Transcript אוריגמי – אמנות קיפולי נייר

‫עמית‬
‫קיצור תולדות האוריגמי‬
‫• השם משויך ליפן‬
‫אבל קיפול ניר הומצא בסין‬
‫• היגר מסין יפן‬
‫• היגר באופן נפרד לאירופה – מרקו פולו‬
‫• אגב‪ ,‬אוריגמי הוא שם חדש לקיפול נייר ‪-‬‬
‫שתורגם מגרמנית‪...‬‬
‫• לאוריגמי יש אחיינים‬
‫• קיריגאמי – קיפול נייר כולל גזירה‬
‫• קוסודמה – בניית מודלים דינאמיים בתלת‪-‬‬
‫מרחב מקיפולי נייר‬
‫• קומיגאמי – הרכבת נייר‬
‫קיפול נייר – מה זה?‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫לוקחים נייר – ומקפלים‬
‫פילוסופיה – בלי לגזור‪ ,‬בלי לחורר – רק לקמט ולקפל‬
‫מחדש האמנות – אקירה יושיזאווה בשנות ה‪'40-‬‬
‫הפך לתחביב עולמי ב‪ 50-‬שנה האחרונות‬
‫שימש‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫למטרות טקסיות ביפן‬
‫לבידור והנאה אסתטית‬
‫לחינוך‪ ,‬בדגש על קשיי למידה והגיל הרך (פרידריך פרבל)‬
‫למטרות טקסיות ביפן‬
‫קיפול נייר – מה עושים עם זה?‬
‫• שימש במקור‬
‫• למטרות טקסיות ביפן‬
‫• לבידור והנאה אסתטית‬
‫• לחינוך‪ ,‬בדגש על קשיי למידה והגיל הרך (פרידריך פרבל)‬
‫• משמש כיום בנוסף לכך‬
‫• לפתרון בעיות עיוניות בגיאומטריה של המרחב‬
‫• לפתרון בעיות מתמטיות בדרגת סיבוכיות ‪4‬‬
‫• לחישוב הנדסי של תכנון מבנים ממתכת‬
‫• הנייר המתאים לאוריגמי אינו נייר רגיל‬
‫• חייב להיות דק וחזק מאוד‬
‫• ‪ – 和紙 Washi‬נייר שמיוצר מבמבוק‪ ,‬אגבה ועוד צמחים סיביים‬
‫מאוד‪ .‬יש חנויות מיוחדות המוכרות נייר לאוריגמי – הוא לא זול‬
‫אוריגמי ובעיות עיוניות‬
‫גיאומטריה‬
‫קיפול מיור‬
‫ה‬
‫מתמטיקה‬
‫‪NP Complete‬‬
‫משוואת הפחת‬
‫מרובע הזהב‬
‫חישובי מודלים‬
‫הכפלת קובייה‬
‫הוציטה‬
‫אוריגמי ופילוסופיה?‬
‫• צורה וחומר‬
‫• לנייר יש צורה סתמית – ייחודו בכך שיש לו עקמומית גאוס ‪0‬‬
‫• אוריגמי מוציא ממנו צורות שונות‪ ,‬מהיכן הן הגיעו – אה אריסטו?‬
‫• מתמטיקה ופיסיקה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מתמטיקה מתארת את העולם הממשי (ללא קשר תלות או עם קשר)‬
‫או שלהפך?‬
‫אוריגמי מאפשר פתרון בעיות שאינן פתורות מתמטית‬
‫אוריגמי מאפשר פתרון בעיות חישוביות שמחשב אינו מסוגל לחשב‬
‫אוריגמי מאפשר פתרון בעיות דרך תיאור וויזואלי‬
‫מישהו מכיר את מעמד הפרקטלים בתורת הכאוס?‬
‫• האם לייבניץ עסק בקיפול נייר?‬
‫אוריגמי ‪ -‬סיכום‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫אוריגמי – בעיקר תחביב שמספק הנאה וויזואלית‬
‫בעידן המחשבים – קפיצת מדרגה עצומה בתכנון ובמורכבות‬
‫המצאת הקיפול הרטוב של יושיזאווה קירבה אותו לפיסול‬
‫משמש ככלי עזר בפתרון בעיות בגיאומטריה מרחבית‬
‫משמש ככלי עזר בתכנון הנדסי מורכב‬
‫ולפילוסופים?‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫לא נותן הרבה‬
‫לבד מהבנה‬
‫שהקשר בין צורה וחומר אינו נהיר לעין‬
‫ושהקשר בין מתמטיקה לכלי עיצוב וויזואלי – לא פשוט בכלל‪...‬‬
‫מרחב המתמטיקה של קיפול נייר‬
‫• דוגמאות‪:‬‬
‫• הסתרת עיגול בפוליגון מקופל‬
‫• הכלת פוליהדרל במרחב‬
‫• חישובי פרבולה ללא חשבון אינפיניטסימלי‬
‫• בעיות חישוב בצביעה וקיפול של פוליגונים‬
‫• קישור למאגר מאמרים שפורסמו לגבי המתמטיקה של קיפולי נייר ‪-‬‬
‫‪http://merrimack.edu/~thull/oribib.html‬‬
‫• יש אפילו קורס לתואר ‪ II‬בקומבינטוריקה גיאומטרית‪ ,‬שמתבסס על‬
‫אוריגמי ‪!MA 323A Combinatorial Geometry -‬‬
‫‪http://merrimack.edu/~thull/combgeom/combgeom.html‬‬
‫קיפול מיורה‬
‫• הומצא ע"י האסטרופיסיקאי היפני‬
‫קוריו מיורה‬
‫• השתמש בסוג של קיפול אוריגמי‬
‫קשיח כדי לתכנן את פריסת‬
‫הכנפיים הסולאריות של לוויין‬
‫• דוגמא לפתרון בעיה גיאומטרית‬
‫קשה בעזרת אוריגמי‬
‫‪ )7(6‬האקסיומות של הוציטה‬
‫)‪F(s) = p1 + s(p2 - p1‬‬
‫ע"ש המתמטיקאי הומיקאי הוציטה משנת ‪:1992‬‬
‫• בין שתי נקודות ‪ p1‬ו‪ p2-‬עובר רק קיפול אחד‬
‫ייחודי‬
‫• יש רק קיפול אחד שמעמיד את נקודה ‪ p2‬בדיוק מעל‬
‫נקודה ‪p1‬‬
‫• יש רק קיפול אחד שמעמיד קו ‪ l1‬בדיוק מעל לקו ‪l2‬‬
‫• יש רק קיפול אחד שעובר במאונך לקו ‪ l1‬דרך‬
‫נקודה ‪p1‬‬
‫• יש רק קיפול אחד שמעמיד את הנקודה ‪ p1‬על הקו ‪l1‬‬
‫ועובר דרך הנקודה ‪p2‬‬
‫• יש רק קיפול אחד שמציב את הנקודה ‪ p1‬על הקו ‪l1‬‬
‫ואת הנקודה ‪ p2‬על הקו ‪l2‬‬
‫• (הטורי) יש רק קיפול אחד שמציב את הנקודה ‪ p‬על‬
‫הקו ‪ l1‬והוא מאונך לקו = ‪l2‬‬
‫בעיית הכפלת קובייה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫בעיה גיאומטרית המוכרת מימי היוונים‬
‫בהינתן קובייה עם פאה ‪ s‬ונפח ‪ ,V‬כיצד לחשב קובייה חדשה בנפח‬
‫‪= 2V‬‬
‫אינה ניתנת לפתרון באמצעות סרגל ומחוגה בלבד‬
‫ניתנת לפתרונות מספר בכלים גיאומטריים‬
‫נפתרת בקלות ע"י גיאומטריה של אוריגמי‬
‫עוד גיאומטריה‬
‫תיאורמת האגה‬
‫• פותרת בעיות בהנדסת המישור ע"י‬
‫מספר הנחות הקשורות בקיפול נייר‬
‫• חלוקת צלע של ריבוע לשלישים‪,‬‬
‫חמישיות‪ ,‬שביעיות ותשיעיות‬
‫עוד בעיות גיאומטריות‬
‫• חלוקת מצולע למשולשים שווי שוקיים‬
‫• חלוקת מצולע למחומשים ומשושים‬
‫מציאת מרובע הזהב‬
‫ויחס הכסף‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מרובע שיחס צלעותיו הוא יחס הזהב‬
‫‪1:1.618‬‬
‫המשמעות ‪ -‬ניתן לחלוקה לריבוע‬
‫מושלם ולמרובע בצורתו של המרובע‬
‫המקורי‬
‫ממוצע סדרת מספרי פל‬
‫יחס הכסף הוא ערך קבוע בין ‪ 2‬ל‪3-‬‬
‫בדומה ליחס הזהב בין ‪ 1‬ל‪2-‬‬
‫משוואת הקיפול‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כמה פעמים אפשר לקפל דף נייר‬
‫בעיה המתקשרת לתעשיית המתכת וכן לפיתוח שבבי מחשב‬
‫מכונה משוואת הפחת‬
‫נוסחת הפיתרון ‪:‬‬
‫• הנוסחה חושבה ע"י בריטני גאליוואן ב‪ 2001-‬כשהייתה בתיכון‬
‫• פרצה תפיסה עממית שנייר ניתן לקיפול רק ‪ 8‬פעמים‪ ,‬הגיעה ל‪ 12-‬קיפולים‬
‫‪NP Complete‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫בעיות יסוד בתורת הסיבוכיות‪ .‬לא ניתנות לחישוב בזמן פולינומי‬
‫(כלומר – בפירוק לפעולות ליבה בסיסיות כפי שמתבצע בעיבוד של מחשב‬
‫דיגיטאלי(‬
‫במשפט אחד – בעיות לא דטרמיניסטיות שניתנות לחישוב בזמן פולינומי‬
‫הבעיה לא נפתרה במדעי המחשב (אגב‪ ,‬יש פרס של מיליון ‪ $‬שמצפה לפותר)‬
‫קשורה לסוגיות רבות בניתוח רשתות וכריית מידע‬
‫היכולת לשטח דפוס של קימוטים לקיפול נייר הוכחה כבעיית ‪NP Complete‬‬
‫ע"י המתמטיקאים (‪ )Xerox PARC‬מרשל ברן ובארי הייס ב‪1996-‬‬
‫‪http://citeseer.ist.psu.edu/bern96complexity.html‬‬
‫המשמעות – ניתן לפתור בעיות מסובכות של חישוב פוליגונים ע"י אוריגמי‪ ,‬בעוד‬
‫שמתוכנת מחשב ניתן לפתור אותן רק בקירוב שנגזר מהורדת הסיבוכיות‬
‫ובעברית – אוריגמי מאפשר ביצוע חישובים מורכבים מאוד בגיאומטריה של המרחב‬
Origami Zoo
The Sea world
Goldfish
Ray and Carp
Birds
Raven
Beautiful Flowers
White Flower
Hydrangea and a snail
‫קיפול נייר ביפן‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הנייר ביפן משמש בטקסי השינטו כעזר וויזואלי‬
‫‪ - Noshi‬קיפולי נייר משמשים להרחקת השפעות רעות‬
‫‪ – Gohei‬קיפול נייר המוצמד לחבל קש ‪ shimenawa‬ונתלה בכניסה ל‬
‫מקדשים להפריד בין המקודש לטמא‬
‫‪ Gohei‬משמש גם במטה הטקסי של כוהנת השינטו בטקסי טהרה‬
‫המקור הטקסי של אוריגמי בא מסין (מורמאצ'י)‬
‫‪ – Katashiro‬גזירי נייר המייצגים אלילים‬
‫• כשיפן אימצה את שיטת בתיה"ס הגרמנית ב‪ 1880-‬האוריגמי הפך לכלי‬
‫חינוך ולימוד‪ ,‬לפי שיטתו של פרידריך פרבל (ממציא גן הילדים)‬
‫• ‪ – Kayaragua‬לקסיקון קיפולי נייר‪ 233 ,1845 ,‬כרכים‬
‫מקפלים ידועים‬
‫• אקירה יושיזאווה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מחדש אמנות האוריגמי‬
‫המציא את שיטת הקיפול הרטוב – בעצם חצי‪-‬פיסול בנייר‬
‫תכנן ‪ 50,000‬דגמים שונים של אוריגמי‬
‫התפרסם במערב בשנות ה‪ '50-‬ויצר את הפופולאריות של התחביב‬
‫• רוברט הארבין וליליאן אפנהיימר‬
‫• יצרו את הפופולאריות של אוריגמי בסדרת ספרים וכתבות‬
‫• ליליאן אופנהיימר פרסמה את המילה אוריגמי כשם גנרי לקיפול נייר‬
‫• רוברט לאנג‬
‫• פיסיקאי‪ ,‬מחבר הספר – סודות האוריגמי‬
‫• מראשוני מחקר המתמטיקה של קיפולי הנייר‬
‫• קיפל מודלים לתכנון השתלת תותב לב‪ airbag ,‬וטלסקופ המתפשט בחלל‬
‫לייבניץ ואוריגמי‬
‫• ‪ – Deleuze Gilles‬פילוסוף צרפתי מהמאה ה‪ – '20-‬רעיון הקיפול‬
‫• חיבר את לייבניץ לאוריגאמי ‪he Fold, Leibniz and the Baroque -‬‬
‫• אם כל החומר מקורו מהמקור האינסופי (טבע = אלוהים)‬
‫• כל מושא פרטי הוא מקרה מותאם של המקור‬
‫• תהליך יצירת המושא הפרטי הוא מעין קיפול במקור האינסופי‬
‫• הוא יוצר צורה‪ ,‬שאינה מנותקת מהמקור האינסופי‬
‫• האנלוגיה – קוסמוס של אוריגמי – מתקפל ומתפשט לאינסוף‬
‫• המסקנה (הפרדוקסית) של דלוז – פלורליזם = מוניזם‬
‫‪http://www.uni-koeln.de/phil-fak/englisch/berressem/docs/erfurt/deleuze.html‬‬
‫ודעתי?‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫יוסי אומר – תחשוב כמו בעולם חדש – פילוסופית‪...‬‬
‫מה המשמעות של טכניקה היוצרת צורה מחומר גולמי באופן כה משוכלל‬
‫שהיא פותרת בעיות שהמתמטיקה כושלת בהן?‬
‫אני לא יודע לייצר מזה אמירה אסרטיבית על צורה וחומר‬
‫אבל הנה אנלוגיה מחשיבה פנומנולוגית על דיבור וכתיבה‬
‫• בשונה מפילוסופים‪ ,‬נוירולוגים ופסיכולוגים טוענים כיום שההבדל טמון במסר‬
‫ים הלא‪-‬מילוליים המלווים ומעשירים את הדיבור‪ ,‬ובכך יוצרים ממטען מורכב‬
‫של משמעות שמעבר לסימבולים הנאמרים‬
‫• השאלה – האם ניתן לפענח תק' כזו עד למשמעות של הדיבור הפורמאלי?‬
‫• ואם כן‪ ,‬האם ניתן בדרך עקיפה זו לגלות תובנה חדשה על שפה ותודעה?‬
‫לייבניץ על קיפול החומר‬
Leibniz:
“the division of the continuous … must not be
taken as of sand dividing into grains, but as that of a
sheet of paper or a tunic in folds, in such a way that an
infinite number of folds can be produced, some smaller
than others, but without the body ever dissolving into
points or minima”
‫לקפל טלסקופ‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫פרויקט ‪Eyepiece‬‬
‫מעבדות ליברמור‪ ,‬ד"ר רוד הייד‬
‫טלסקופ עם עדשה גמישה בקוטר ‪ 100‬מ'‬
‫לפריסה בחלל‬
‫אבל צריך לדחוס אותו לחללית בדרך‪...‬‬
‫הפתרון – מודל קיפול ללא קווי שבירה שפיתח ר‬
‫וברט לאנג‬
‫והנה העדשה‬
‫‪Origami heart stent‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫שנת ‪ ,200‬אונ' אוקספורד‪ ,‬האגף למחקר ר‬
‫פואי ‪K. Kuribayashi‬‬
‫בלון ‪ stent‬המבוסס על קיפול פצצת המים‬
‫מתכווץ לשישית מגודלו המלא‬
‫נפרס באופן מתוכנן מראש לצורתו הרצויה‬
‫והזוכים בפרס החישוביות בביולוגיה סינתטית לשנ‬
...2006 ‫ת‬
Using Programmable Stacking Bonds to Combine DNA Origami •
into Larger, More Complex, Reconfigurable Structures
Paul W.K. Rothemund, Erik Winfree
California Institute of Technology, US
Recently, we developed a technique for self-assembling arbitrary na •
noscale shapes and patterns using DNA. This technique, termed "sca
ffolded DNA origami", allows 100 nanometer diameter shapes to b
e created with a resolution of 6 nanometers. The technique further al
lows any shape to be covered by a pattern with over two hundred 6nanometer features. These features, which can be thought of as pixel
s, could be carbon nanotubes, quantum dots, protein enzymes, or an
y of a number of other active nanoscale devices. Thus the technique
has great potential to create nanoscale circuits and nanomachines.
‫מדע חדש מתמטיקה של אוריגמי‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫פרופ' אריק דמיין‪MIT ,‬‬
‫דוקטורט בגיל ‪20‬‬
‫מומחה לאלגוריתמים‬
‫עסוק במציאת הוכחות לחוקיות המתמטית של תו‬
‫צרי קיפול אוריגאמי‬
‫וכעת חוקר את הקשר בין קיפולים ב‪ DNA-‬להי‬
‫ווצרות מחלות גנטיות‬
‫פרבולואיד היפרבולי‬
Tesselation
‫קיפול וחיתוך יחיד‬
‫שיטה לפתרון בעיות בגיאומטריה חישובית‬
‫מבוססת על ניתוח תבנית קיפול אפשרי‪ ,‬המייצרות דמ‬
‫ות אוריגאמי שטוחה‬
‫קיפול לפי הקווים המקווקווים מאפשר ליצור את הדמו‬
‫ת שעל הנייר בחיתוך מספרים יחיד!‬
‫ניתן ליישום לתכנון תבניות ודגמים בגיאומטריית המר‬
‫חב‬