Transcript MehTek 4

KINEMATIKA
U kinematici se opisuje strujanje tekućina bez analize sila koje
generiraju to strujanje. Pri tome nije bitno o kojoj se tekućini
konkretno radi (voda, zrak, ulje).
Obzirom da je usvojen koncept kontinuuma te da su realne
situacije strujanja vezane uz promjene parametara strujanja u
prostoru i vremenu, potrebno je pronaći i adekvatan
matematički način opisivanja takvog strujanja.
Fizikalne veličine (varijable, polja …) s kojima se opisuje
strujanje su skalari (tlak, gustoća, temperatura, koeficijenti
viskoznosti), vektori (brzina, ubrzanje, gradijent tlaka), tenzori
(tenzor naprezanja, tenzor brzine deformacija).
KINEMATIKA
  x 
Gradijent skalarnog
grad      y 


polja  je vektor:
  z 


Radijvektor položaja r, brzine v i ubrzanja a izraženi su u
Kartezijevom koordinatnom sustavu pomoću tri komponente:
x
 x t   u 
 u t 
x   y  v   y t    v  a   v t 
 

  


z
 z t   w 
 w t 
 

  


Ukupni (totalni) diferencijal na primjeru polja tlaka glasi:
p
p
p
p
dp 
dx 
dy  dz  dt
x
y
z
t
Stacionarnost procesa podrazumijeva   0
t
KINEMATIKA
U promatranju gibanja tekućine odnosno opisu strujanja
postoje dva različita pristupa, Lagrangeov i Eulerov.
Pri Lagrangeovom pristupu gibamo se zajedno s promatranim
(izdvojenim) djelićem tekućine te se prate ukupne promjene
kinematskih parametara tijekom vremena.
Pri Eulerovom pristupu opisuje se cijelo strujno polje
promatrano iz fiksne prostorne koordinate.
Za potrebe definiranja veze između Lagrangeovog i Eulerovog
opisa gibanja tekućine uvode se pojmovi substancijalne
(totalne, ukupne), prostorne (konvektivne) i vremenske
(lokalne) promjene.
KINEMATIKA
Zamislimo se u ulozi promatrača koji se kreće kroz prostorno i
vremenski varijabilno polje temperature
T(x,y,z,t).
Promatrač je iskusio promjenu temperature kroz neko
vremensko razdoblje, koja se označava kao ukupna,
substancijalna ili totalna DT/Dt (dT/dt) promjena u vremenu.
Isto je moguće izraziti separacijom ukupne promjene u
vremenu DT/Dt na sumu parcijalne promjene u vremenu
T/t (uz fiksiranu prostornu koordinatu) i parcijalne
promjene po prostoru T/s (u jednom vremenskom trenutku
- fiksirana vremenska koordinata).
DT
T
T
T
T

u
v
w
Dt
t
x
y
z
lokalna
konvektivna komponenta
KINEMATIKA
Kretanjem od prostorne koordinate 1 do 2 opažač će osjetiti
ukupnu razliku temperature dT uslijed promjene temperature
po prostoru T/s·ds te uslijed promjene temperature u
vremenu T/t·dt potrebnom da se dođe od pozicije 1 do
pozicije 2.
Takav pristup može se
primijeniti i na vektorska polja.
 ax 
 Du Dt 
Du 


a  ay 
 Dv Dt 
  Dt 

a 
 Dw Dt 
 z


Du u
u

 u u
 u grad u
Dt
t
t
 


KINEMATIKA
U mehanici tekućina se bavimo proučavanjem odnosa
naprezanja i brzine deformacija a ne naprezanja i deformacija,
kao što je to bio slučaj u mehanici krutog tijela.
Brzinama deformacija određuje se rata kojom se fluidni djelić
rotira, izdužuje (dilatira) i kutno deformira.
Promatramo djelić tekućine koji
se giba kroz cijev pod tlakom s
karakteristikom nejednolikog
strujanja (ubrzavanje) uslijed
smanjenja proticajnog presjeka.
Pri tome dolazi do izduženja djelića tekućine u smjeru
strujanja te sabijanja u smjeru okomitom na strujanje.
KINEMATIKA
Nastupile su tri vrste prostornih
promjena:
a)translacija,
b)rotacija,
c) deformacija (dilatacija, kutna deformacija)
Translatorni dio je lagano opisati temeljem vektora brzina
postavljenog u težište promatranog djelića tekućine (analogno
kao i kod krutog tijela).
Dio koji obuhvaća rotaciju i deformaciju opisuje se primjenom
tenzora gradijenta brzina.
Rata rotacije odgovara brzini vrtnje odnosno promjeni kuta u
vremenu d /dt.
KINEMATIKA
KINEMATIKA
U vremenskom inkrementu t djelić tekućine se zaokrene za
srednju vrijednost kuteva X i Y :
Δy v
1 v
αx 

 Δx  Δt 

 Δt
Δx x
Δx x
Δy
Δx
u
1
u
αy 

 Δy  Δt 

 Δt
Δy
y
Δy
y
Δx
Neto rata rotacije oko z osi izražava se kao algebarska srednja
vrijednost obje rate kutne deformacije i označava se kao
kutna brzina
1  w v 
ωx  

(analogno za preostala dva smjera):
2  y z 
d  αx  αy  1  v u 
1  u w 
ωz  
 



ωy  

dt  2  2  x y 
2  z x 
KINEMATIKA
Rata deformacije sačinjena je od više komponenti: volumne
dilatacije (kod stišljivih tekućina) i kutne deformacije.
Pri analizi kutne deformacije koristi se isti pristup kao i u
slučaju rotacije, samo što se posebnu pažnju mora dati
predznaku kuta. Rata kutne deformacije u x-y ravnini je:
1  u v 
e12  

2  y x 
1  v i v j
eij  


2  x j xi

 1
T
  v  v
 2

KINEMATIKA
Može se pokazati da rotacija i deformacija predstavljaju
komponente tenzora gradijenta brzina.
 u u
 x

 v
grad v  v  
x

 w
 x

y
v
y
w
y
u 
z 

v 
z 

w 
z 
Rata deformacije opisana je simetričnim dijelom tenzora, pri
čemu članovi dijagonale predstavljaju volumnu dilataciju, a
izvandijagonalni članovi kutnu deformaciju.
Suma dijagonalnih članova definira ukupnu volumnu dilataciju
(divergencija), koja je različita od 0 samo u slučaju
promatranja stišljive tekućine.
KINEMATIKA
U 2D problemu raspisani članovi simetričnog dijela tenzora
(dilatacija i kutna deformacija) glase:

T
1
v  v
2


u

x


 1  v u 

 

2

x

y

 
1  u v  



2  y x  

v

y

Antisimetrični dio tenzora odnosi se na rotaciju i sačinjen je
od komponenti vektora rotacije (za 2D slučaj):

T
1
v  v
2


0


 1  v u 

 

 2  x y 
Odnosno za 3D slučaj:
 0

 ωz
 ω
 y
1  u v  



2  y x    0

  ωz
0


ωz
0
ωx
ωy 

ωx 
0 
ωz 
0 
KINEMATIKA
Divergencijom se opisuje rata promjene volumena djelića
tekućine. Ukoliko se djelić tekućine izdužuje u npr. x-smjeru
dolazi do povećanja njegovog volumena:
u
ΔVol  Δx
Δt  Δy  Δz
x
Isto vrijedi i za preostala dva smjera y i z pa je u 3D slučaju
rata promjene volumena istovjetna divergenciji vektora
brzina:
Vol
1
u u w
div v 




t Δx  Δy  Δz x y z

Za nestišljivu tekućinu vrijedi:

div v  0
KINEMATIKA
Trajektorija – krivulja koju bi ocrtavala pojedina čestica pri
svome gibanju (Lagrangeov pojam).
Trag – krivulja nastala povezivanjem trenutnog položaja niza
čestica koje su prošle kroz istu točku “izvorišta”.
Strujnica – krivulja na koju su u svakoj točci i u svakom
vremenskom trenutku vektori brzina tangente (Eulerov
pojam).
Pri stacionarnom strujanju sve tri krivulje su istovjetne.
Strujna cijev sačinjena je od strujnica a kroz njene “stijenke”
(rubne strujnice po plaštu strujne cijevi) nema proticanja.
KINEMATIKA
KINEMATIKA
Protok (volumni) je umnožak površine protjecajnog presjeka i
projekcije srednje brzine na vanjsku normalu protjecajne
površine. Maseni protok dobiva se množenjem volumnog
protoka s gustoćom.
Q

 A
v  cos  dA m3 / s 
3

Qm    Q kg / m 
Primjenom zakona o očuvanju mase na protjecanje nestišljive
tekućine kroz konzervativnu cijev dobiva se jednadžba
kontinuiteta, zapisana u jednostavnoj formi:
Q1  Q2  v1A1  v 2 A2
KINEMATIKA
Ideja strujne funkcije je uvedena u slučaju
dvodimenzionalnog strujanja nestišljive tekućine. Definiranje
brzine strujanja temeljem komponenti u x i y smjeru (u,v) te
primjena jednadžbe kontinuiteta daje:

u
y

v 
x

div v  0



0
xy xy
2
2
Iz definicije strujnice vrijedi:
dx u





vdx  udy 
dx 
dy
dx 
dy  0
dy v
x
y
x
y
Strujna funkcija uzduž
jedne strujnice poprima
konstantnu vrijednost.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
Promjene u poljima fizikalnih veličina poput polja brzine
odvijaju se kroz mehanizam pronosa.
Matematička interpretacija mehanizma pronosa dana je sa
transportnim jednadžbama koje predstavljaju zakon o
očuvanju količine polja.
Ukoliko promatrana fizikalna veličina ne ovisi o masi
promatrane tekućine naziva se intenzivna (skalarna polja tlaka
i temperatura ili vektorska polja brzine i ubrzanje).
Fizikalna veličina koja je proporcionalna masi nekog prostorno
ograničenog sustava tekućine naziva se ekstenzivna (masa,
količina gibanja, energija i entropija).
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
Analiza se uobičajeno provodi vezano na volumen (ne na
masu), te se uvodi gustoća transportne veličine  = dJ/dV
(transportna veličina / volumen; npr. transportna veličina je
masa mCO2 u volumenu V a pripadna gustoća je koncentracija
izražena s kg/m3.
Integracijom po zatvorenom (m = konst.) i u vremenu
varijabilnom volumenu (V(t) – tzv. materijalni volumen) dobiva
se:
J ( t )    dV
V(t )
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
Vremenska i prostorna raspodjela količine pojedinog polja
(koncentracije, temperature, tlaka, brzine ...) definira se
temeljem zakona o očuvanju količine polja (mase,
unutrašnje energije, količine gibanja) u obliku totalne
vremenske promjene dJ/dt.
U trenutku t materijalni volumen definiran je sa V(t).
U trenutku t+ t volumen prelazi u V(t+) = V(t) + V(t+) =
V+V.
Analogno, promjena karakteristične gustoće  (t) prelazi u 
(t+ t).
Uz granične vrijednosti t 0 iščezava volumna promjena
V 0.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
dJ
J (t   t )  J (t )
 lim


t

0
dt
t
1
 lim
 t 0  t



   (t   t )dV    (t   t ) dV     (t )dV 
 V

V
 V

1 
 lim
  (t   t )   (t ) dV    (t   t ) dV 
 t 0  t 
V
V

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
Totalna ili supstancijalna promjena karakteristike volumena J(t)
jednaka je:
dJ d


 dV  
dV    (v  d A)

dt dt V ( t )
t
V(t )
A( t )
V(t) i A(t) ovisni su samo o vremenu t (ne i o vremenu t+t).
Može se preći na prostorno fiksiran volumen V(t) = V = konst.
sa prostorno fiksiranim zatvorenim oplošjem A(t) = A = konst.
Time se pojam materijalnog volumena V(t) zamjenjuje sa
pojmom kontrolnog volumena (V) a pojam oplošja (površine)
materijalnog volumena A(t) sa pojmom kontrolne površine (A).
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
dJ

 
dV    ( v  dA )
dt ( V ) t
(A)
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – jednadžbe pronosa
Ukoliko je lokalna komponenta jednaka nuli tečenje je
stacionarno. Ukoliko je konvektivna komponenta (promjena po
prostoru) jednaka nuli tečenje je jednoliko.
Upotrebom GGO teorema:
 a  d A   div adV
A
iz izraza:
dJ

 
dV    (v  d A)
dt ( V ) t
( A)
dobiva se:
dJ
 

    div( v ) dV
dt ( V )  t

V