Estatística

Medidas de tendência central Média aritmética

As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, valores.

tenderá a estar no São medidas de tendência central:

meio

dos • Média aritmética • Média aritmética ponderada • Média geométrica • Mediana • Moda

Média aritmética é a razão entre a soma de todos os valores de determinada variável e o número total de valores.

x  x 1  x 2  ...

 x n n

Os valores seguintes referem-se em oito disciplinas do Ensino às notas obtidas por um aluno Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5 – 6,0 – 4,2 – 3,9 – 4,6 – 6,2 – 8,2 – 5,4

CALCULE

a média aritmética desses valores.

x  7,5  6  4,2  3,9  8 4,6  6,2  8,2  5,4  46  8 5 , 75

A média dos salários de quinze funcionários de uma loja de autopeças é R$ 790,00. Se forem contratados mais dois funcionários, com salários de R$ 855,00 e R$ 980,00, qual  salários 15  790   será a nova média salarial da loja?

salários  790  15  11850 reais 11850  855  980  13685 reais ( nova som a) x  13685 17  805 reais

A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a

média

da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe

empresas de maior

as

duas média anual.

As empresas que este investidor escolhe comprar são A) B) C) D) E) Balas W e Pizzaria Y. Chocolates X e Tecelagem Z. Pizzaria Y e Alfinetes V. Pizzaria Y e Chocolates X. Tecelagem Z e Alfinetes V.

A) B) C) D) E) Balas W e Pizzaria Y. Chocolates X e Tecelagem Z. Pizzaria Y e Alfinetes V. Pizzaria Y e Chocolates X. Tecelagem Z e Alfinetes V. V : 200  220  240 200  3 230  200 W : X : 250  3 210  215 3  220  210  225 Y : 230  230  230 3 Z : 160  210  245 3   230 205

18%  19%  21%  15%  19%  5 18 , 4 %

Estatística

Medidas de tendência central Média aritmética ponderada

Dado um conjunto de valores X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n , cada um com um respectivo peso p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n , a valores é dada por: média ponderada desses p  x 1  p 1  x p 1 2   p 2 p 2   x p 3 3   p 3 ...

  ...

p n  x n  p n

Preço médio do quilo do peixe

M .

A .

 3  5  9  3 5 , 67 M .

P .

 3  18 18  5  10  10   6 9  6 M .

P .

 54  50  54 34  4 , 65

Média de pontos – partida de futebol

Vitória – 3 pontos; empate – 1 ponto; derrota – nenhum ponto M .

P .

 0 , 55  3  0 , 30  1  0 , 15  0 M .

P .

 1 , 95 M .

P .

 M .

P .

 55  3  30  1  165  30 100  0 100  15 1  0 , 95

Estatística

Medidas de tendência central Média geométrica

Dado um conjunto de

n

valores X 1 , X 2 , X 3 , ..., X n , a geométrica desses valores é dada por: média m g  n X 1  X 2  X 3  ...

 X n

Calcular a média geométrica dos valores 1, 2 e 4.

mg  3 1  2  4  3 8  2

Um retângulo tem lados com medidas 2 cm e 8 cm. Obtenha a medida do lado de um quadrado que possua a mesma área.

8 cm    2  8       4 16 2 cm

Um paralelepípedo retângulo tem dimensões a = 2 cm, b = 3 cm e c = 4,5 cm. Obtenha a medida da aresta de um cubo que tenha o mesmo volume.

x  3 2  3  4 , 5 3 cm 2 cm  x  3  x  3 27 4 , 5 cm x

Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu da seguinte forma: 25% no primeiro ano e, alavancada nos após uma negócios, 80% no segundo. Em média, quanto cresceu por ano?

C rescim ent o de 25%  1,25 Crescim ent o de 80%  1,80 mg mg   1 2 , , 25 25  1 , 80 1,50 representa um cresciment o médio de 50% por ano.

m g  1 , 5  1 , 50

Estatística

Medidas de tendência central Mediana

Dado um conjunto de valores ordenados, a mediana desses valores é dada • Pelo elemento central, no caso de um número

ímpar

de valores.

• Pela média aritmética entre os dois valores centrais, no caso de número

par

de valores.

Calcular a mediana de cada um dos conjuntos de dados

1.

{9, 3, 7, 5, 1}

2.

{4, 5, 10, 12, 8, 6}

1 1, .

3, 5, 7, 9 2 .

4, 5, 6, 8, 10, 12 6



8



7 2

1 .

R $ 73 , 10 2 .

R $ 81 , 60 3 .

R $ 82 , 00 4 .

R $ 83 , 00 5 .

R $ 84 , 00 6 .

R $ 84 , 60 7 .

R $ 85 , 30

Estatística

Medidas de tendência central Moda

Em um conjunto de dados,

MODA

é o valor que ocorre com maior frequência, isto é, o valor mais comum. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana.

• Bimodal: dois valores modais • Amodal: não possui moda • Multimodal: possui mais de duas modas

Dados referentes às numerações dos sapatos vendidos em uma loja em certo dia: {35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42}

33, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 39, 40, 42, 42, 43 Duas modas (bimodal): 35 e 36

Moda  1 1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6 M ediana  2  4 2  3

Estatística

Medidas de dispersão Variância e desvio padrão

As medidas de dados dispersão servem para avaliar o quanto os são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Deste modo, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.

• Variância • Desvio padrão

Dado um conjunto de n dados (x 1 , x 2 , x 3 , ...

, x n ), cuja média aritmética é dada por x , a variância é dada por  2 

(x

1

x )²



( x

2 

x n )²



...



( x

n 

x )²

E o desvio padrão é dado por  

(x

1

x )²



( x

2 

x )²



...



( x

n 

x )²

• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

• A variância é o quadrado do desvio padrão.

n

Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus três melhores saltos, em centímetros. Qual foi o atleta mais regular?

Med ( X )  144  171  150 3  155 Med ( Y )  146  170  152 3  156 Med ( Z )  145  169  154 3  156

Med ( X )  155 Med ( Y )  156 Med ( Z )  156  ( X )  11 , 58  ( X )   ( X )  (144 155 )²  ( 171  155 )²  ( 150  155 )²  3 121  256  25 3  402 3  11 , 58 (-11 )²  ( 16 )²  (  5 )² 3

Med ( X )  155 Med ( Y )  156 Med ( Z )  156   ( ( X Y ) )   11 10 , 58 , 20  ( Y )   ( X )  (146 156 )²  ( 170  156 )²  ( 152  156 )²  3 100  196  16 3  312 3  10 , 20 (-10 )²  ( 14 )²  (  4 )² 3

Med ( X )  155 Med ( Y )  156 Med ( Z )  156   (  ( ( X Y Z ) ) )    11 10 9 , 58 , 20 , 90  ( Z )   ( X )  (145 156 )²  ( 169  156 )²  ( 154  156 )²  3 121  169  4 3  294 3  9 , 90 (-11 )²  ( 13 )²  (  2 )² 3

Med ( X )  155 Med ( Y )  156 Med ( Z )  156  ( X )  11 , 58  ( Y )  10 , 20  ( Z )  9 , 90 Como o atleta

Z

teve o menor desvio padrão, isso significa que seus resultados oscilaram menos em relação à média, comprovando que é o atleta mais regular.