Transcript AULA 14

Distâncias
Ponto a um Plano:
Sejam P0  x 0 , y 0 , z 0  e  : ax  by  cz  d  0 .
Seja A o ponto de interseção entre a reta
perpendicular ao plano dado, passando pelo
ponto P0  x 0 , y 0 , z 0 ,e ele próprio.
Então
n   a, b, c 
A P0
P0
O vetor A P0 é a
projeção de P P0 na
direção de n
d  P0 , 

A P0 

d
P
P P0 .n
A
n
Em coordenadas cartesianas temos:
d  P0 , 

a  x0  x   b  y 0  y   c  z 0  z 
a b c
2
2
2
n
Distância de Ponto a Plano
d  P0 , 
d  P0 , 


a  x0  x   b  y 0  y   c  z 0  z 
a b c
2
2
2
ax 0  by 0  cz 0  ax  by  cz
a b c
2
2
2
Da equação do plano temos: d   ax  by  cz
Assim:
d  P0 , 

ax 0  by 0  cz 0  d
a b c
2
2
2
Distâncias
Plano a Plano: Definida apenas para
planos paralelos.
d   1 ,  2   d  P0 ,  2  , sendo que P0   1
ou
d   1 ,  2   d  P0 ,  1  , sendo que P0   2
Distância de Plano a Plano
Considerando que os planos são paralelos,
podemos reescrever suas equações
fazendo com que a1  a 2 , b1  b 2 , c1  c 2
e então do 2º plano temos: d ' 2   ax 0  by 0  cz 0
d   1 ,  2   d  P0 ,  1  
Assim:
d  1 , 2  
ax 0  by 0  cz 0  d 1
d
a b c
2
'
2
 d1
a b c
2
2
2

2
2
d1  d
'
2
a b c
2
2
2
Distâncias
Reta a Plano: Definida apenas para retas
paralelas ao plano.
d  r ,
  d  P0 ,   ,
sendo que P0  r
Exercícios
Determinar as distâncias, sendo dados:

O ponto A(-4,2,5) e  : 2 x  y  2 z  8  0 Resp: 4 u.c.

A origem O e plano  : 3 x  4 y  20  0

Os planos
1 : 2x  2 y  2z  5  0
e
Resp: 4 u.c.
2 :x y  z 3 0
Resp:

x  3
A reta r : 
y  4
e
3
6
u.c.
 : x  y  12  0
Resp: 5 u.c.
2