Transcript טרנספורם פורייה

‫‪1‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫‪Fourier Transform Introduction‬‬
‫‪2‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫מרחב התדר ‪ -‬רקע מתמטי‬
‫• מספרים מרוכבים‬
‫• בסיסים אורתונורמליים‬
‫‪3‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫‪Imaginary‬‬
‫)‪(a,b‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪Real‬‬
‫ייצוג קרטזי‪:‬‬
‫‪a  ib‬‬
‫ייצוג פולארי‪:‬‬
‫‪R  ei‬‬
‫‪R cos  iR sin ‬‬
‫) ‪i tan1 ( b / a‬‬
‫‪a b e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
4
‫מספרים מרוכבים‬
z  a  ib
z  Re
i
z  a  ib
z  Re
i (  )
:‫צמוד מרוכב‬
i
i
e

e
cos  Re al(ei ) 
2
i
i
e

e
sin   Im(ei ) 
2i
‫‪5‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫מספרים מרוכבים‬
‫מספרים בעלי ערך מוחלט ‪:1‬‬
‫‪z  1  z  cos  i sin  ei‬‬
‫שורשי יחידה מסדר ‪:N‬‬
‫‪2i‬‬
‫)‪( N 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪,...,e‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪,e‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪,e‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪e‬‬
‫סכום שורשי יחידה מסדר ‪ N‬הוא תמיד ‪:0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪k‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪72‬‬
‫דוגמא ‪:N=5‬‬
‫‪6‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫בסיסים אורתונורמליים‬
‫• מרחב וקטורי מקבל משמעות גיאומטרית (מרחקים וזוויות) כאשר מוגדרת בו מכפלה פנימית‬
‫• מרחב וקטורי ‪ V‬יקרא מרחב מכפלה פנימית אם קיימת העתקה ‪ ( , ): VxV -> C‬המקיימת‪:‬‬
‫הרמיטיות‪ ,‬לינאריות וחיוביות‬
‫• הגדרות של נורמה וזווית‪:‬‬
‫) ‪u  (u, u‬‬
‫) ‪(u, v‬‬
‫‪u  v‬‬
‫‪cos(u , v ) ‬‬
‫• שני וקטרים ‪ u,v‬נקראים ניצבים אם הם מקיימים ‪(u,v)=0‬‬
‫‪7‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫בסיסים אורתונורמליים‬
‫• הגדרת בסיס אורתונורמלי (מערכת צירים)‪:‬‬
‫‪v1 , v2 ,...,vk V‬‬
‫הינו בסיס למרחב‪ .‬הבסיס יקרא אורתונורמלי אם‬
‫‪(vi , v j )  ij‬‬
‫‪ 1  i, j  k‬‬
‫בסיס המורכב מוקטורים ניצבים באורך יחידה (מערכת צירים)‬
‫בניית בסיס אורתונורמלי ע"י תהליך גרם‪-‬שמידט‬
‫• טענה‪ :‬אם‬
‫באופן הבא‪:‬‬
‫‪v1 , v2 ,...,vk‬‬
‫בסיס אורתונורמלי אז ניתן להציג כל וקטור במרחב‬
‫‪k‬‬
‫‪v   ( v, vi )vi‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬הפירוק לפי איברי הבסיס הוא פשוט‬
‫‪8‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫מרחב התדר ‪ -‬שינויים בתמונה‬
‫מרחב התדר מתייחס לשינויים בתמונה בכיוון ‪:x,y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪9‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫פונקציה כסכום של פונקציות סינוס‬
‫הפונקציה‪:‬‬
‫היא קירוב לסכום הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫בסיס פורייה‬
‫חלק מדומה‬
‫חלק ממשי‬
‫‪N=8‬‬
‫‪11‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫אות חד ממדי בדיד‬
‫אות חד ממדי בדיד הוא דגימה אחידה של אות רציף‪:‬‬
‫‪f ( x ) x  0,1,...,N  1‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫או‪:‬‬
‫))‪f  ( f (0), f (1),..., f ( N  1‬‬
‫‪12‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫בסיס פורייה‬
‫בסיס פורייה למרחב האותות בגודל ‪:N‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪xu‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪g u ( x)  e‬‬
‫)‪ cos( xu)  i sin( xu‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪u  0,...,N  1 x  0,...N  1‬‬
‫‪13‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫ייצוג אותות לפי בסיסים שונים‬
‫ייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי‪:‬‬
‫‪( f (0), f (1),..., f ( N  1)) ‬‬
‫‪f (0)(1,0,0,...,0,0)  f (1)(0,1,0,...,0,0)    f ( N  1)(0,0,0,...0,1) ‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ f (u)e‬‬
‫‪u‬‬
‫‪u 0‬‬
‫ייצוג לפי בסיס אחר‪:‬‬
‫‪( f (0), f (1),..., f ( N  1)) ‬‬
‫‪c(0)(1,1,0,...,0,0)  c(1)(0,1,1,...,0,0)    c( N  1)(1,0,0,...0,1) ‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪u‬‬
‫‪ c(u )d‬‬
‫‪u 0‬‬
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
14
‫ייצוג אותות לפי בסיסים שונים‬
:‫ייצוג לפי בסיס פורייה‬
( f (0), f (1),..., f ( N  1)) 
F (0)(e
F (1)(e
2i
00
N
2i
01
N
F ( 2)(e
,e
,e
2i
02
N
2i
01
N
2i
11
N
,e
,e
,e
2i
12
N
2i
02
N
2i
21
N
,e
,...,e
,...,e
2i
22
N
2i
0( N 1)
N
2i
( N 1)1
N
,...,e
)
)
2i
( N 1)2
N
)

F ( N  1)(e
N 1
 F (u ) g
i 0
u
2i
0( N 1)
N
,e
2i
1( N 1)
N
,e
2i
2( N 1)
N
,...,e
2i
( N 1)( N 1)
N
)
‫‪15‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫ייצוג אותות לפי בסיס פורייה‬
‫‪g0 ( x), g1 ( x),...,g N 1 ( x)‬‬
‫מהווה בסיס למרחב האותות בגודל ‪N‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר את פונקצית המכפלה הפנימית הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪ :‬הבסיס מהווה בסיס אורתונורמלי ביחס למכפלה הפנימית שהוגדרה‬
‫‪‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫)‪( f , g )   f (a) g (a‬‬
‫‪N a 0‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪u 0‬‬
‫‪u 0‬‬
‫‪f ( x)   F (u ) gu ( x)   ( f , gu )gu ( x) ‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ua‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N‬‬
‫‪(  f (a) gu (a))gu ( x)   (  f (a)e‬‬
‫‪)e‬‬
‫‪‬‬
‫‪u 0 N a 0‬‬
‫‪u 0 N a 0‬‬
‫‪16‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הגדרת טרנספורם פורייה‬
‫‪‬‬
‫הפונקציה )‪ f (x‬ניתנת לפירוק לפי בסיס פורייה באופן הבא‪:‬‬
‫‪x  0,1,..., N  1‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪f ( x)   F (u)e‬‬
‫‪u 0‬‬
‫‪‬‬
‫המקדמים ) ‪ F (u‬נתונים על ידי‪:‬‬
‫‪u  0,1,...,N  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בהינתן‬
‫בהינתן‬
‫‪2i‬‬
‫‪‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪1 N 1‬‬
‫‪F (u )   f ( x )e N‬‬
‫‪N x 0‬‬
‫‪ f‬ניתן לחשב עבורו את ‪ F . F‬נקרא טרנספורם פורייה של ‪. f‬‬
‫‪ F‬ניתן לחשב עבורו את ‪ f . f‬נקרא טרנספורם פורייה הפוך של ‪. F‬‬
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
17
‫ דוגמא‬- ‫טרנספורם פורייה‬
f ( x)  (2,3,4,4)
1
(2  3  4  4)  3.25
4
2i
2i
2i
2i
 10
 11
 12
 13
1
1 1
F (1)  (2e 4  3e 4  4e 4  4e 4 )    i
4
2 4
2i
2i
2i
2i

20

21

22

23
1
1
4
4
4
4
F (2)  (2e
 3e
 4e
 4e
)
4
4
2i
2i
2i
2i

30

31

32

33
1
1 1
4
4
4
4
F (3)  (2e
 3e
 4e
 4e
)  i
4
2 4
F (0) 
‫‪18‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫בסיס פורייה – דו ממד‬
‫‪v‬‬
‫‪u‬‬
‫מימוש של בסיס פורייה ב‪Matlab-‬‬
‫‪19‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הגדרת טרנספורם פורייה דו ממד‬
‫‪‬‬
‫אברי הבסיס‪:‬‬
‫‪u  0,1,..., N  1 v  0,1,...,M  1‬‬
‫‪2i ( ux‬‬
‫) ‪ vy‬‬
‫‪N M‬‬
‫‪g u , v ( x, y )  e‬‬
‫הגדלים של ‪ u, v‬קובעים את התדר‬
‫היחס ‪ u‬קובע את הכיוון‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫טרנספורם פורייה דו ממדי‪:‬‬
‫‪x  0,1,..., N  1 y  0,1,...,M  1‬‬
‫‪2i ( ux‬‬
‫) ‪ vy‬‬
‫‪N M‬‬
‫‪N 1 M 1‬‬
‫‪f ( x, y)    F (u, v)e‬‬
‫‪u 0 v 0‬‬
‫‪u  0,1,..., N  1 v  0,1,...,M  1‬‬
‫‪ 2i ( ux‬‬
‫) ‪ vy‬‬
‫‪N M‬‬
‫‪N 1 M 1‬‬
‫‪  f ( x, y ) e‬‬
‫‪x 0 y 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F (u, v) ‬‬
‫‪NM‬‬
‫‪20‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הצגת מקדמי פורייה כתמונה‬
‫‪‬‬
‫מרכוז מטריצת המקדמים‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫התגברות על טווח דינאמי רחב‪log(1  F (u, v) ) :‬‬
‫‪‬‬
‫התאמה לתחום דרגות האפור‬
‫‪21‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הצגת מקדמי פורייה כתמונה‬
‫‪22‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הצגת מקדמי פורייה כתמונה‬
‫‪Gonzalea & Woods‬‬
‫‪22‬‬
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
23
‫הגדרת טרנספורם פורייה רציף‬

f ( x) 
2iux
F
(
u
)
e
du

:‫חד ממדי‬

:‫דו ממדי‬



F (u ) 

f ( x)e  2iux dx

 
f ( x, y ) 

2i ( ux  vy )
F
(
u
,
v
)
e
dudv

  
 
F (u, v) 

  
f ( x, y )e  2i (ux  vy) dxdy
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
24
‫ דוגמא‬- ‫טרנספורם פורייה רציף‬
1

1 if x 
f ( x)  
2

0 otherwise
1
2


1
F (u )   f ( x )e2iux dx   e2iux dx  
e2iux
2iu
1



2
1
sin(u )
eiu  eiu 
 sin c(u )
2iu
u



1
2

1
2

‫‪25‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫טרנספורם פורייה רציף ‪ -‬דוגמא‬
‫‪Gonzalez & Woods‬‬
‫‪26‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫הקשר בין הטרנספורם הבדיד לרציף‬
‫‪‬‬
‫נניח ש‪ fc (x) -‬אות רציף ו‪ Fc (u) -‬הוא הטרנספורם הרציף שלו‬
‫‪‬‬
‫נדגום את‬
‫‪‬‬
‫נדגום את )‪ Fc (u‬בצפיפות אחידה ‪  u‬לקבלת אות בדיד )‪Fd (u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ f c (x‬בצפיפות אחידה ‪ x‬לקבלת אות בדיד )‪f d (x‬‬
‫נניח שהקשר בין צפיפות הדגימות מקיים‪:‬‬
‫אזי הטרנספורם הבדיד של‬
‫‪1‬‬
‫‪Nx‬‬
‫)‪ f d (x‬הוא )‪Fd (u‬‬
‫טרנספורם רציף‬
‫טרנספורם בדיד‬
‫‪ N( u ‬גודל האות)‬
‫‪27‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה‬
‫‪Gonzalez & Woods‬‬
‫הערה‪ :‬קיימות מספר גרסאות להגדרת הטרנספורם‪ ,‬השוני ביניהם הוא עד כדי כפל בקבוע‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה‬
‫‪Gonzalez & Woods‬‬
‫‪29‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה‬
‫‪Gonzalez & Woods‬‬
‫‪30‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה‬
‫‪Gonzalez & Woods‬‬
‫‪31‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫תכונת סימטריות העוצמה‬
‫‪32‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫תכונת ההזזה‬
‫‪33‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫תכונת הסיבוב‬
‫‪34‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫תכונת המתיחה‬
‫‪35‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫דוגמאות לטרנספורם פורייה‬
‫‪Mathworks‬‬
‫‪36‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫משפט הקונבולוציה‬
‫? ‪F (rec * rec) ‬‬
‫‪tri‬‬
‫) ‪F (tri‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪rec‬‬
‫‪F (rec)  sinc‬‬
‫*‬
‫‪rec‬‬
‫‪F (rec)  sinc‬‬
‫‪37‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫תכונות טרנספורם פורייה –‬
‫תכונת הפרידות‬
‫‪1D Fourier‬‬
‫‪transform‬‬
‫‪on each column‬‬
‫‪1D Fourier‬‬
‫‪transform‬‬
‫‪on each row‬‬
‫ מבוא לטרנספורם פורייה‬:‫עיבוד סיפרתי של תמונות‬
38
FFT - ‫טרנספורם פורייה מהיר‬
:‫נוסחת טרנספורם פורייה חד ממדי בכתיב מטריציוני‬
1
F (u ) 
N
N 1
 f ( x )e

2i
ux
N
u  0,1,...,N  1
x 0
1
1

1

 f (0) 
 F (0) 
2i
2i
2i



1

0

1

1

1

(
N

1
)



N
N
N


e
e

e
F
(
1
)
f
(
1
)

 1






 N













2i
2i
2i

( N 1)0

( N 1)1

( N 1)( N 1) 

F
(
N

1
)
f
(
N

1
)
N



e N
 e N
e

F  Vanderm onde Matrix  f
‫ פעולות‬O( N log(N )) -‫ פעולות ב‬O( N 2 ) -‫ניתן לבצע את הכפל המטריציוני במקום ב‬
‫‪39‬‬
‫עיבוד סיפרתי של תמונות‪ :‬מבוא לטרנספורם פורייה‬
‫טרנספורם פורייה הפוך‬
‫ניתן להשתמש באופרטור הטרנספורם כדי לחשב את הטרנספורם ההפוך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ F (u )e‬‬
‫‪u 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ N ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2i‬‬
‫‪ux‬‬
‫‪N‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪f ( x )   F (u )e‬‬
‫‪u 0‬‬