – 1 ponto; derrota – nenhum ponto M .
P .
0 , 55 3 0 , 30 1 0 , 15 0 M .
P .
1 , 95 M .
P .
M .
P .
55 3 30 1 165 30 100 0 100 15 1 0 , 95
Estatística
Medidas de tendência central Média geométrica
Dado um conjunto de
n
valores X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n , a geométrica desses valores é dada por: média m g n X 1 X 2 X 3 ...
X n
Calcular a média geométrica dos valores 1, 2 e 4.
mg 3 1 2 4 3 8 2
Um retângulo tem lados com medidas 2 cm e 8 cm. Obtenha a medida do lado de um quadrado que possua a mesma área.
8 cm 2 8 4 16 2 cm
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões a = 2 cm, b = 3 cm e c = 4,5 cm. Obtenha a medida da aresta de um cubo que tenha o mesmo volume.
x 3 2 3 4 , 5 3 cm 2 cm x 3 x 3 27 4 , 5 cm x
Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu da seguinte forma: 25% no primeiro ano e, alavancada nos após uma negócios, 80% no segundo. Em média, quanto cresceu por ano?
C rescim ent o de 25% 1,25 Crescim ent o de 80% 1,80 mg mg 1 2 , , 25 25 1 , 80 1,50 representa um cresciment o médio de 50% por ano.
m g 1 , 5 1 , 50
Estatística
Medidas de tendência central Mediana
Dado um conjunto de valores ordenados, a mediana desses valores é dada • Pelo elemento central, no caso de um número
ímpar
de valores.
• Pela média aritmética entre os dois valores centrais, no caso de número
par
de valores.
Calcular a mediana de cada um dos conjuntos de dados
1.
{9, 3, 7, 5, 1}
2.
{4, 5, 10, 12, 8, 6}
1 1, .
3, 5, 7, 9 2 .
4, 5, 6, 8, 10, 12 6
8
7 2
1 .
R $ 73 , 10 2 .
R $ 81 , 60 3 .
R $ 82 , 00 4 .
R $ 83 , 00 5 .
R $ 84 , 00 6 .
R $ 84 , 60 7 .
R $ 85 , 30
Estatística
Medidas de tendência central Moda
Em um conjunto de dados,
MODA
é o valor que ocorre com maior frequência, isto é, o valor mais comum. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana.
• Bimodal: dois valores modais • Amodal: não possui moda • Multimodal: possui mais de duas modas
Dados referentes às numerações dos sapatos vendidos em uma loja em certo dia: {35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42}
33, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 39, 40, 42, 42, 43 Duas modas (bimodal): 35 e 36
Moda 1 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6 M ediana 2 4 2 3
Estatística
Medidas de dispersão Variância e desvio padrão
As medidas de dados dispersão servem para avaliar o quanto os são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Deste modo, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.
• Variância • Desvio padrão
Dado um conjunto de n dados (x 1 , x 2 , x 3 , ...
, x n ), cuja média aritmética é dada por x , a variância é dada por 2
(x
1
x )²
( x
2
x n )²
...
( x
n
x )²
E o desvio padrão é dado por
(x
1
x )²
( x
2
x )²
...
( x
n
x )²
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
• A variância é o quadrado do desvio padrão.
n
Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus três melhores saltos, em centímetros. Qual foi o atleta mais regular?
Med ( X ) 144 171 150 3 155 Med ( Y ) 146 170 152 3 156 Med ( Z ) 145 169 154 3 156
Med ( X ) 155 Med ( Y ) 156 Med ( Z ) 156 ( X ) 11 , 58 ( X ) ( X ) (144 155 )² ( 171 155 )² ( 150 155 )² 3 121 256 25 3 402 3 11 , 58 (-11 )² ( 16 )² ( 5 )² 3
Med ( X ) 155 Med ( Y ) 156 Med ( Z ) 156 ( ( X Y ) ) 11 10 , 58 , 20 ( Y ) ( X ) (146 156 )² ( 170 156 )² ( 152 156 )² 3 100 196 16 3 312 3 10 , 20 (-10 )² ( 14 )² ( 4 )² 3
Med ( X ) 155 Med ( Y ) 156 Med ( Z ) 156 ( ( ( X Y Z ) ) ) 11 10 9 , 58 , 20 , 90 ( Z ) ( X ) (145 156 )² ( 169 156 )² ( 154 156 )² 3 121 169 4 3 294 3 9 , 90 (-11 )² ( 13 )² ( 2 )² 3
Med ( X ) 155 Med ( Y ) 156 Med ( Z ) 156 ( X ) 11 , 58 ( Y ) 10 , 20 ( Z ) 9 , 90 Como o atleta
Z
teve o menor desvio padrão, isso significa que seus resultados oscilaram menos em relação à média, comprovando que é o atleta mais regular.