Transcript Элементы теории вероятностей - Применение теории игр в

Применение теории игр в политике и
экономике
Лекция 3. Элементы теории вероятностей
Необходимое оборудование
• Карты
– Игра занимает меня сильно, — сказал Германн, но
я не в состоянии жертвовать необходимым в
надежде приобрести излишнее.
А.С.Пушкин, «Пиковая дама»
• Кости
• Русская рулетка
– Доктор, эти господа, вероятно второпях, забыли
положить пулю в мой пистолет: прошу вас зарядить его
снова, — и хорошенько.
М.Ю.Лермонтов, «Княжна Мери»
Диаграммы Венна
Ω
Событие Ã (не
A)
A
Событие
А
B
Пересечение событий A и B
A∩B
Объединение событий A и B
AB
События A и B несовместимы,
если A∩B= (пустое множество)
N B: A  A  B  B  
Вероятность события A
df1 (классическое) отношение числа m благоприятствующих событию A равновозможных исходов к общему числу всех
элементарных, несовместимых и равновозможных исходов (N) испытания.
P  A 
m
N
Вероятность: пример
• Русская рулетка с 1 патроном в барабане (7зарядный револьвер)
– 7 элементарных несовместимых исходов
– элементарные исходы равновозможны
P
P

1

6
 14, 3%
7
7
 85, 7%
Свойства вероятности
1  P  A   0,
гд е P  A   1 - д остоверн ое соб ы ти е,
а P  A   0 - н евозм ож н ое соб ы ти е.
Вероятность события A
df2 (частотное) предел отношения числа m
испытаний, при котором произошло событие
A, к общему числу (N) испытаний, при N.
P  A   lim
N 
m
N
Вероятность: пример
NB Расчет вероятности в русской рулетке по
частотному определению может быть весьма
дорогостоящим! (Pчеловеческая жизнь )
• Испытания систем вооружения (артиллерия,
стрелковое оружие и боеприпасы, ракетная
техника – до 1970-х гг.)
– отстреляно 3000 патронов
– 5 осечек
– вероятность осечки 5/3000=0,1(6)%
Вероятность события A
df3 (субъективное) степень рациональной
уверенности в том, что событие может
произойти
Взаимоисключающие события
df появление одного события в испытании
достоверно препятствует появлению другого
события в том же испытании
• Пример:
– выпадение решетки и
– зависание монеты в воздухе
Свойства вероятности
N исходов
Ω
Событие
А
m исходов
PA 
N m
 1
N
P  A  1 P  A
m
N
Условная
N исходов вероятность
m исходов
A
• Какова вероятность того,
z исходов
что событие A произошло,
B
если мы знаем, что событие
B произошло?
NB Нам нужно думать не о
k исходов
всех исходах, а только о
z тех, что входят в событие B
z
PA | B   N
k
k
N
PA | B 
PA B
PB
Правило умножения
A
P(A|B)
B
• Как можно вычислить
вероятность
пересечения событий A
и B, имея данные о
P(A|B) и P(B)?
P(B)
PA | B 
PA B
PB
P A  B  P A | BPB
Сложение вероятностей
N исходов
m исходов
A
B
• Какая вероятность
z исходов
появления одного из
событий A и B или
обоих событий сразу?
k исходов
PA B 
mkz
N

m
N

k
N

z
N
P  A  B   P  A  P B   P  A  B 
Формула Байеса
• Как извлечь информацию из наблюдений
случайных событий?
• Вероятность посылки 3 авианосцев в
Корейское море, если:
– США решили разобраться с КНДР
– США решили не трогать КНДР
— 70%
— 20%
• Оценка вероятности кризиса
—60%
• 3 авианосца обнаружены. Какая
вероятность кризиса с учетом этого факта?
Формула Байеса
PA | B 
P B | A 
PA B
P  A 
PB
PA B
P  A
P  Bi | A  
P  A P  B | A  P  A  B 
P  B | A 
P  A
 PB PA | B 
j
j
j 1
PBPA | B  PA  B
PBPA | B
n
P  Bi  P  A | Bi 
n
 PB PA | B 
j
j 1
j
Формула Байеса
•
•
•
•
•
•
A — посылка 3 авианосцев
B1 — США решили разобраться с КНДР
B2 — США решили не трогать КНДР
P(B1)=60%
P(B2)=1-P(B1)=40%
P(A|B1)=70%; P(A|B2)=20%
Формула Байеса
P  B1 | A  
P  B1 | A  
P  B1  P  A | B1 
P  B1  P  A | B1   P  B 2  P  A | B 2 
0, 6  0, 7
0, 6  0, 7  0, 4  0, 2

0, 42
0, 42  0, 08
 0, 84
• До поступления сведений мы оценивали
кризис как в принципе возможный (60%)
• После появления новой информации мы
видим, что кризис весьма вероятен (84%)
Случайная величина
df Переменная, случайно принимающая численные
значения с определенной вероятностью каждого
значения
• Температура в Москве в полдень (в определенной
точке)
• Число абитуриентов на ФМП
• Средняя оценка курса на экзамене
• Число голосов, поданных за Дж.Буша в шт.Орегон
«Сколько бюллетеней напечатали, столько и подали»
А.Вешняков (из неопубликованного)
Распределение (дискретной)
случайной величины
Очки на игральной кости
i (№ п/п)
p(X=xi)
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
xi
1
2
3
4
5
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
6
6
Математическое ожидание случайной
величины
•
•
•
•
На ФМП организовано казино «Счастливый случай»
Хорошо перетасованная колода карт (52)
Берется 1 карта
ФМП платит
– за A 100 р.
– за K 8 р.
• Студент платит
– за Q 80 р.
– за любую другую карту 1 р.
• Какой доход (в среднем) ожидает ФМП с одного
честного студента?
Математическое ожидание (дискретной)
случайной величины
df Сумма произведений значений случайной
величины на вероятность появления этого
значения
EX
k

i 1
p i xi
Полезность фон Неймана-Моргенштерна
(1944)
df математическое ожидание случайной
полезности (выигрыша) субъекта
• Предполагается, что в ситуациях с риском и
неопределенностью субъекты будут
максимизировать именно ее
• Допущения — нейтральность к риску,
многократность повторения ситуации
– игроку безразлично, играть ли в лотерею {10 р.
(1/10); -1 р. (9/10)} или получить 1 р. наверняка
NB Для однократного выбора не всегда приемлемо
Неопределенность
Границы
вероятности
[0%;100%]
Знания нет
[0%;0%]
Утверждение ложно
[100%;100%]
Утверждение истинно
[65%;100%]
Частичная поддержка
истинности
[0%;75%]
Частичное опровержение
[65%;75%]
Частичные поддержка
и опровержение
[65%;65%]
Известная вероятность
Задания на дом
• В хорошо перетасованной колоде 52 карты. Какая
вероятность того, что Вы вытянете девятку? туз?
карту красной масти? пиковую даму?
• Из колоды в 52 карты случайным образом взята
карта. Вам сказали, что она трефовой масти. Какая
вероятность того, что это тройка?
• Пять монет одновременно брошены на стол. Какая
вероятность выпадения не менее одного "орла"?
Какая вероятность появления двух и более "орлов"?
Задания на дом
В том же вбросе 5 монет факультет обещает
выплачивать Вам за появление каждого "орла"
по 34 копейки, а Вы обещаете выплачивать
факультету за появление каждой "решетки" по
21 копейке. Какой Ваш ожидаемый выигрыш
от одного вброса?
Задания на дом
На Вашем письменном столе лежат россыпью тетради с
обложкой 2 цветов: салатового и темно-синего, причем
каждая тетрадь посвящена одному учебному предмету, но
название предмета на обложке не написано. Вы знаете, что
конспекты по историко-политологическим дисциплинам
есть в 5 тетрадях салатового цвета и 3 темно-синего, по
экономическим предметам — в 4 салатовых и 6 темносиних, по языкам — в 2 салатовых и 2 темно-синих.
Собираясь на занятия, Вы взяли одну тетрадь наобум.
– С какой вероятностью Вам попадется тетрадь по иностранному
языку?
– Тетрадь салатового цвета?
– Посмотрев на тетрадь, Вы видите, что она темно-синего цвета.
Какая вероятность того, что Вы взяли конспект по одному из
экономических предметов?