Transcript MehTek 5-8

ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
U vremenskom trenutku t u materijalnom volumenu V(t) nalazi
se određena količina tekućine izražena masom m.
Uvjet kontinuiteta: u volumenu V(t) nema “praznog” prostora.
Zakon očuvanja mase: u materijalnom volumenu tekućine
ograničenom sa oplošjem A(t) tekućina ne može nestajati ni
nastajati
Integralna formulacija zakona
dm
 0 ; m (t )    d V
očuvanja mase odnosno
dt
V(t)
jednadžba kontinuiteta
Gustoća u unutrašnjosti kontrolnog volumena  = (t, r) može
biti promjenljiva u vremenu i u prostoru.
Prelaskom sa materijalnog volumena na kontrolni volumen,
pripadna kontrolna površina može se podijeliti na “slobodni”
dio A i dio na kontaktu s krutim tijelom S.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
Primjenom transportnog teorema:
Karakteristika volumena J = m
Karakteristična gustoća  = dJ/dV = dm/dV = 
dm
dt


(V )

t
dV 

(A)
 v d A 

(S )
 v dS
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
Ukupna promjena mase u vremenu sastoji se od lokalne
promjene (prvi član sa lijeve strane) i različit je od 0 u slučaju
nestacionarnog tečenja.
Preostali dio desne strane su konvektivni članovi koji
predstavljaju tok (eng: flux) mase kroz odabrane kontrolne
površine A i S a ovisan o brzini okomitoj na površinu vn i veličini
……
d A i dS .
Samo normalna komponenta brzine vn pronosi neku količinu
tekućine, dok tangencijalna komponenta brzine vt utječe samo
na deformaciju djelića tekućine unutar kontrolnog volumena.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
Ukoliko je vektor brzina istog smjera kao i vanjska normala
kontrolne površine d A i d S onda su v d A i v d S pozitivni.
Vektor vanjske normale kontrolne površine d S uvijek gleda u
smjeru krutog tijela.
Kroz površinu A' proticati će jednaka količina tekućine u smislu
izlaza iz i ulaza u kontrolni volumen kroz nju.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
Upotrebom GGO teorema: a  d A   d iv a d V
A
dm
iz izraza:
dobiva se:

dt


(V )
t
dV 

V

 v d A 
( A)
 v dS
(S )
 

 
 d iv (  v ) d V
 t

dt


(V )
dm
Primjenom prve leme variacionog računa (vrijednost integrala
= 0 samo ukoliko je podintegralna funkcija = 0) dobiva se
diferencijalna forma jednadžbe kontinuiteta:

t

t
 d iv (  v ) 

 ( u )
x


t
 v g ra d    d iv v  0
 ( v )
y

 ( w )
z
0
Vrijedi za stišljive i nestišljive tekućine.
ZAKON OČUVANJA KOLIČINE POLJA – zakon očuvanja mase
Ukoliko je stacionarno tečenje: lokalna promjena /t = 0.
Ukoliko je tekućina homogene: v grad  = 0.
Budući da je   0, slijedi d iv .v = 0.
Zaključno, za slučaj trodimenzionalnog stacionarnog tečenja
nestišljive tekućine:
u
x

v
y

w
z
0
Za slučaj nestacionarnog tečenja stišljive tekućine pri brzinama
manjim od brzine zvuka (vodni udar):

w 
 u v



0
t
x
x 
 x
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Analizira se gibanje tekućine pod djelovanjem sila i
naprezanja.
Izvodi se opća jednadžba kojom se povezuje ubrzanje, masene
sile i djelujuća naprezanja za diferencijalni element tekućine.
Tekućina se promatra kao kontinuum.
Uvođenjem konstitutivnih jednadžbi za odnos između brzine
deformacija i stanja naprezanja dobivaju se Navier-Stokesove
jednadžbe.
Temelj izvoda je II Newtonov aksiom:
dmv
dt

F
i
Promatra se “bilanca” vanjskih sila na djelić tekućine.
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Ukupna promjena (brzina promjene) količine gibanja u
vremenu definirana je kao:
dmv
dt
m
dv
dt
Dv
 V 
Dt
m a sa
u b rza n je
Dv
Dt

v
t
u
v
x
v
v
y
w
v
z
Masene sile poput gravitacije mogu se kvantificirati
gradijentom potencijala (npr. gravitacioni potencijal).
FG      V    g z    V
Povšinske sile su kontaktne sile koje se mogu razložiti na
normalnu i posmičnu komponentu.
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Djelovane sila izražava se temeljem površinskih naprezanja.
n 
d Fn
dA
t 
d Ft
dA
U kartezijevom sustavu pojavljuje se simetrični tenzor
naprezanja s 3 člana normalnih naprezanja (dijagonalni
članovi) i 6 članova tangencijalnog naprezanja.
  11

   21


 31
 12
 13 
 22
 23
 32
 33




KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
U analizi dvodimenzionalnog problema tenzor naprezanja
poprima oblik:
 

11

  21
12

 22 
Razvojem Taylorovog reda s obuhvatom samo prvog člana (za
x smjer) dobiva se jednakost:
d x   11 
d x   11 


 Fx    11 
 d yd z    1 1 
 d yd z 
2 x 
2 x 




d y   21 
d y   21 
   21 
 d xd z    2 1 
 d xd z 
2 y 
2 y 



 11
x
d xd yd z 
 21
y
d xd yd z
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Uvrštavanjem u II Newtonov aksiom (zakon očuvanja količine
gibanja) dobiva se za x smjer:
   11   21
V


Dt
y
 x
Du

 V

   11   21 




Dt

x

y


Du

Odnosno u vektorskoj formi za 3D problem,

ili po komponentama,

Du

Dv

Dw
Dt
Dt
Dt


Dv
Dt
 11
x
 12
x
  g  


 g 
 21
y
 22
y
 13
x



 31
z
 32
z
 23
y

 33
z
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Problem je sadržan u činjenici da za rješenje 9 nepoznanica
(tri komponente brzina i 6 komponenti naprezanja) na
raspolaganju imamo samo 4 jednadžbe (3 za količinu gibanja i
1 jednadžba kontinuiteta).
Konstitutivne jednadžbe izražavaju naprezanja u funkciji
brzina (točnije brzine deformacija).
Tenzor naprezanja sadrži dva dijela. Jedan je vezan uz tlak p a
drugi uz viskozna naprezanja ().
 11   p   11
 22   p   22
 33   p   33
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Tlak p predstavlja izotropna normalna naprezanja neovisna o
brzini ili viskoznosti.
Viskozna naprezanja  u Newtonovim tekućinama su linearno
proporcionalna brzini deformacije i viskoznosti (odnosno
elementima ei,j simetričnog dijela gradijentnog tenzora
brzina):
v j
1  v i
e ij  

2   x j
x i



Upotrebom dinamičkog koeficijenta viskoznosti  za
konstantu proporcionalnosti tenzor viskoznih naprezanja u
kompaktnoj formi:
 ij  2  e ij
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Za Newtonove nestišljive tekućine tenzor ukupnog
naprezanja definiran je članovima:
 ij   p ij  2  e ij
Primjerice:
 11   p  2 
u
x
 23
 v
w 
 



z

y


Uvođenjem konstitutivnih jednadžbi u II Newtonov aksiom
(zakon očuvanja količine gibanja) dobiva se tzv. NavierStokesova jednadžba:


T



   g    p  I   v  v


Dt
Dv
KINETIKA (DINAMIKA) - ZOKG
Zajedno s jednadžbom kontinuiteta dobiven je “zatvoren”
sustav pogodan za opis strujanja Newtonove nestišljive
tekućine (4 jednadžbe i 4 nepoznanice, 3 komponente brzine i
tlak):
x sm je r:
2
2
  2u
 u
 u
u
v
w
 
 


2
2
2 
t
x
y
z
 x

x

y

z


u
u
u
u
1 p
y sm je r:
2
2
  2v
 v
 v 
u
v
w
 
 


2
2
2 
t
x
y
z
 y

x

y

z


v
v
v
v
1 p
z sm je r:
2
2
  2w
 w
 w 
u
v
w
 
 g 


2
2
2 
t
x
y
z
 z

x

y

z


w
w
w
w
1 p
DINAMIKA – Reynolds za turbulentno strujanje
Turbulentni režim tečenja pojavljuje se u najvećem broju
inženjerskih problema.
Mjerenje brzina u fiksnoj točki cijevi kružnog proticajnog
profila u kojoj se odvija tečenje pod tlakom pokazuje sljedeće
rezultate:
1 - statistički stacionarno
turbulentno tečenje pri
statistički stacionarnom
tlaku
2 - statistički nestacionarno
turbulentno tečenja pri
statistički nestacionarnom
tlaku.
DINAMIKA – Reynolds za turbulentno strujanje
Stvarna (trenutna) vrijednost brzine ili tlaka prikazuje sa
sumom statistički dobivene srednje vrijednosti promatranog
polja (brzine, tlaka, temperature) i u vremenu fluktuirajuće
komponente promatranog polja:
v  v v
T T T'
p  p  p'
E  E  E'
E'  0
Srednja vrijednost fluktuirajuće komponente promatranog
polja u periodu osrednjavanja jednaka je nuli.
Duljina perioda osrednjavanja ovisi o pojavi koja se analizira.
Navedeni pristup opisu turbulencije je stohastičke prirode
budući se strujanje promatra kao stohastički proces sa
slučajnom varijablom E.
U nastavku se komentiraju samo slučajevi turbulentnog
strujanja homogene tekućine.
DINAMIKA – Reynolds za turbulentno strujanje
Jednadžba kontinuiteta za turbulentno tečenje homogene
nestišljive tekućine ostaje istog oblika bez obzira da li se
primjenjuje na trenutnu, osrednjenu ili fluktuirajuću brzinu.
u
x

v
y

w
z
u
0
x

v
y

w
z
0
u '
x

v '
y

w '
z
0
Nakon nekoliko koraka algebarske manipulacije i uz
zanemarenje članova višeg reda dobiva se Reynolsova
jedanadžba:  u  u  u  v  u  w  u    u ' u '   v ' v '   w ' w '  
t
x
y
z


2
2
 2u
 u
 u
 

 


2
2
2 
x
 x

x

y

z


uB
1 p
x
y
z


(za x-komponentu)
DINAMIKA – Reynolds za turbulentno strujanje
Reynoldsova dinamička jednadžba izvedena je iz Navier-Stokes
jednadžbe, zamjenom trenutnih vrijednosti brzine i tlaka s
sumom osrednjenih i fluktuirajućih komponenti.
Reynoldsove jednadžbe i Navier-Stokesove jednadžbe su
slične.
Na lijevoj strani u Reynoldsovim jednadžbama pojavljuju se
novi članovi koji predstavljaju učešće fluktuirajuće komponente
u ukupnoj promjeni količine gibanja u vremenu.
Premještanjem tih članova na desnu stranu jednadžbe, sa
lijeve strane ostaje samo promjena količine osrednjenog
gibanja u vremenu.
DINAMIKA – Reynolds za turbulentno strujanje
u
t
u
u
x
v
u
y
w
u
z
 
uB
x

1 p
 x

2
2
 2u
 u
 u   u ' u '
u ' v '
u ' w ' 
 






2
2
2 
y
z   x
y
z 
 x
Na desnoj strani sada osim «stvarnih» osrednjenih volumnih
sila (npr. gravitacije) i površinskih sila (tlaka i viskoznosti)
nalazimo i dodatnu «negativnu virtualnu» silu povezana sa
«virtualnim» naprezanjima.
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje
Strujanje realne tekućine oko krutog tijela ili uzduž njegovih
krutih granica uzrokuje djelovanje sila na to tijelo.
Te sile su otpori strujanju tekućine i dijele se na dvije
komponente:
Otpori trenja uslijed tangencijalnih naprezanja (djeluju uzduž
kontaktne površine tekućine i krutog tijela)
Otpor oblika uslijed normalnih naprezanja (djeluju okomito na
kontaktne površine)
Sada se analiziraju situacije strujanja između dvije međusobno
beskonačno široke i paralelne ploče.
U prvom slučaju gornja ploča se pomiče konstantnom brzinom
VB te nema uzdužnog gradijent tlaka –dp/ds = 0 (Couette
strujanje).
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje
Raspodjela tangencijalnih naprezanja i brzine dobiva se
temeljem Navier –Stokesove jednadžbe za jednoliko i
stacionarno strujanje te primjenom zakona o očuvanju količine
gibanja direktno na kontrolni volumen.

dp
ds
sy 
d
y s  0
dy
Obzirom da je –dp/ds = 0 (Couette-ovo strujanje) dobiva se
jednakost d /dy = 0
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje
Pri laminarnom strujanju Newton-ove tekućine posmična
naprezanja su definirana linearnim odnosom.
Uz rubne uvjete na kontaktu gornje i donje ploče sa tekućinom
y = 0  u = 0 ; y = B  u = VB te nakon integracije dobiva se
linearni profil brzina i konstantna vrijednost posmičnog
naprezanja:
u =VB
τ 0 =μ
y
B
VB
B
U drugom slučaju obje ploče su nepomične i položene pod
kutem  u odnosu na horizontalu te postoji uzdužni gradijent
tlaka –dp/ds  0 (Poiseuille strujanje).
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje
Primjenom zakona o očuvanju količine gibanja na kontrolni
volumen dobiva se jednadžba:

dp
sy 
ds
d
dy
 s  y   g  s  y sin   0
Iz geometrijskog odnosa sin = - dz/ds slijedi jednakost:
d
dy

d
ds
(p   g z )
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE - jednoliko laminarno strujanje
Desna strana jednadžbe predstavlja gradijent piezometarske
linije s oznakom GP a upotrebom Newton-ovog zakona  = 
(du/dy):
GP = -gIP =  (d2u/dy2)
Uz rubne uvjete na kontaktu gornje i donje ploče sa tekućinom
y = 0 ; y = B  u = 0 te nakon integracije dobiva se parabolični
profil brzina i linearna raspodjela posmičnih naprezanja:
u 
G P
2
  G P (
(B y  y )
2
B
 y)
2
Maksimalna brzina je u osi (y = B/2) umax = -GPB2/8 a srednja
brzina iznosi V=2/3*umax
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Strujanje u graničnom sloju je nejednoliko i razvija se uzduž
smjera strujanja.
Granični sloj se nalazi između krute granice i slobodnog toka.
Strujanje u graničnom sloju obilježeno je karakteristikama
realne-viskozne tekućine dok se područje izvan graničnog sloja
(slobodni tok) može shvatiti i kao bezviskozno odnosno
strujanje idealne tekućine.
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Analizira se slučaj ravne i tanke ploče u mirovanju te tekućine
sa brzinom pristrujavanja U0.
Razvija se granični sloj između ploče i područja u kojem je
profil brzina još uvijek neporemećen (slobodni tok).
U području graničnog sloja brzina strujanja je u funkciji
vertikalne udaljenosti od krute ploče u(y).
Debljina graničnog sloja  se povećava uzduž ploče
u()=0,99U0.
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
U graničnom sloju moguća je pojava laminarnog i turbulentnog
strujanja.
Na početku ploče pojavljuje se laminarni granični sloj a u
nastavku strujanja inicira se nestabilnost i turbulencija.
Između zone laminarnog i turbulemntnog strujanja pojavljuje
se i dionica tranzicije.
Za karakterizaciju graničnog sloja definira se i lokalni Reynoldsov broj temeljem udaljenosti od početka ploče Rex = U0x /.
Gradijent tlaka na području vanjskog toka je dp/dx = 0.
Debljina graničnog sloja je vrlo mala  tlak u GS je konstantan.
Debljina graničnog sloja ovisi o  = (x, U0, , ) odnosno  =
(t,).
x
t 
Iz uvjeta dimenzionalne homogenosti: 
U0
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Bezdimenzionalni profil brzina u laminarnom graničnom sloju
(za Rex< 500 000) prema Blasius (1905).
  5 .0
x
U0
Posmično naprezanje na kontaktu sa krutom pločom je
izvedeno direktno iz gradijenta brzina:
0  
du
dy
 0, 332
U0
x
1/ 2
Rex
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Nakon tranzicije nastupa turbulentni granični sloj koji ima
bitno složeniju strukturu.
Veći dio graničnog sloja sačinjen je od turbulentne zone sa
vrtlozima i fluktuacijom parametara strujanja.
U neposrednoj blizini zida fluktuacije su prigušene te
prevladavaju laminarni uvjeti strujanja (viskozni podsloj).
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
U najvećem dijelu graničnog sloja pojavljuje se konstantno
posmično naprezanje 0.
U blizini slobodnog toka dolazi do naglijeg pada posmičnih
naprezanja prema vrijednosti 0.
Uvodi se pojam „brzinskog naprezanja“ izraženog sa: u *

U području viskoznog podsloja odvija se čisto laminarno
strujanje s linearnim profilom brzina u = (0 /) y.
U turbulentnom području graničnog sloja izmjena količine
gibanja se ostvaruje uglavnom kroz djelovanje vrtloga
(fluktuacije u trenutnim profilima brzina).
0

STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Detaljnijom analizom dobiva se logaritamski zakon raspodjele
brzina:
 - Karmanova konstanta = 0,4
u
1
 ln y  C
C - konstanta integracije u funkciji rubnih uvjeta
u

*
Vrijednosti konstante C razlikuju se po karakterističnim
područjima unutar turbulentne zone graničnog sloja:
Za unutarnju turbulentnu zonu (zona sa utjecajem viskoznosti):
u
u*
 2 , 5ln
y
l
 5,5
30 < y / l < 500
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
Prijelaz iz linearnog zakona važećeg za viskozni podsloj u
logaritamski zakon odvija se u prelaznom području 5 < y / l <
30
Za vanjsku turbulentnu zonu (zona bez utjecaja viskoznosti):
U0  u
  2 , 5ln
u*
y

y / l > 500
Za praktičnu upotrebu često se koristi jednostavniji izraz za
profil brzina u širem rasponu Re brojeva:
u
U0
y 
 
 
1/ 7
85% graničnog sloja sadržano je u
vanjskoj turbulentnoj zoni
STRUJANJE TEKUĆINE UZ KRUTE GRANICE – granični sloj
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA
Koristan alat u inženjerskim zadaćama određivanja sila na
tekućinu u kontrolnom volumenu, bez da su poznati detalji o
polju strujanja unutar samog kontrolnog volumena.
Izvodi se integracija Navier-Stokes jednadžbe na zatvorenom
kontrolnom volumenu (sapnica) s fokusom na iznalažanje
rezultantnih sila, a ne pojedinačnih naprezanja (tlak, viskozna
naprezanja).
Dv
  Dt
KV


t
  vd V    v  v  n d A   F
i
KV
KP
KV  ko n tro ln i vo lu m e n
KP  ko n tro ln a p o vršin a
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA
Odredite silu kojom voda djeluje na poluotvorenu
ustavu po metru širine ustave ispred koje teče
količina Q. Strujanje je stacionarno, ρ=const., trenje
zanemarujemo.
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA
n
 dt   v  dV   F
d
i
i 1
V

  t   v  dV     v  v  n  dA    v  dQ   F
V
A
i
A
0
   v  v  n  dA  P
1
 P2  F
A
A  A1  A2  A3  A4  A5  A6
  v
1
A1
  v
A3
 n  v 1  dA1    v 1  n  v 1  dA1     v 1  dQ     Q  v 1
A1
2
 n  v 2  dA3    v 2
A1
 n v
A3
2
 dA3    v 2
 dQ    Q  v
A3
2
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA
uočim o:
       0
A2
uočim o:
A4
A5
zbog v  n  0
A6
   v  v  n  dA   Q v
2
  Q v1
A

F  P 1  P 2   Q v1  v 2
2
P1   g
h1
,
2
v1 
Q

2
P2   g
,
h1
h2
2
dobivam o:
 1
1 
F 
h  h   Q   
2
 h1 h 2 
g
2
1
2
2
2
,
v2 
Q
h2
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA
Odredite silu tekućine na savinutu cijev prema skici.
Strujanje je stacionarno, nestlačiva idealna tekućina.
PRIMJENA ZAKONA OČUVANJA KOLIČINE GIBANJA

  dV  v  0

t
V
  const .
ostaje:
  v  v  n  dA   F
A




 v1  A1 v1   v 2  A2 v 2   p1 A1  p 2 A2  G  P
Q
Q
 p1 A1   Q v1  p 2 A 2   Q v 2  G  P  0
R  P
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA- IDEALNA TEKUĆINA
Koristan alat u inženjerskim zadaćama određivanja tlakova i
srednjih brzina. Predstavlja jednadžbu bilance energije
položaja i tlaka te kinetičke energije. U slučaju primjene BJ za
idealnu tekućinu usvaja se pretpostavka o beviskoznosti,
bezvrtložnosti i stacionarnosti.
Usvajanjem bezviskoznosti Navier-Stokes jednadžba
transformira se u Eulerovu jednadžbu:

Dv
Dt

  p    g  z

Za izvod Bernoullijeve jednadžbe poslužiti će nam Eulerova
jednadžba za z komponentu:
Dw
Dt
u
w
x
v
w
y
w
w
z
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA- IDEALNA TEKUĆINA
 w
u 
u
v 
v
w
 w
u
v
w
u

v

w

u
v
x
y
z
z 
z
z 
z
z
 x
 y
w
w
w
  u  2 y   v  2 x   u
  u  2 y   v  2 x  
  u  2 y   v  2 x  
u
v
z
1 u u
2 z
1 
2 z


v
w
z
1  vv
2 z
w
z

u v w
2
2
k

1 w w
z
2
2


2
U slučaju bezvrtložnog strujanja iščezavaju članovi koji sadrže
 pa se za w komponentu strujanja nestišljive tekućine može
pisati:
 1 2
1 p g z

 k  
z  2
 z
z


 1 2 p
 gz   0
 k 
z  2


B e rn o u llije v a fu n k cija
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA- IDEALNA TEKUĆINA
Bernoullijeva funkcija je konstantna za z smjer, te uzduž
strujnice i u smjeru okomito na nju:

 1 2 p
 gz   0
 k 
s  2


1
2
k 
2
p

 g z  ko n st .
Bernoullijevom jednadžbom omogućeno je praćenje i
usporedba različitih stanja strujanja uzduž strujnice te
procjena promjene stanja strujanja.
v
2
2g
z
p
g
 ko n st .  E
z (energija položaja) + p/g (energija tlaka) = PL
PL + v2/2g (kinetička energija) = EL
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
Nema slobodnog vodnog lica (nestišljiva Newtonova
tekućina). Analiziramo samo stacionarna stanja.
Geometrija cjevovoda definirana je promjerom cijevi D i
duljinom cijevi L.
Usvaja se pretpostavka L>>D. Stoga je zanemaren utjecaj
“početne” dionice cijevi u kojem se poprečni profil brzina
strujanja tek “razvija” do svog konačnog oblika.
Naprezanja (trenje) koje se
neminovno pojavljuje na
kontaktu s krutom stjenkom
može se definirati izrazom:
W  
u
r
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
NaprezanjeW potrebno je “svladati” u cilju održanja gibanje
tekućine kroz cijev sustava.
Želimo odrediti i raspodjelu naprezanja u poprečnom presjeku
cijevi te empiričke odnose između tih naprezanja i brzina.
Raspodjela naprezanja definirana je linearnim zakonom
promjene (okomito na os cijevi):
r  p
z 
   
 g

2  s
s 
W  
R 
2 s
p 
 gz 
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
Pri jednolikom strujanju (du/ds=0 ; konzervativna cijev
konstantnog proticajnog presjeka) ne mijenja se
naprezanjeW u smjeru strujanja. Stoga se ne mijenjaju ni
gradijenti PL i EL.
v
2
1
2g

p1
g
2

v2
2g

 z1 
p2
g
 z 2   E L IN
Razina energetske linije na poziciji 2 je manja za ELIN (linijski
gubitak mehaničke energije) u odnosu na poziciju 1, neovisno
o samoj poziciji EL ili PL (iznad ili ispod osi cijevi).
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
Ukoliko se PL na nekoj dionici cjevovoda nalazi ispod osi cijevi,
znači da su tlakovi na toj dionici manji od atmosferskog (manji
od relativne nule - podtlak).
Pojava podtlaka ne utječe na pad EL i PL, odnosno na samu
“propusnost” cijevi.
Promjenom duljine ili promjera cijevi mijenja se i protokpropusnost (pri istim rubnim uvjetima (razine vode u
rezervoarima).
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
Vrijednost linijskog gubitaka ELIN za cijev kružnog profila s
promjerom D i duljine L može se odrediti temeljem DarcyWeisbach koeficijenta otpora (trenja) .
 E L IN   
L
D

v
2
2g
Odnos koeficijenta otpora  i naprezanja uz samu stjenku
cijeviw definiran je izrazom:
W 
 v
4
2
2
Koeficijent  je u općem slučaju funkcija Re (Reynoldsov broj i
/D (relativna hrapavost).
U laminarnom strujanju  = f (Re)= 64/Re (za Re<2300)
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
U turbulentnom režimu (Re>2300) nema analitičkog rješenja
Navier-Stokes jednadžbe te se za  koriste eksperimentalni
podaci (Moodyjev dijagram).
U prelaznom režimu  = f (Re, /D) dok je u turbulentnohrapavom režimu  = f (/D).
Osim linijskih gubitaka pojavljuju se i lokalni gubici ELOK
mehaničke energije, inducirani promjenom geometrije toka
odnosno krutih granica (suženja, proširenja, račve, zatvarači).
Kao i u slučaju linijskih gubitaka, lokalni gubici se
proračunavaju vezano na kinetičku energiju (član v2/2g).
vrijednosti koeficijenata lokalnih gubitaka dobivaju se iz
eksperimenata.
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – otpor trenja
Za praktičnu upotrebu eksplicitni
izraz prema Sweme i Jain (1976):
 
0, 25

5, 74
 ks
lo
g


0 ,9

3
,
7
D
R
e





2
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
Primjeri za lokalne gubitke iz prethodnih predavanja
STRUJANJE POD TLAKOM U KRUŽNIM CIJEVIMA
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
Pumpama i turbinama se u tok unosi ili iz
toka ekstrahira mehanička energija.
Na poziciji ugrađenih
pumpi ili turbina
pojavljuje se lokalni
skok (pumpa) odnosno
pad (turbina) u
energetskoj liniji.
Osnovni parametri u
proračunu pumpe su
visina dizanja pumpe
HP i protok kroz
pumpu QP koji se želi
održati u sustavu.
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
Primjena Bernoullijeve jednadžbe za strujanje realne tekućine
u sustavu pod tlakom daje rješenje za vrijednost dizanja
pumpe HP:
H A  (zd  z l ) 
razlika geodetskih
razina slobodnih
vodnih lica u lijevoj
i desnoj komori
pd  pl
g
vd  vl
2

2
2g
razlika tlačne
razlika kinetičke
energije u lijevoj energije u lijevoj
i desnoj komori i desnoj komori
(veliki spremnici
-brzine imaju
vrijednosti 0)
 H d  H l
suma gubitaka
mehaničke energije
od presjeka „2“ do „d“
suma gubitaka
mehaničke energije
od presjeka „l“ do „1“
Potrebna snaga pumpe definirana je izrazom:
P 
ρ  g  QP  H P
η
 - stupanj efikasnosti prenosa snage pumpe na proticajnu
tekućinu ( uvijek manji od 1).
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
Visina dizanja pumpe HP sadrži dvije komponente:
statička HP-stat koja ne ovisi o protoku QP i dinamička
komponenta HP-din koja ovisi o protoku QP.
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
Turbine se između ostalog pojavljuju i u objektima
namijenjenim za korištenje vodnih snaga.
Ovisno o raspoloživoj razlici potencijala gornje i donje vode
usporni objekti (brane) dijele se na niskotlačne, srednje i
visokotlačne.
Karakteristične vrijednosti razlika razina donje i gornje vode H
nalaze se u rasponu:
- Niskotlačno postrojenje H < 15m
- Srednjetlačno postrojenje H = 15-50m
- Visokotlačno postrojenje H > 50m
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
Ugrađuju se različiti tipovi turbina u ovisnosti o raspoloživoj
razlici potencijala gornje i donje vode.
Tip turbine
pad HT[m]
Pelton
2000-100
Francis
150-80
Kaplan i cijevne turbine
80-2
Snaga koja se ostvaruje radom turbine izražava se na način:
Pt    g  QT  H T   T
 - stupanj efikasnosti prenosa snage pumpe na proticajnu
tekućinu ( uvijek manji od 1).
STRUJANJE U CJEVOVODU POD TLAKOM – pumpe i turbine
POTENCIJALNO STRUJANJE
Potencijalna teorija je linearna. Analiziramo samo 2D strujanje
nestišljive ( d iv .v = 0), bezviskozne ( = 0) i bezvrtložne ( ro t.v =
 = 0) tekućine.
Iz zadnjeg uvjeta ( = 0) proizlazi da je polje strujanja u svim
točkama prostora definirano gradijentom brzinskog
potencijala .
v  
u 

x
v 

y
Daljnjom primjenom jednadžbe kontinuiteta dobiva se:
 
d iv v    v          
u
x

v
y
 
2

x
2
 
2


y
Slično vrijedi i za strujnu funkciju  ( ro t.v = 0  =0)
2
0
POTENCIJALNO STRUJANJE
U svakoj točci strujnog polja zadovoljen je uvjet
ortogonalnosti ekvipotencijala (linije istog potencijala) i
strujnica (linije iste vrijednosti strujne funkcije).
Ekvipotencijale i strujnice zajednički tvore strujnu mrežu.
Uzduž ekvipotencijele nema pronosa mase (strujanja) a
rubovi krute (nepropusne) granice mogu se opisati “rubnom”
strujnicom.
Teorija potencijalnog strujanja
razvijena je s ciljem iznalaženja
analitičkih rješenja za pojedine
slučajeve strujanja u zoni gdje
su smisaone usvojene
pretpostavke ( = 0 ;  = 0).
POTENCIJALNO STRUJANJE
Pretpostavke potencijalnog strujanja zadovoljene su primarno
u zoni konvergentnog (ubrzavajućeg) strujanja, u kojoj dolazi
do održavanja tankog graničnog sloja u blizini krute stijenke.
Divergentno (usporavajuće) strujanje s povećanjem tlaka
uzduž toka dovodi do separacije (odvajanja) graničnog sloja
od čvrste konture.
Male brzine strujanja nisu uvjet za smisaonu primjenu ideje
(modela) potencijalnog strujanja.
Analiza strujanja podzemnih voda (male brzine) temelji se na
potencijalnom strujanju. Prelijevanje preko preljeva ili
opstrujavanje krilnih profila (velike brzine) također se učestalo
analizirala potencijalnim strujanjem.
POTENCIJALNO STRUJANJE
Prvotno se iznalazi potencijal , te iz njega brzine strujanja.
Budući je Laplaceova jednadžba linearna, moguća je primjena
principa superpozicije elementarnih rješenja strujanja.
Uobičajena elementarna rješenja se odnose na slučajeve:
Paralelno strujanje:
  x, y   u0 x  v 0y
  x, y   u0y  v 0 x
u  x, y   u0
v  x, y   v 0
POTENCIJALNO STRUJANJE
Strujanje ka ponoru i od izvora:
Q je mjera izdašnosti izvora a -Q izdašnosti ponora.
  x, y  
  x, y  
u  x, y  
v  x, y  
Q
2
Q
2
ln r 
 
Q
Q
2
Q
2
ln
a rctg
x y
2
2
y
x
x
2 x  y
2
Q
2
y
2 x  y
2
2
Uvjet d iv .v = 0 (jednadžba kontinuiteta) narušen je u točki
singulariteta (ishodište)
POTENCIJALNO STRUJANJE
Potencijalni vrtlog:
 je mjera cirkulacije (+ znači vrtnju u desnu stranu).

  x, y   
  x, y  
u  x, y  
2

2
a rctg
x
x y
2
ln

2
y
2 x  y
v  x, y   
y
2

2
x
2 x  y
2
2
Uvjet ro t.v = 0 (jednadžba kontinuiteta) narušen je u točki
singulariteta (ishodište)
POTENCIJALNO STRUJANJE
Dipol:
Beskonačno bliski ponor i izvor.
  x, y  
  x, y  
mx
x y
2
2
mx
x y
u  x, y   m
2
2
y x
2
x
v  x, y   m
2
y
2
2

2
2 xy
x
2
y
2

2