ASSUNTO:POLINÔMIOS

1) Identifique as expressões abaixo que são polinômios: a) 3x 3 -5x 2 +x-4 b) 5x -4 -x -2 +x-9 c) x 4 -16 d)x 2 3 +2x+6 e)

x

2 − 4 resp: a, c ,d 2) Dado o polinômio P(x)= 2x 3 -5x 2 +x-3. Calcule: a) P(0) resp: -3 b) P(-1/2) resp: -5 3) Se n ∈ N e n é par, calcule o valor numérico de P(x)= x n +x n-1 +x n-2 +...+x+1, quando x =-1 . resp: 1 4) As raízes do polinômio P(x)=x 3 -6x 2 +8x pertencem ao conjunto {0,1,2,3,,4}.Determine o conjunto solução. resp: 0,2 e 4 5) Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x)=2x 3 -ax+4. resp: 10 6) Dado o polinômio P(x)= (m 2 -36)x 3 +(m+6)x 2 +(m-6)x+9. Determine m de modo que P(x) seja: a) Do 3º grau resp: m ≠± 6 b) Do 2º grau resp: m=6 c) do 1 º grau m=-6 7) Dados os polinômios P 1 (x)=5x 2 -3x+6, P 2 (x)=-3x+2 e P 3 (x)=x 2 +5x-1. Calcule: a) P 1 (x)+P 2 (x)-P 3 (x) resp: 4x 2 -11x+9 b) P 1 (x).P

2 (x) resp: -15x 3 +19x 2 -24x+12 8) Determine a, b e c, de modo que P(x) = ( 2a + 4 )x 2 + ( b - 9 )x - 3c + 12, seja um polinômio identicamente nulo. resp: a = -2, b = 9 e c = 4 9) Seja P(x) um polinômio do 2º grau. Sabendo-se que 2 é raiz de P(x), P(-1) = 12 e P(0) = 6, calcular P(3). resp: 0 10) Sejam p =(a -1)x 4 + ax 3 + 1 e q = (a -3)x 3 +a 2 x 2 polinômios em x com coeficientes reais. É correto afirmar que o grau do produto entre os polinômios p e q é: a) 7 b) 6 ou 7 c) 5 ou 7 d) 6 e) 2 ou 6 resp: b 11) Dados A(x) = (a + 2) x 2 + (b – 2) x + 12 e B(x) = ax 2 + bx + 4c, determine o valor de a – b + c, de modo que A(x) + B(x) = 0. resp: -5 12) A imagem a seguir representa um terreno quadrado. A parte pintada de azul corresponde a uma área quadrada não construída e a parte pintada de amarelo, à área destinada ao estacionamento. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 1

Se a área total pode ser expressa pelo trinômio quadrado perfeito x 2 + 16x + 64 e a área destinada ao estacionamento é representada por x 2 + 4x + 4, quais os polinômios que representam, respectivamente, a medida do lado do terreno e do estacionamento? resp: (x + 8) e (x + 2) 13) Determinar a,b e c de modo que (a+bx).(x+2)+(c-2).(x+3)=2x 2 +2x-8. resp: a = b = 2 e c = -2 14) Calcular A e B de que

x A

− 2 +

x B

+ 2 = 4

x

2

x

− − 3 4 . resp: A=5/4 e B=11/4 15) Calcule m e n sabendo que (3x 2 -x+2).(mx-n)=6x 3 -5x 2 +5x-2. resp: m = 2 e n =1 16) Determine o resto da divisão de : a) 2x 3 -5x 2 +4x-4 por 2x-3 resp: -5/2 b) 5x 3 -11x 2 +3x-2 por x-2 resp: 0 17) Determinar o resto da divisão de P(x) = x 2n +x+1 por x+1, com n ∈Ν . resp: 1 18) Determine o valor de k para que o o resto da divisão 3x 4 -5x 3 +kx 2 -3x+1 por x-2 seja –1. resp: -1 19) Um polinômio P(x) dividido por x+1 dá resto 6 e dividido por x-3 dá resto 2. Calcular o resto da divisão de P(x) por (x+1).(x+3). Resp: -x+5 20) O polinômio P(x)=3x 3 +ax 2 +bx-4 é divisível por x-2 e x+1. Calcule o valor a+b. resp: -9 21) Determine m e n para que o polinômio P(x) = x 6 +mx 4 +nx 3 -3x-2 seja divisível por (x+1).(x+2). resp: m = -13/2 e n = -9/2 22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de: a) P(x) = x 3 -3x 2 +3x-1 por D(x) = x-1. resp: Q(x) = x 2 -2x+1 e R(x) = 0 b) P(x) = 5x 4 -3x 2 +x-1 por D(x) = x-2. resp: Q(x) = 5x 3 +10x 2 +17x+35 e R(x) = 69 c) P(x) = 3x 3 -4x 2 +5x-2 por D(x) = 2x-1. resp: Q(x) = 3/2x 2 -5/4x+15/8 e R(x) = -1/8 23) Determine a forma fatorada dos polinômios: a) P(x) = 2x 2 -10x+12 resp: P(x) = 2.(x-2).(x-3) b) P(x) = x 3 -7x 2 +12x resp: P(x) = x.(x-3).(x-4) c) P(x) = x 3 -5x 2 +4x-20 resp: P(x) = (x-5).(x-2i).(x+2i) 24) Escreva na forma fatorada o polinômio P(x) = 3x 4 -5x 3 +5x 2 -2x-1, sabendo que duas de suas raízes são 2/3 e 1. resp: P(x) = 3.(x-2/3).(x-1).(x+i).(x-i) 25) Escreva na forma fatorada o polinômio P(x) = x 4 -10x 3 +32x 2 -38x+15, sabendo que 1 é raiz de multiplicidade 2. resp: P(x) = (x-1) 2 .(x-3).(x-5) 26) Os polinômios P, Q e H possuem graus respectivamente iguais a 5, 3 e 2 , determine o grau de: a) (P+Q).H resp: grau7 b) (P - H):Q resp: grau 2 c) H+Q.P resp: grau 8 d) (P:Q).H resp: grau 4 27) Juquinha, Joãozinho e Marianinha, filhos de Dona Dora, gostam muito de estudar. Precoces, os três já aprenderam toda a Matemática do ensino médio. Bem humorados, gostavam de propor desafios matemáticos a seus interlocutores. Na ocasião em que foram blog.portalpositivo.com.br/capitcar 2

perguntados pelas suas idades, eles responderam em coro: as nossas idades são as raízes da função p (x) = (x - 8) (X - 10) ( x -13). A soma das idades dos filhos de Dona Dora é um número: a) par b) múltiplo de 3 c) primo d) quadrado perfeito e) ímpar menor que 30 resp: c 28) A imagem a seguir representa um tapete que foi fabricado com as medidas incorretas. Para ajustá-lo, devem-se retirar 10 cm da medida do comprimento e acrescentar 10 cm na medida da largura. A expressão que representa a área do tapete ajustado é: resp: x 2 - 100 29) Em Bruxelas, Tales conheceu o monumento Atomium, feito em aço revestido de alumínio, com a forma de uma molécula cristalizada de ferro, ampliada 165 bilhões de vezes. Essa escultura é formada por esferas de 18 metros de diâmetro, unidas por 20 tubos, com comprimentos de 18 a 23 metros. A quantidade de esferas que compõem a escultura é igual ao valor de um dos zeros do polinômio f(x) = x 3 – 6x 2 – 27x. resp: 9 30) (ENEM-adaptado) Um posto de combustível vende 10000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Considerando-se x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecado por dia com a venda de álcool. Determine a função polinomial que representa V em função x.resp: 15000+50x-x 2

Assunto: Equações polinomiais

1) Resolva as equações em C. a) x 3 -7x 2 +10x=0 resp: S = {0;2;5} b) x 3 -3x 2 +4x-12=0 resp: S = {3; -2i; 2i} c) x 3 -9x 2 +14x=0 resp: S = {0;2;7} d) x 3 -2x 2 +9x-18=0 resp: S = {-3i; 3i; 2} 2) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação x 4 -4x 3 -x 2 +16x-12=0. resp: -2;1;2;3 3) Calcule k de modo que a equação x 4 -3x 3 +2x 2 +kx-6=0 tenha o número 3 por raiz. resp: k = -4 4) Resolva a equação 2x 4 -7x 3 +5x 2 -7x+3=0, sabendo que ½ e 3 são raízes. resp: S = {-i;i;1/2; 3} 5) Resolva a equação x 4 - 10x 3 + 32x 2 - 38x + 15 = 0 sabendo que 1 é raiz de multiplicidade 2. resp: S={1;3;5} 6) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+i. resp: grau 5 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 3

7) Na equação 2(x-3) 4 .(x+2) 3 .(x+1) 2 = 0, dê a multiplicidade da raiz: a) 3 resp: 4 b) –2 resp: 3 c) –1 resp: 2 8) Forme uma equação de coeficientes reais de menor grau possível que tenha por raízes 1 e 2 - i . resp: x 3 -5x 2 +9x-5=0 9) Resolver a equação x 4 -4x 3 +12x 2 +4x-13=0 sabendo que uma de suas raízes é 2-3i. resp: S={2-3i ; 2+3i; -1; 1} 10) Resolva a equação x 3 -7x 2 +31x-25 = 0 sabendo que ela admite a raiz 3-4i. resp: S={3-4i; 3+4i;1} 11) Resolva as equações em C: a) 6x 4 -11x 3 -6x 2 +9x-2 = 0 resp: S = {-1; 2; 1/3; ½} b) x 3 -6x 2 +11x-6 = 0 resp: S = {1; 2; 3 } c) 2x 3 +9x 2 +13x+6 = 0 resp: S = {-2;-1;-3/2} d) 4x 4 -4x 3 -7x 2 +4x+3 = 0 resp: S = {-1;-1/2;1;3/2} 12) Dada a equação 6x 3 -13x 2 +9x-2 = 0, de raízes a, b e c, determine: a) 1 + 1 + 1 resp: 9/2 b) 1 + 1 + 1 resp: 13/2 c) a 2 +b 2 +c 2 resp; 61/36

a b c ab ac bc

13) Resolver a equação x 3 -3x 2 -4x+12=0, sabendo que duas raízes são opostas. resp: S ={-2;2;3} 14) Resolver a equação x 3 -15x 2 +66x-80=0, sabendo que suas raízes estão em P.A. resp: S={2;5;8} 15) Resolver a equação x 3 -7x 2 +14x-8=0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 3. resp: S = {1;2;4} 16) A equação polinomial ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Se a soma das raízes é 2, o produto entre elas é –3/2, a soma dos seus inversos é –1/3 , então é verdade que: a ) a = 2 e b = 4 b) a = 2 e c = 1 c) b = –4 e d = 3 d) c = 1 e d = –3 e) a = 2 e c = 1 resp: b, c , e 17) Se a equação polinomial p(x) = x 4 – 8x 3 +15 x 2 + 80 x – 250 tem uma de suas raízes igual a 4 + 3i, então: I - o seu conjugado 4 – 3i também é raiz desse polinômio. II - o polinômio também é divisível por (x – 4 – 3i) (x – 4 + 3i), que resulta em x 2 – 8x + 25. III - as outras duas raízes desse polinômio são reais. É correto dizer que: a) apenas o item I está errado b) apenas o item II está certo c) apenas o item III está certo d) o item III está errado e) todos os itens estão certos resp: e 18) Tendo como base a equação polinomial x 3 - 14x 2 + 56x - 64 = 0, marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 4

a) As raízes dessa equação são imaginárias. resp: F b) Essa equação polinomial pode ser escrita na forma fatorada, como ( x - 2) · ( x - 4) · (x - 8) = 0 resp: V c) Uma das raízes dessa equação polinomial é média geométrica de outras duas. resp: V d) As raízes dessa equação polinomial estão em Progressão Geométrica. resp: V e) As raízes dessa equação são os valores -2, -4 e 8. resp: F 19) Se as dimensões de um paralelepípedo reto retângulo são dadas pelas raízes do polinômio P(x) = x 3 -10x² + 31x - 30, Calcule a área total e o volume deste sólido. resp: A = 62 e V = 30 20) Uma equação do 4º grau apresenta três raízes que são números inteiros consecutivos e a quarta raiz é a média aritmética das três primeiras. Podemos afirmar que: a) a equação possui quatro raízes distintas b) a equação possui uma raiz de multiplicidade 2 c) apenas uma raiz da equação é um número ímpar d) a equação possui uma raiz que é um número irracional e) a equação possui uma raiz que não é um número real resp: b 21) A senhora Marise faz sabonetes artesanais para decorar e aromatizar o banheiro. Como ela tem habilidade manual, teve a ideia de confeccionar uma caixa, sem tampa, de papelão bem resistente. Ela fez uma pesquisa de mercado e encontrou folhas de papelão quadradas com 20 centímetros de lado. As caixas que Dona Marise vai confeccionar têm base quadrada. Para isso, ela retira de cada canto da folha de papelão um quadrado de lado X e dobra o restante da folha nas linhas pontilhadas, como mostra a figura. Qual deve ser o valor inteiro de X, em centímetros, para que o volume da caixa que Dona Marise vai confeccionar seja de 500 cm 3 ? resp: 5 22) Ao visitar a Faculdade de Matemática em Coimbra, Tales fez amizade com um estudante, que lhe propôs a seguinte questão: Um polinômio tem tantas raízes imaginárias quantas são as consoantes da palavra Coimbra, e o número de raízes reais é no máximo igual ao número de vogais. Então, o grau deste polinômio é um número n tal que: resp: 4 ≤ n ≤ 7 blog.portalpositivo.com.br/capitcar 5

23) Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está sendo projetada de modo a ter altura e comprimento de mesma medida e largura 3 cm maior que seu comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para que seu volume seja 200 cm 3 ? resp: 5cm, 5cm e 8cm 24) Uma roleta tem os números de 1 a 12, com mesma probabilidade de serem acertados. Ao girar a roleta, qual a probabilidade de que se acerte um número ímpar e que esse número seja raiz da equação x 3 - 6x 2 + 11x - 6 = 0 ? resp: 1/6 25) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte: • a soma desses números é 7; • o produto deles é 8; • a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. Assim, os três números pensados por João são raízes da equação: a) x 3 - 7x 2 + 14x - 8 = 0 b) x 3 + 7x 2 - 14x + 8 = 0 c)x 3 - 7x 2 - 14x - 8 = 0 d)x 3 + 7x 2 - 14x - 8 = 0 resp: a

Bibliografia:

Curso de Matemática – Volume Único Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna Matemática Fundamental - Volume Único Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD Contexto&Aplicações – Volume Único Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática WWW. blog.portalpositivo.com.br/capitcar 6