Transcript MehTek 9-13

STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA
U otvorenim vodotocima sa slobodnim vodnim licem bitni su
pojmovi: proticajna površina A , omočeni opseg O i hidraulički
radijus Rh = A/O.
Za pravokutni poprečni presjek:
A
h
Rh  
O 1  2h / B
(korita velike širine h/B0 ; Rh = h).
Često se koristi trapezna forma proticajnog presjeka sa
nagibom pokosa m. Kanalizacijski kanali često se izvode u formi
kružnih poprečnih cijevi.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA
U reguliranim vodotocima često se pojavljuju i kompozitni kanali.
Prirodna korita su nejednolika a dubina se referencira na vertikalnu
udaljenost između kote slobodnog vodnog lica i najniže kote dna.
Ako su obale sačinjene od otpornog materijala koji se odupire
djelovanju posmičnog naprezanja, profil će ostati stabilan i
nepromijenjen tijekom vremena.
Ako to nije slučaj te dolazi do erozije ili deponiranja materijala a
profil će tijekom vremena meandrirati.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA
Klasifikacija otvorenih vodotoka: jednoliko i nejednoliko
Klasifikacija otvorenih vodotoka: stacionarno - nestacionarno
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA
Klasifikacija otvorenih vodotoka: laminarno i turbulentno
V4Rh
Reh 
υ
Kritični Reynoldsov broj za otvorene vodotoke
D = 4Rh  Rekrit  500
Klasifikacija otvorenih vodotoka: mirno, kritično i silovito
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA - otpori i turbulentno strujanje
Za praktične potrebe usvaja se logaritamski profil brzina po cijeloj
vertikali od dna do vodnog lica:
u* 
u
y
= 1 + 2,5  1 + ln 
V
V
h
Bezdimenzionalna jednadžba kojom su definirani odnosi brzina u
pojedinoj točki vertikalnog profila brzina u, maksimalne brzine u
vertikalnom profilu umax i srednjih brzina u vertikalnom profilu V.
Intenzivnija turbulencija (hrapavije dno) uzrokuje manje „pune“
profile brzina odnosno manje pridnene i veće površinske brzine.
Za logaritamski profil brzina, popravni Koriolis-ov koeficijent
kinetičke energije  poprima vrijednost 1,04.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA - otpori i turbulentno strujanje
Raspodjele posmičnih naprezanja po konturama trapeznog
proticajnog profila:
Posljedica nejednolikog profila naprezanja je pojava „slabog“
sekundarnog strujanja u proticajnom profilu te pojava maksimalnih
brzina strujanja sa pomakom od površine u dubinu.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – jednoliko tečenje
Praktični interes je proračun srednjih brzina V i protoka Q u
proticajnom profilu jednolike dionice otvorenog korita.
Koristi se Chezyjeva jednadžba:
V = C RhI0
C - Chezy-jev koeficijent hrapavost
I0 - nagib dna kanala
Za jednoliko tečenje vrijedi: I0 = IPL= IEL
IPL - nagib linije vodnog lica
IEL - nagib energetske linije IEL
Za definiranje Chezy-jevog koeficijenta hrapavosti u praksi se
često kristi Manning-ov koeficijent hrapavosti n:
16
C = Rh
n
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – jednoliko tečenje
Upotrebom Chezy-jeve jednadžbe u uvjetima jednolikog i
stacionarnog tečenja određuje se funkcijski odnos Q(h) = V(h)A(h)
koji se u dijagramskom prikazu naziva i konsumpciona krivulja.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – lokalne promjene u geometriji toka
U tečenju sa slobodnim vodnim licem također se pojavljuju više ili
manje nagle promjene geometrije strujanja kao posljedica u
promjenama geometrije proticajnog profila (suženja, proširenja,
stepenice itd.).
Time se uzrokuje povećano vrtloženje i lokalni gubici energije:
V2
hV = ξ
2g
V - srednja brzina u proticajnom profilu (uobičajeno
prije promjene proticajnog profila)
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
U koritima proizvoljnog (neprizmatičnog) proticajnog presjeka režim
tečenja se dijeli na mirno, siloviti i kritično tečenje.
Definiranje režima provodi se kroz analizu specifične energije
poprečnog presjeka koja je definirana izrazom:
αQ 2
E =h+
2gA2
Ekstrem funkcije specifične energije poprečnog presjeka E dobiva se
upotrebom prve derivacije:
dE
αQ 2 dA
=1- 3
dh
gA dh
 dA = Bdh 
αQ 2
B=1
3
gA
Froudeov
broj (**2)
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Fr < 1  mirni režim
Fr > 1  siloviti režim
Fr = 1  kritično tečenje
Dubina pri kojoj se pojavljuje Fr = 1 naziva se kritična dubina hkr a
srednja brzina u takvom proticajnom presjeku kritična brzina vkr.
V q/h
q = Q/B
q2
E = h+
2gh2
2
q
h3 - Eh2 +
=0
2g
U slučaju fiksiranja vrijednosti protoka Q = konst. i specifične
energije E moguća su dva rješenja dubina h1 i h2.
Smanjenjem specifične energije te dvije dubine se približavaju te pri
ostvarenju minimuma E = Emin postoji samo jedna dubina i to
kritična dubina hkr pri kojoj je Fr2 = Fr =1.
Kritična dubina hkr za pravokutni kanal može se dobiti i eksplicitno:
1/3
q 
hkr =  
g
2
(pri kritičnoj dubini Vkr = q/hkr)
Emin
1
3
= h + hkr = hkr
2
2
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Dijagram specifične energije poprečnog presjeka
(dubina h je funkcija specifične energije poprečnog presjeka E pri
konstantnom specifičnom protoku q)
h>hkr (Fr < 1) mirno tečenje
h<hkr (Fr > 1) silovito tečenje
VAŽNO:
Krivulja se dobiva
pri varijaciji nagiba
dna kanala uz
Q,q = konst.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Za bilo koju raspoloživu specifičnu energiju presjeka E postoji i
odgovarajući maksimalni protok qmax koji se može transportirati u
uvjetima kritičnog tečenja (hkr i Vkr).
Primjer preljevanja preko tzv. širokog praga.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Iz tih razloga tokovi svladavaju „prepreke“ poput preljeva i
visokih pragova na „štedljivi“ način  uz najviše kote
„prepreka“ pojavljuju se uvjeti kritičnog tečenja sa kritičnim
dubinama.
Tečenja prije širokog je mirno, na širokom pragu je kritično a na
nizvodnoj dionici režim tečenja ovisi o nizvodnom nagibu dna
kanala te može biti miran (I0<Ikrit ; h>hkr, Fr < 1) ili silovit (I0>Ikrit
; h<hkr, Fr > 1).
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Praktična primjena analize specifične energije u uvjetima
stacionarnog tečenja i uz zanemarenjelinijskih i lokalnih
gubitaka.
Dubine prije i poslije pregrade predstavljaju par h1 i h2 pri
istom specifičnom protoku q i pri istoj specifičnoj energiji E.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Podizanjem pregrade iznad kritične dubine hkr nastupa
maksimalni mogući specifični protok qmax za raspoloživu
specifičnu energiju E.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – specifična energija pop. presjeka
Tečenje preko pridnenog
grebena relativno male
visine h
(iza grebena nema
odvajanje graničnog
sloja i pojava lokalnog
gubitka uzrokovanog
intenzivnim vrtloženjem).
MIRNO
SILOVITO
MIRNO (Fr < 1)
SILOVITO (Fr >1)
Uzdizanje dna dz/dx > 0
Spuštanje dna dz/dx < 0
dh/dx < 0
dh/dx > 0
dh/dx > 0
dh/dx < 0
Proširenje dB/dx > 0
Suženje dB/dx < 0
dh/dx > 0
dh/dx < 0
dh/dx < 0
dh/dx > 0
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
Oštrobridni široki preljev
Preljev visine P u kanalu širine B s brzinom pristrujavanja u
mirnom režimu V0 uz energiju E0 i dubinu h0.
Energetski gubici se zanemaruju.
Iznad najviše kote preljeva pojavljuje se kritična dubina hkr koja
V02 
2
2
iznosi:
hkr =
3
 E0 - P  =
 hp + 
3
2g 
hp - visina prelijevanja (vertikalna udaljenost između najviše
kote preljeva i razine vodnog lica na “dovoljnoj” udaljenosti od
preljeva.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
Obzirom na formirano kritično tečenje iznad samog preljeva protok
se izračunava upotrebom jednadžbe:
2 
V 
Q = qB = gh B = g   hp +  
2g  
3 
3
kr
2
0
3/2
B
daljnjim sređivanjem prelazi u izraz:
Q = CQ 2g hp3/2B
CQ - bezdimenzionalni koeficijent preljeva
Za slučaj visokog preljeva hp/P0 ; V00:
1 2
CQ =
 
2 3
3/2
= 0,385
Navedeni izraz se koristi i za ostale vrste preljeva, a koeficijent
preljeva CQ se dobiva eksperimentalno.
U općem slučaju preljeva koeficijent preljeva CQ u ovisnosti od:
hp
V0
V0 h0
V0
,Fr0 
,forma,hrapavost,Re 
, We 
P

gh0

hp

STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
Češći primjer je primjena preljeva sa zaobljenom krunom
odnosno preljev praktičnog profila :
Moguće izvedbe u vidu tzv. vakumskog i bezvakumskog
preljeva.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
Istjecanje
Na dovoljnoj uzvodnoj udaljenosti od profila pregrade strujnice
su paralelne, a raspodjela tlakova po vertikali (dubine h0)
vodnog stupca je hidrostatska.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
U proticajnom profilu pregrade strujanje je nejednoliko a
strujnice nisu paralelne.
Na određenoj nizvodnoj udaljenosti od pregrade ponovno se
uspostavlja proticajni profil s paralelnim strujnicama
(kontrahirani proticajni presjek).
Odnos visine odizanja pregrade “s” i kontrahirane dubine h1 je
koeficijent kontrakcije CC (eksperimentalno dobiven ; h1 = CCs).
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – prelijevanje i istjecanje
Za istjecanje ispod pregrade u kanalu jednolike širine B:
- površina kontrahiranog presjeka A1=CC s B
- jednadžba kontinuiteta Q0=Bh0V0 = Q1= BCC sV1
- specifična energija jednaka u oba presjeka E0 = E1
(pretpostavka odsustva energetskih gubitaka)
V02
V12
h0 +
= CCs +
2g
2g
V1 = 2g h0 - CCs  + V02
Q = CC
s
1 - CC
2gh0 sB
h0
Q = CQ 2gh0 sB
U slučaju horizontalnog dna i visoke pregrade s/h0 0 ; Fr0  0
vrijednost koeficijenta istjecanja je CQ = 0,611.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – vodni skok
Na prelasku iz silovitog u mirni režim strujanja pojavljuje se
tranzicijski fenomen zvan vodni skok.
Kroz vodni skok dolazi do smanjenja srednjih brzina i povećanje
dubine te do visokog stupnja disipacije mehaničke energije
toka hv.
Normalni
vodni skok
Obzirom na gubitak energije toka hv koncept specifične
energije nije moguće primijeniti (energetski gubici u vodnom
skoku nisu apriori poznati).
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – vodni skok
Moguća je primjena zakon o očuvanju količine gibanja na
kontrolnom volumenu u kojem je sadržan normalni vodni skok.
Normalni
vodni skok
h12
h22
ρg - ρg - τ 0L j = ρq  V2 - V1 
2
2
q =V1h1=V2h2
h1,h2 - prva i druga spregnuta dubina
 0 - osrednjeno posmično naprezanje na dnu
Lj - duljina vodnog skoka
Umonožak Lj je zanemariv naspram sila hidrostatskog tlaka.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – vodni skok
Jednadžba vodnog skoka (ZOKG i JK) definira međusoban
odnos spregnutih dubina h1 i h2:
h1
h2 =
2

2
1
1 + 8Fr - 1

h2
h1 =
2

2
2
1 + 8Fr - 1

Fr1 =
v
gh1
Fr1 - Froudeov broj u profilu prve spregnute dubine h1
Nakon izračuna druge spregnute dubine h2 i V2 može se
izračunati i gubitak energije (disipacije) u vodnom skoku:
hv
h2 - h1 

=
4h1h2
3
>1
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – vodni skok
Duljina vodnog skoka Lj dobiva se eksperimentalno a za praktične
potrebe može se koristiti izraz Lj  6,1h2.
Povećanje Fr1 uzrokuje povećanje omjera h2 / h1 i hv / E1.
Ukoliko su uvjeti nizvodne dionice vodotoka takvi da je normalna
dubina manja od druge spregnute dubine h2 doći će do odbačenog
vodnog skoka koji propagira nizvodno (ugrožena stabilnost korita).
Potrebno je osigurati potopljeni vodni skok u kojem je druga
spregnuta dubina h2 manja od nizvodne normalne dubine.
STRUJANJE U OTVORENIM VODOTOCIMA – vodni skok
Ukoliko se ne mogu osigurati uvjeti potopljenog vodnog skoka
izvodi se bučnica ili slapište.
Bučnica osigurava stabilizaciju (potapljanje) vodnog skoka u
njenim gabaritima.
Bučnica se izvodi na kraju preljevne građevine ukapanjem
ispod kote dna prirodnog korita (produbljenje).
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Darcyjeva brzina v = Q/A primjenjuje se primarno u analizi
strujanja podzemnih voda, odnosno strujanja u poroznim
sredinama podzemnih vodonosnika.
Oslanja se na pretpostavku kontinuuma (v = Q/A) u kojoj
prisustvo krute faze unutar proticajnog presjeka A nije uzeto u
obzir.
Posljedica toga je veća stvarna brzina strujanja od Darcyjeve
brzina, a što posebno ima važnosti u analizi pronosa
onečišćenja s tokovima podzemnih voda.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Darcyjev eksperimentalni uređajem služi za određivanje
Darcyevog koeficijenta filtracije (propusnosti) k poroznog
filtarskog materijala.
Dobiva se iz mjerenja vrijednosti Darcyeve brzine v = Q/A i
hidrauličkog pada I = h/l (omjer pada piezometarske visine
h na duljini puta l ).
Δh
v =k
Δl
QΔl
k=
AΔh
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
U općem 3D slučaju k je tenzor u funkciji karakteristika
geološkog sloja i same proticajne tekućine.
Strujanje podzemnih voda može se promatrati ako
potencijalno.
h
v  k  I I 
l
h
h
h
v  ui  v j  wk u  k ; v  k ; w  k
x
y
z
  kh    kh    kh 
v
i
j
k
x
y
z
  kh POTENCIJAL 
v  grad
v  grad  kh 
p
fizikalno: h  z 
 g
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Strujno polje u potencijalnom strujanju definirano je mrežom
ekvipotencijala i strujnica.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Hidraulička (Dupuitova) teorija strujanja pretpostavlja
zanemarenje utjecaja vertikalne komponente strujanja
(ekvipotencijale su vertikale).
U neposrednoj blizini zdenca vertikalna komponenta strujanja
ne može se zanemariti (narušavanje Dipuitova pretpostavke).
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Vodonosnici se pojavljuju u dva karakteristična oblika, sa
slobodnim vodnim licem i pod tlakom.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
U slučaju vodonosnika sa slobodnim vodnim licem korisno je
uvesti i pojam potencijala Girinskog.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA

q
l
 q  grad 
  potencijal protoka
h2

h
q  k  h   k 2 
l
l
h2
k

2


l
l
h2
  k
2
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Analiziramo samo jednostavnije slučajeve izvedbe potpunih
zdenaca (do nepropusne podine) za slučaj vodonosnika pod
tlakom i sa slobodnim vodnim licem.
2
0
2
H -h
Q = π k 
R
ln
r
nelinearna veza između Q i h
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
H0 -h
Q = 2π  k  M 
R
ln
r
linearna veza između
protoka Q i sniženja s
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Primjenom potencijala Girinskog  u slučaju crpljenja iz
vodonosnika sa slobodnim vodnim licem dobiva se linearni
odnos između protoka crpljenja Q i pada potencijala Girinskog
.
2
2
kh
kH0
; x  0  x
; x 
x  0  x ; 0 
2
2
2x
kh2 kH02
2
; s  H0  h;
 x ; h  H0 

k
2
2
Q R 
0  x  ln  LINEARNI ODNOS x i Q
2 r 
x

Time se omogućuje primjena principa superpozicije i za
slučajeve grupe zdenaca u vodonosniku sa slobodnim vodni
licem.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Primjena principa superpozicije za grupu zdenaca (dva zdenca)
u vodonosniku pod tlakom i sa slobodnim vodnim licem daje
jednadžbe sniženja piezometarske visine (pod tlakom) i
sniženja razine vodnog lica (sa slobodnim vodnim licem) u
proizvoljnoj točki horizontalne ravnine.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
x  1  2
m
m
Qi
R
sx   si  
ln
ri
1
1 2 kM
Q1 R Q2 R
x 
ln 
ln
2 r1 2 r2
m
m
sx  s1  s2
Qi R
x   i  
ln
ri
1
1 2
Q1
R
Q2
R
sx 
ln 
ln
2 kM r1 2 kM r2

kH02 khx2 

 x  0  x 

2
2 

STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Ideja superpozicije koristi se i u sklopu analize utjecaja
otvorenog vodotoka na strujno polje.
Vodotok se zamjenjuje fiktivnim anti-zdencem (-Q znači unos
vode) s jednakim intenzitetom i pozicijom na istoj udaljenosti L
od vodotoka kao što je to i stvarni zdenac.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Q
R
Q
R
sx 
ln 
ln
2 kM r1 2 kM r2
Q  R
R
sx 
ln  ln 

2 kM  r1
r2 
Q
r2
sx 
ln
2 kM r1
SNIŽENJE U ZDENCU:
r2  2L r1  r0
Q
2L
s0 
ln
2 kM r0
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Ideja superpozicije koristi se i u sklopu analize utjecaja
vertikalne nepropusne granice na strujno polje.
Vertikalna nepropusna granica se zamjenjuje fiktivnim
zdencem s jednakim intenzitetom crpljenja Q te pozicijom na
istoj udaljenosti L od linije vertikalne nepropusne granice, kao
što je to i stvarni zdenac.
STRUJANJE U POROZNIM SREDINAMA
Q
R
Q
R
sx 
ln 
ln
2 kM r1 2 kM r2
Q
R2
sx 
ln
2 kM r1  r2
SNIŽENJE U ZDENCU:
r2  2L; r1  r0
Q
R2
s0 
ln
2 kM 2L  r0
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Pri opstrujavanju tekućine na tijelo djeluju hidrodinamičke sile.
Sile i njihov intenzitet u direktnoj su vezi s viskoznosti.
Kod malih brzina u cijelom području opstrujavanja tijela
dominira utjecaj viskoznosti.
Kod velikih brzina utjecaj viskoznosti dominira samo u blizini
konture opstrujavanog tijela.
Ovisno o formi tijela, pojavljuje se i odvajanje graničnog sloja
od njegovih kontura (utjecaj na raspodjelu tlakova u
„nizvodnom“ području od samog tijela).
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Promatra se dvodimenzionalno tijelo proizvoljnog oblika u
kartezijevoj x-y ravnini.
Površina oplošja tijela je A, a infinitezimalni element površine
dA definira se sa kutom nagiba  naspram pozitivne x osi.
Naprezanja po konturi tijela dijele se na tlačna i posmična.
Integracijom po smjeru x dobiva se sila otpora tijela :
FX =   -pcosθ  dA +   τsinθ  dA
A
A
Integracijom po smjeru y dobiva se sila hidrodinamičkog
uzgona:
Fy =   -pcosθ  dA +   τsinθ  dA
A
A
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Sila otpora tijela Fx sadrži dva člana:
- sila otpora oblika (prvi član desne strane)
- sila otpora trenja (drugi član desne strane)
U slučaju opstrujavanja tijela koje ima simetričnu formu sila
hidrodinamičkog uzgona Fy je nula.
Primarni inženjerski interes je vezan uz opstrujavanje tijela pri
relativno velikim Reynolds-ovim brojevima kada uvjeti strujanja u
graničnom sloju najviše ovise o formi konture tijela.
Na području gradijenta tlakova dp/ds < 0 graničan sloj je zadržan uz
konture tijela a na području dp/ds > 0 pojavljuje se odvajanje
graničnog sloja i formiranje vrtloga koji se tokom pronose nizvodno.
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Odvajanje graničnog sloja pojavljuje se u točki separacije A.
Pri opstrujavanju ovalnih formi točka separacije ne mora biti
stacionarna (stabilna).
Sila otpora tijela FX bitno ovisi o položaju točke separacije A.
(A “prije”- zona vrtloženja je veća - otpor tijela veći)
Sila otpora tijela Fx je u većini slučajeva bliska sili otpora oblika FO.
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
VAŽNO UOČITI:
„Nizvodni“ vrtlozi uzrokuju gubitak mehaničke energije pa integral
tlakova po površini „nizvodne“ polovice opstrujavanog tijela ima
manju vrijednost od integrala tlakova po površini „uzvodne“
polovice opstrujavanog tijela (gledano u x smjeru).
U slučaju opstrujavanja idealne tekućine koja nema graničnog sloja,
kao ni odvajanje graničnog sloja i pojavu turbulentnih vrtloga, sila
otpora oblika je jednaka nuli.
Za potrebe praktičnih proračuna definirana je jednostavna
jednadžba za silu otpora tijela FX odnosno silu otpora oblika FO:
V02
FX = CXρAP
2
V02
® FO = COρAP
2
® C X = CO
CX i CO - bezdimenzionalni koeficijenti otpora tijela i otpora oblika

- gustoća tekućine koja opstrujava tijelo
AP
- površina ortogonalne projekcije tijela na vertikalnu
ravninu okomitu na x os.
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Koeficijenati otpora tijela CX i otpora oblika CO dobivaju se temeljem
eksperimentalnih istraživanja:
CO =
FO
V02
ρAP
2
U općem slučaju opstrujavanja koeficijent otpora tijela CX je u
funkciji oblika opstrujavanog tijela, Reynolds-ovog broja, hrapavosti
i Mach-ovog broja (može se zanemariti u većini praktičnih
problema, npr. do brzine vjetra cca 200km/h).
Pri opstrujavanju kratkih
hidrauličkih objekata koji
imaju oštre bridove
Reynoldsov broj nema
utjecaja (točka separacije
fiksirana ; FX = FO i CX = CO)
SILE NA OPSTRUJAVANO TIJELO
Pri opstrujavanju horizontano položene ravne ploče prisutan je
samo član (sila otpora tijela = sila otpora trenja):
FX =   τsinθ  dA
A
pa ne vrijede ni jednakosti FX = FO odnosno CX = CO.
2D forme
3D forme
DIMENZIONALNA ANALIZA
Upotrebljava se u svim granama znanosti.
Jednadžbe kojima se opisuju procesi u fizici i koje sadrža
fizikalne veličine moraju biti dimenziono homogene.
Postoji neovisan sustav jedinica kojima se izražavaju pojedine
fizikalne veličine.
Temeljne fizikalne veličine sa pripadnim dimenzijama u
mehanici su duljina L=m, masa M=kg i vrijeme T=s.
Izvedenice su primjerice brzina L/T ima dimenziju m/s a sila
F ima dimenziju kgm/s2=N.
Za primjer se promatra slučaj određivanja koeficijenta otpora
oblika CO kugle pri opstrujavanju realnom tekućinom.
DIMENZIONALNA ANALIZA
Fizikalnim veličinama koje su relevantne u samom procesu:
- brzina pristrujavanja v
- dinamički koeficijent viskoznosti 
- gustoća tekućine 
- promjer kugle D
U funkcionalnoj formi dobiva se slijedeća formulacija:
F 0 = f1 (v , , , D)
Dimenzije fizikalnih veličina procesa su:
F 0  = F ;  v  = L/T ;  = FT/L2 ;  = FT2/L4 ; D = L
DIMENZIONALNA ANALIZA
Potrebno je definirati funkcional koji sadrži samo
bezdimenzionalne fizikalne veličine s kojima je također opisan
proces.
Te bezdimenzionalne veličine formirane su od prethodno
definiranih dimenzionalnih veličina.
Koraci provedbe dimenzionalne analize:
Odabere se neovisna fizikalna veličina  za eliminaciju F iz
preostalih neovisnih i ovisnih fizikalnih veličina koje također
sadrže dimeziju F.
DIMENZIONALNA ANALIZA
To se ostvaruje dijeljenjem ovisne fizikalna veličina F 0 i
neovisne fizikalna veličina  sa . Dobiva se novi funkcional s
dimenzijama:
FO
 μ 
= f2  v, ,D 
ρ
 ρ 
FO  L4 
= 2
ρ T 
μ  L2 
= 
ρ T
Odabire se neovisna fizikalna veličina v u svrhu eliminacije T.
U F 0 / je dimenzija T prisutna sa drugom potencijom a u
/ sa prvom potencijom. Dijeljenje se provodi sa V 2 i sa v .
Dobiva se novi funkcional s dimenzijama:
μ 
= f3  ,D 
2
 ρv 
ρv
FO
FO
ρv
2
= L 
2
μ
= L 
ρv
DIMENZIONALNA ANALIZA
Odabire se neovisna fizikalna veličina D u svrhu eliminacije L.
Član F 0 /V dijeli se s D2 a član /v sa D.
2
Dobiva se novi funkcional koji sadrži samo bezdimenzionalne
parametre :
 μ 
= f4 

2
ρvD


ρv D
FO
FO
2
ρv D
= 1
 μ 

 = 1
 ρvD 
Prvobitni skup od pet dimenzionalnih članova sveden je na
samo dva bezdimenzionalna člana.
Time je znatno pojednostavljuje prikaz rezultata
ekperimentalnih istraživanja.