משפט הדגימה של Whitteaker
Download
Report
Transcript משפט הדגימה של Whitteaker
1
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
משפט הדגימה
Sampling Theorem
2
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
דגימה ושחזור
באלו תנאים ניתן לשחזר אות רציף מתוך נקודות דגימה שלו?
כאן ידרשו מעט דגימות
כאן ידרשו דגימות רבות
3
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
קיפול תדרים ()Aliase
התחזות של נקודות דגימה לתדרים אחרים:
4
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
קיפול תדרים בתמונות
תת דגימה
דגימה צפופה יותר
5
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
קיפול תדרים בתמונות
http://en.wikipedia.org/wiki/Aliasing#More_examples
6
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
קיפול תדרים בוידאו
http://www.youtube.com/watch?v=jHS9JGkEOmA
7
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
הכנות למשפט הדגימה
פונקצית דלתא בדידה:
x0
x0
0
(x)
1
פונקצית דלתא רציפה:
0
1
( x ) dx
8
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
הזזה של פונקצית דלתא בדידה:
x x0
0
x x0
1
x ( x ) ( x x0 )
0
הזזה של פונקצית דלתא רציפה:
x0
0
) dx 1
0
(x x
x0
x0
( x ) dx
x0
x0
פונקצית דלתא מהוה איבר יחידה עבור פעולת הקונבולוציה:
) ( f * )( x ) ( * f )( x ) f ( x
) ( f * x 0 )( x ) ( x 0 * f )( x ) f x 0 ( x ) f ( x x 0
9
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
פונקצית "מסרק":
)( x
n x
( x n x)
n
( x)
x
comb
n
טרנספורם פורייה של פונקצית "מסרק" היא פונקצית "מסרק" בעלת צפיפות שונה:
) comb 1 x ( u
1
x
)(x
x
comb
קונבולוציה עם פונקצית "מסרק":
) f n x ( x
n
f ( x n x)
n
)( x )
x
( f * comb
10
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
משפט הדגימה
11
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
משפט הדגימה
אות ) f(xיקרא חסום תדר (אות המורכב מתחום חסום של פונקציות תדר),
אם קיים W>0כך ש F(u)=0-לכל u>=Wאו u<=-W
משפט הדגימה של :Whitteaker-Shannonאם fהוא אות חסום תדר על ידי
החסם ,Wונדגום אותו בצפיפות Δxהקטנה מ ,1/2W-אזי ניתן יהיה לשחזר את f
באופן מלא מתוך נקודות הדגימה.
2Wנקרא תדר .Nyquistדגימה פחותה מתדר זה גורמת לקיפול תדרים.
אופן שחזור האות מתוך הדגימה:
• נפעיל את טרנספורם פורייה על הדגימה
• נכפול בפונקצית מלבן בגודל 2W
• נפעיל את טרנספורם פורייה ההפוך
דרך שקולה לשחזור היא על ידי הפעלת קונבולוציה של פונקצית sincעל הדגימה.
הדגמות
12
משפט הדגימה:עיבוד סיפרתי של תמונות
דוגמא-משפט הדגימה
f ( x ) 2 cos( 6 x )
2 cos( 6 x ) e
6 ix
e
6 ix
1
(
3
W 3
x
1
6
( u 3
F (u ) 0 )
u
3
1)
1
3
(
u
3
1)
13
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
Aliasing: focus and defocus
• קיימות שיטות הפועלות על אותות לפני דגימתם וכאלו המתקנות אחרי
הדגימה כדי להתגבר על קיפול תדרים.
• מרבית השיטות נעזרות במסנן מעביר נמוכים
14
עיבוד סיפרתי של תמונות :משפט הדגימה
קיפול תדרים
Gonzalez & Woods