Transcript 1 - WordPress.com

Chương 6:
Đại số Boole
07-09-2007
Bài giảng Môn học
1
Mở đầu
• Đại số Boole đưa ra các phép toán làm việc với tập
{0, 1}
• Các phép toán thường dùng trong đại số Boole:
– Phép lấy phần bù được định nghĩa bởi : 0 = 1 và
1=0
– Phép lấy tổng Boole, ký hiệu ‘+’:
1 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0
– Phép lấy tích Boole, ký hiệu ‘.’:
1.1 = 1, 1.0 = 0, 0.1 = 0, 0.0 = 0
07-09-2007
Bài giảng Môn học
2
Mở đầu (tt)
• Phép lấy phần bù, tổng và tích Boole tương ứng với các
toán tử logic , , , trong đó 0 tương ứng với F (false,
sai) và 1 tương ứng với T (true, đúng). Các kết quả của
đại số Boole có thể được dịch trực tiếp thành mệnh đề
và ngược lại.
07-09-2007
Bài giảng Môn học
3
Hàm Boole
•
Định nghĩa: Cho B = {0,1}.
– Biến x được gọi là biến Boole nếu nó chỉ nhận giá
trị từ B
– Một hàm đi từ Bn B được gọi là hàm Boole bậc n
• Hàm Boole thường được biểu diễn bằng cách dùng các
biểu thức được tạo bởi các biến và phép toán Boole
Ví dụ: F(x, y, z) = xy + z
2n
• Có 2 hàm Boole bậc n khác nhau ?
07-09-2007
Bài giảng Môn học
4
Các hằng đẳng thức của đại số Boole
Hằng đẳng thức
Tên gọi
x=x
Luật phủ định kép
x+x=x
x.x = x
x+0=x
x.1 =x
x+1=1
x.0 = 0
Luật lũy đẳng
x+y=y+x
x.y = y.x
Luật giao hoán
07-09-2007
Luật đồng nhất
Luật nuốt
Bài giảng Môn học
5
Các hằng đẳng thức
của đại số Boole (tt)
Hằng đẳng thức
Tên gọi
(x + y) + z = x + (y + z)
(x.y).z = x.(y.z)
x + yz = (x + y)(x + z)
x(y +z) = xy +xz
Luật kết hợp
(xy) = x + y
x+y=x.y
Luật De Morgan
07-09-2007
Luật phân phối
Bài giảng Môn học
6
Chứng minh các hằng đẳng thức
• Ví dụ 1: Chứng minh sự đúng đắn của luật phân phối
x(y +z) = xy +xz
x
y
1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0
007-09-2007
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
y+z
x(y + z) xy
Bài giảng Môn học
xz
xy + xz
7
Chứng minh các hằng đẳng thức(tt)
• Dùng các hằng đẳng thức đã có để chứng minh các
hằng đẳng thức khác
• Ví dụ: Chứng minh luật hấp thu x(x + y) = x bằng cách
dùng các hằng đẳng thức của đại số Boole.
Giải:
x(x +y) = (x+0)(x +y) – luật ?
= x + 0.y – luật ?
= x + 0 – luật ?
= x – luật?
07-09-2007
Bài giảng Môn học
8
Tính đối ngẫu
• Đối ngẫu của biểu thức Boole nhận được bằng cách các
tổng và tích Boole đổi chỗ cho nhau, các số 0 và 1 đổi
chỗ cho nhau
Ví dụ: Đối ngẫu của biểu thức x. 1 + (y +z) là ?
• Một hằng đẳng thức giữa các hàm biểu diễn bởi bởi các
biểu thức Boole vẫn còn đúng nếu ta lấy đối ngẫu hai vế
của nó.
07-09-2007
Bài giảng Môn học
9
Định nghĩa trừu tượng
của đại số Boole
• Định nghĩa: Đại số Boole là một tập B có hai phần tử 0
và 1 với hai phép toán hai ngôi  và , và một phép
toán một ngôi sao cho các tính chất sau đây đúng với
mọi x, y, z thuộc B.
x  0  x
Luật đồng nhất

x 1 x

x x 1


x  x  0
( x  y)  z  x  ( y  z)

( x  y)  z  x  ( y  z)
07-09-2007
Luật nuốt
Luật kết hợp
Bài giảng Môn học
10
Định nghĩa trừu tượng
của đại số Boole (tt)
x  y  y  x

x  y  y  x
 x  ( y  z)  ( x  y)  ( x  z)

 x  ( y  z)  ( x  y)  ( x  z)
07-09-2007
Luật giao hoán
Luật phân phối
Bài giảng Môn học
11
Biểu diễn các hàm Boole
• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)
Ví dụ: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và
G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:
x
1
1
1
1
0
0
0
07-09-2007
0
y
z
G
F
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
Bài giảng
0Môn học
12
Biểu diễn các hàm Boole
• Khai triển tổng các tích (dạng tuyển chuẩn tắc)
Ví dụ 1: Tìm các biểu thức Boole biểu diễn các hàm F(x, y, z) và
G(x, y, z) có các giá trị được cho trong bảng sau:
 F(x, y, z) = xyz
x
y
z
F
G
G(x, y, z) = xyz + xyz
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
07-09-2007
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
Bài giảng
0Môn học
13
Biểu diễn các hàm Boole(tt)
• Ví du 2: Tìm khai triển tổng các tích của hàm F(x, y, z) = (x + y) z
Giải:
Bảng giá trị của hàm F:
x
1
1
1
1
0
0
0
07-09-2007
0
y
z
x+y z
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
(x + y) z
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
Bài giảng Môn học
1
0
 F(x, y, z) = ?
14
Biểu diễn các hàm Boole(tt)
• Khai triển tích các tổng (dạng hội chuẩn tắc): Lấy đối
ngẫu từ khai triển tổng các tích.
Ví dụ: Tìm dạng khai triển tích các tổng của hàm F(x, y, z)
và G(x, y, z) ở ví dụ 1.
07-09-2007
Bài giảng Môn học
15
Tính đầy đủ
• Tất cả các hàm Boole đều có thể bằng cách dùng các
phép toán Boole . , + , .
– Khi đó ta nói tập hợp {. , + , } là đầy đủ
Ta có:
– Tập {., } là đầy đủ ?
– Tập {+, } là đầy đủ ?
– Tập {., +} không phải là đầy đủ ?
– Tập {|} là đầy đủ, tập {} là đầy đủ ?
(phép | hay NAND và  hay NOR được định nghĩa:
1|1 = ? , 1|0 = ? ,0|1 = ? ,0|0 = ? .
11 = ? , 10 = ? , 01 =? ,0 0 = ? .)
07-09-2007
Bài giảng Môn học
16
Tính đầy đủ (tt)
•
•
•
•
Tập {., } là đầy đủ vì: x + y = x y
Tập {+, } là đầy đủ vì: x.y = ?
Tập {|} là đầy đủ vì: x = x|y
xy = (x|y)|(y|x)
Tập {} là đầy đủ vì: ?
07-09-2007
Bài giảng Môn học
17
Các cổng logic
• Các loại cổng cơ bản:
– Cổng NOT hay bộ đảo:
x
– Cổng AND:
x
y
– Cổng OR
x
y
07-09-2007
Bài giảng Môn học
x
xy
x+y
18
Các cổng logic (tt)
• Các cổng có n đầu vào:
x1
x2
xn
x1
x2
xn
07-09-2007
x1 x2… xn
x1 + x2 +…+ xn
Bài giảng Môn học
19
Mạch tổ hợp
• Ví dụ 1: Dựng các mạch tạo các đầu ra sau:
a) (x + y)x ;
b) (x + y +z)( x y z )
Giải:
a) x
x+y
(x + y)x
y
z
b)
?
07-09-2007
x
Bài giảng Môn học
20
Mạch tổ hợp (tt)
• Ví dụ 2: Một ủy ban gồm ba thành viên phải quyết định
các vấn đề của một tổ chức. Mỗi thành viên bỏ phiếu
tán thành hoặc không cho mỗi một đề nghị được đưa ra.
Một đề nghị được thông qua nếu nó nhận được ít nhất
hai phiếu tán thành. Hãy thiết kế một mạch cho phép
xác định được một đề nghị có được thông qua hay
không.
(Lưu ý: Các mạch mà đầu ra chỉ phụ thuộc vào đầu vào
chứ không phụ thuộc vào trạng thái hiện thời của mạch,
được gọi là các mạch tổ hợp)
07-09-2007
Bài giảng Môn học
21
Mạch tổ hợp (tt)
Giải:
Biểu diễn của hàm Boole có giá trị đầu ra là:
xy + xz + yz
 Mạch bỏ phiếu theo đa số:
07-09-2007
x
y
xy
x
z
xz
y
z
yz
xy + xz + yz
Bài giảng Môn học
22
Bộ cộng
• Bộ nửa cộng: Cộng hai bit, không xét đến số nhớ từ
phép cộng trước.
x
y
Bộ nửa
cộng
s
c
• Bảng giá trị của bộ nữa cộng:
x
1
1
0
0
07-09-2007
y
1
0
1
0
s
0
1
1
0
Bài giảng Môn học
c
1
0
0
0
23
Bộ cộng (tt)
• Bộ công đầy đủ: Dùng để tính bit tổng và bit nhớ khi
hai bit được cộng cùng với số nhớ từ trước.
• Bảng giá trị cho bộ cộng đầy đủ
x
1
1
1
1
0
0
0
07-09-2007
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
cin
s
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
Bài giảng Môn học
0
0
cout
1
1
1
0
1
0
0
0
24
Bộ cộng (tt)
• Bộ cộng đầy đủ:
x
y
cin
07-09-2007
Bộ
cộng
đầy
đủ
Bài giảng Môn học
s
cout
25
Bộ cộng (tt)
• Ví dụ: Mạch cộng hai số nguyên dương ba bit (x0 x1 x2)
và (y0 y1 y2)
xo
yo
x1
y1
Bộ nữa
cộng
co
Bộ
cộng
đầy c1
đủ
x2
y2
07-09-2007
Bài giảng Môn học
so
s1`
Bộ
cộng
đầy
đủ
s2
c2 = s3
26
Cực tiểu hóa các mạch
• Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z =
1 hoặc x = z = 1 và y = 0.
Giải
Cách 1:
Cách 2:
Khai triển tổng các tích của
Khai triển tổng các tích của
mạch là: xyz + xyz
mạch là: xyz + xyz .
.
Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz
= 1.xz
=
xz
07-09-2007
Bài giảng Môn học
27
Cực tiểu hóa các mạch
• Ví dụ: Dựng mạch có đầu ra ra bằng 1 nếu và chỉ nếu x = y = z =
1 hoặc x = z = 1 và y = 0.
Giải
Cách 1:
Cách 2:
Khai triển tổng các tích của
Khai triển tổng các tích của
mạch là: xyz + xyz
mạch là: xyz + xyz .
x .
Ta có: xyz +xyz = (y + y)xz
xyz
y
= 1.xz
z
xyz + xyz
=
xz
x
y
z
y
07-09-2007
x
z
xyz
Bài giảng Môn học
xz
28
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Bản đồ Karnaugh: Cho chúng ta một phương pháp
trực quan để rút gọn khai triển tổng các tích.
07-09-2007
Bài giảng Môn học
29
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Bản đồ Karnaugh hai biến:
x
x
y
xy
xy
y
xy
xy
• Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho
a) xy + xy
b) xy + xy
c) xy + xy + xy
y
y
y
x
1
1
x
x
0
0
x
07-09-2007
y
y
?
y
x
?
x
Bài giảng Môn học
30
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Bản đồ Karnaugh hai biến:
x
x
y
xy
xy
y
xy
xy
• Ví dụ: Tìm bảng đồ Karnaugh cho
a) xy + xy
b) xy + xy
c) xy + xy + xy
y
y
y
x
1
1
x
x
0
0
x
y
y
 07-09-2007
xy + xy = x , xy + xy Bài
= giảng
? Môn học
?
y
x
x
, xy + xy + xy =? 31
?
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Bảng đồ Karnaugh ba biến:
yz
yz
yz
yz
x
x
07-09-2007
Bài giảng Môn học
32
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaugh rút gọn khai triển tổng
các tích sau:
a) xyz  x yz  xyz  x yz
b) x yz  x yz  xyz  x yz  x yz
c) xyz xyz  x yz  x yz  xyz  x yz  x yz
07-09-2007
Bài giảng Môn học
33
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
Giải:
a)
yz
x
x
1
yz
yz
1
1
yz
1
 xyz  xyz  xyz xyz  xz  yz  xyz
07-09-2007
Bài giảng Môn học
34
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
Giải:
b)
yz
x
x
1
yz
yz
yz
1
1
1
1
 xyz  xyz  xyz xyz  xyz  ?
07-09-2007
Bài giảng Môn học
35
Cực tiểu hóa các mạch (tt)
• Bảng đồ Karnaugh bốn biến:
?
?
?
?
?
?
?
?
• Ví dụ: Dùng bảng đồ Karnaught rút gọn khai triển tổng
các tích:
wxyz wxyz  wxyz  wxyz wxyz  wxyz  wxyz  wxyz wxyz
07-09-2007
Bài giảng Môn học
36