Элементы теории вероятности и комбинаторики

В10 Учитель математики МАОУ СОШ №53 Безденежных Л.И.

Основные понятия

• • •

1. Испытание

– любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.

2. Исход

конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.

3. Благоприятный исход

исход. желаемый

• •

Случайное событие (СС)

событие, которое либо произойдёт, либо нет.

это

Случайным

которого невозможно точно предсказать заранее.

называется событие, исход • Каждое случайное событие (СС) имеет свою

вероятность

произойти (сбыться, реализоваться).

Определение

• 

Вероятность случайного события

равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов события Вероятность события

не может быть

больше 1 (число благоприятных исходов, понятно, не может превышать общее число исходов события).

Классическое определение вероятности.

Р

(

А

) 

т п

• • • • •

Р

(

А

) 

т п

Р(А)

вероятность события

А

.

m

– число (количество) благоприятных исходов,

n

– число (количество) всех исходов.

ПРАВИЛО:

Вероятность всегда равна от 0 до 1

. Ни меньше, ни больше!

Задача №1

• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Элементы комбинаторики:

• 1. Теорема о перемножении шансов: Пусть множество А состоит из

k

элементов, а множество B — из

m

элементов, тогда можно образовать ровно второй — из множества B.

km

пар, взяв первый элемент из множества A, а

Выборы шариков из урны

• • (или кубиков из ящика, или карточек из коробки, или книг с полки, или изделий из партии, или номер при жеребьёвке и т.д.):

Есть урна

(ящик),

содержащая n пронумерованных объектов

(шаров).

Мы выбираем из этой урны k шаров

; результатом выбора является набор из

k

шаров. Нас интересует,

сколькими способами можно выбрать k шаров из n

, или сколько различных результатов может получиться?

Примеры

• При подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов. Т.к. первая монета принимает 2 результата (орел или решка), вторая тоже два, и третья также два результата.

• Бросая игральную кость три раза, получим 6*6*6=216 различных результатов (исходов).

Задача на применение теоремы об умножении шансов

• №4. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?

возможные

способы выбора

:

•

Выбор с возвращением:

каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. Таким образом, в полученном наборе из

k

шаров могут встречаться одни и те же. •

Выбор без возвращения:

вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же шары .

1.1.

Выбор с

возвращением и учётом порядка

Размещение с повторениями

п k

• 1.2.

Выбор с возвращением и без учёта порядка:

• Сочетания с повторениями

С n k



A n k P k

•

Выбор без возвращения

с

учётом порядка:

•

Выбор без возвращения

без учёта порядка :

•

Размещение без повторения

•

Сочетания без повторений

А k п



k n

!

!

  !

С n k



A n k P k

Найти число возможных результатов подбрасывания трёх игральных костей, если кости считаются неразличимыми. •

Решение.

С первой кости берём числа от 1 до 6, со второй тоже с 1 до 6, с третьей с одного до 6. Три набора, все числа повторяются, порядок учитывается. Следовательно, это размещение с повторениями 6 3  216

Ответ: 216

Задача

• Водитель-дальнобойщик отправляется в рейс «Москва—Екатеринбург». Во время рейса он планирует сделать ровно 5 остановок в городах, где живут его друзья. Однако на пути следования ему встретятся 18 таких городов, в том числе Нижний Новгород, где живет Вася — лучший друг. Сколькими различными способами дальнобойщик может выбрать города для остановки, если Нижний Новгород обязательно должен быть среди них?

•

Решение

. В данном случае на трассе порядок городов не будет меняться, лишь надо выбрать из 18 городов 5, с учетом того, что 1 город – Нижний Новгород, следовательно остаётся выбрать наборы по 4 города из оставшихся 17, это сочетание без повторений

С

4 17  17  16  15  14 1  2  3  4  2380

Задача

• В холодильнике лежат 8 видов кошачьего корма в консервах и 4 вида молока. Ежедневный рацион кота состоит из 2 видов корма и 2 видов молока. Сколькими способами можно накормить кота, если в рацион обязательно должно входить молоко марки «Русское» стоимостью 87 рублей за 1 литр?

•

Решение.

В рацион должно входить молоко марки «Русское», поэтому надо выбрать ещё 1 молоко из оставшихся 3-х • и 2 вида корма из 8 видов корма в консервах. • И выбор молока сочетаем с количеством выбора корма:

С

1 3 

С

8 2  3 1 8 1   7 2  84 .

Закон умножения в комбинаторике

•

Независимыми

называются

два события

другого. , если появление одного из них не влияет на вероятность появления • число сочетаний (способов, комбинаций) в

независимых

наборах умножается.

Выполнение

независимых

событий А

и

В

• Другими словами, пусть имеется

A

способов выполнить одно действие и

B

способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить

И

первое,

И

второе действие по формуле:

C

=

A

·

B

.

В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных

С

 8 2 12

С

2 12   66

•

Закон умножения

независимы.

показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых – при условии, что все они

Отличие законов умножения и сложения в комбинаторике

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот.

Закон сложения • взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно. события – такие • Пример: «Петя вынул из кармана 1 монету» или «Петя не вынул из кармана ни одной монеты»

Закон сложения в комбинаторике

• Если одно действие можно выполнить А способами, а другое – В способами, и эти действия взаимоисключающие, то эти события можно объединить и возникнет новое событие, которое можно выполнить

Х = А + В

способами.

Задача

• В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет? Ответ: 1271.

Решение.

• По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае,

k

= 3.

• В случае с розами придется выбирать из

n

= 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно 455. Для тюльпанов же

n

= 18, а число сочетаний 816.

• Поскольку розы и тюльпаны — это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов

X

= 455 + 816 = 1271

• Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

• Закон сложения – это логическое ИЛИ в комбинаторике, когда нас устраивает любой из возможных взаимоисключающих вариантов.

И наоборот,

закон умножения

— это логическое

«И»,

при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Решим несколько задач на законы умножения и сложения, находя отличия.

Задача

• • В ящике лежат цветные карточки: 12 красных, 9 зеленых и 5 синих. Сколькими способами можно достать из ящика 2 карточки одного цвета?

Реш.

Действия взаимоисключающие

С

2 12 

С

9 2 

С

5 2 Ответ: 112.

Задача

• В ассортименте магазина есть 12 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Сотрудники компании собирают для директора новогодний подарок. Выяснилось, что директор любит конфеты и карамель, поэтому в подарок должны входить 3 вида конфет и 3 вида карамели. Сколькими способами можно составить такой подарок? Ответ:12320

• В подарок должно входить И 3 вида конфет, И 3 вида карамели. Набор конфеты как независимое событие от набора карамели. Количество способов выполнения этих независимых событий находится по закону умножения.

С

3 12 

С

8 3 

Задача

• В ассортименте магазина есть 12 видов шоколадных конфет и 8 видов карамели. Сотрудники компании собирают для директора новогодний подарок, который должен содержать либо 3 вида конфет, либо 3 вида карамели. Смешивать в одном подарке конфеты и карамель запрещается. Сколькими способами можно собрать такой подарок? Ответ: 276.

•

Решение.

Смешивать в одном подарке конфеты и карамель нельзя. Следовательно, количество подарков равно сумме возможных способов составления подарков из конфет и количества подарков из карамели.

С

3 12 

С

8 3  276

Дополнительные условия.

• Дополнительные условия, присутствующие в тексте задачи накладывают существенные ограничения на интересующее нас сочетание.

•

Сравнить задачи

1 . Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?

• 2. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

Чувствуете разницу?

• 1) Вправе брать любые цвета. Значит, число сочетаний из 5 по 3.

• 2) Из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из

n

= 5 − 1 = 4 элементов по

k

= 3 − 1 = 2 элемента • Это сочетание из 4 по 2

Задача

• У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Решение

• Итак, есть

n

= 8 монет. Петя перекладывает

k

= 3 монеты, из которых 2 — десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа

n

и

k

надо уменьшить на 2. Имеем:

С

8 3   1 2 

С

1 6  6 1 !

Вывод:

• • Эти примеры наглядно демонстрируют, что введение любых ограничений значительно сокращает нашу «свободу выбора».

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Задачи на вероятность

• где число всех исходов и число благоприятных исходов находим с помощью сочетаний.

Задача

• В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу шара будут черными. Ответ округлить до сотых.

Ответ: 0,15

• •

Решение

. Пусть А – событие вынуты два черных шара. • Всего возможных вариантов выбрать из 12+8 =20 шаров по 2 шара

С

2 20  20 1   19 2  190 • благоприятных исходов из 8 черных взять 2 – это

С

8 2  8  7 1  2  28

• По классическому определению вероятности имеем

Р



С

8 2

С

2 20  28 190  0 , 147 ...

 0 , 15

Независимые события

•

Вероятность

событий (

вероятностей

совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих

теорема об умножении

).

Несовместные события

•

Вероятность

событий (

вероятностей

появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих

теорема о сложении

).

Задача

• Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь, Н, М наугад одну за другой вынимают и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что появится слово а) «НIС»; б) «CIM»? • Пусть появится нужное слово – это событие В.

Решение а), б) - одинаково

• Каждый вариант получившегося «слова» является размещением из 6-ти элементов по 3. Число таких вариантов равно

А

6 3  6  5  4  120 • Из эти вариантов правильным будет 1.

Р

(

В

) 

т п

 1 120  0 , 0083

Задача • В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность того, что эти цветки: а) оба белые; б) оба красные; в) разного цвета; г) одного цвета.

Задача • Вероятность того, что в течении одной смены возникнет поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не возникнет ни одной поломки за три смены?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что в течении одной смены возникнет поломка станка. По условию задачи вероятность этого события равна Р(А) = 0,05. Противоположное событие состоит в том, что в течении одной смены поломка станка НЕ возникнет.

 0,95 Искомая вероятность события )  ( ) ( ) 