Transcript Теория вероятности

Теория Вероятности
ЗАДАЧИ В10
Задача.

Студент при подготовке к экзамену не
успел выучить один из тех 25 билетов,
которые будут предложены на экзамене.
Какова вероятность того, что студенту
достанется на экзамене выученный билет?
Элементы теории вероятностей.
1. Случайное событие (СС)- это
событие, которое либо произойдёт, либо
нет.
Элементы теории вероятностей.
2. Каждое случайное событие (СС) имеет
свою вероятность произойти (сбыться,
реализоваться).
Примеры:

Вероятность восхода солнца рано утром =
100%.

Вероятность выпадения восьмёрки на
игральной кости (кубике) = 0%, т.к. 8-рки нет
на кубике.
Элементы теории вероятностей.
3. Испытание – любое действие, которое
может привести к одному или нескольким
результатам.
4. Исход - конечный результат испытания.
Значит испытание может иметь один или
несколько исходов.
Например:
1. Бросаете монету – это испытание.
Исходы – орёл, решка.
2. Подбросили кубик (иногда называют
игральной костью) – это испытание.
Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – это исходы.
Элементы теории вероятностей.
5. Благоприятный исход - желаемый исход.
Примеры:
1. Бросаете монету. Хочу, чтобы выпала решка,
=> благоприятный исход = выпала решка.
Значит выпадение орла – неблагоприятный
исход.
Примеры:
2. Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на
отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно
и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо.
Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо.
ЗАПОМНИ:
Классическая формула
вероятности или классическое
определение вероятности.

Пример:
Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на
хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать
на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо.
А какова вероятность сдать на хорошо?
Решение:
m = 5.
n =20.
Значит, Р(А) = 5/20 = 0,25.
Задача.
Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25
билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность
того, что студенту достанется на экзамене выученный билет?
Элементы
комбинаторики
Теорема о перемножении шансов:
Пусть множество А состоит из k элементов, а
множество B — из m элементов, тогда можно
образовать ровно km пар, взяв первый элемент из
множества A, а второй — из множества B.
т.е., если первый элемент можно выбрать k
способами, а второй элемент — m
способами, то пару элементов можно
выбрать km способами.
Примеры:
1. Подбрасывается три монеты. Сколько
различных результатов получим?
2. Бросаем дважды игральную кость. Сколько
получим различных результатов?
Задачи на осмысление
1. Сколько трёхзначных чисел бывает?
2. Сколько существует трёхзначных чисел, все
цифры которых различны?
3. Сколько чётных трёхзначных чисел
возможно?
Элементы
комбинаторики
2. Выборы шариков из урны (или кубиков из ящика, или
карточек из коробки, или книг с полки, или изделий из
партии, или номер при жеребьёвке и т.д.):
Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных
объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров;
результатом выбора является набор из k шаров.
Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k
шаров из n, или сколько различных результатов может
получиться?
Способы выбора
1. Выбор без возвращения: вынутые шары в
урну не возвращаются, и в полученном наборе
не могут встречаться одни и те же шары.
а) размещения
б) перестановки
в) сочетания
Способы выбора
2. Выбор с возвращением:
каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый
следующий шар выбирается из полной урны.
Таким образом, в полученном наборе из k шаров
могут встречаться одни и те же.
а) размещения с повторением
б) сочетания с повторением
Выборы шариков из урны
Надо определить четко:
1. Можно ли шары возвращать в урну (книги
на полку, карточки с номерами в коробку для
жеребьёвки и т.д.)?
2. Учитывать порядок или нет?
Шпаргалка

Размещениями из n элементов по k
элементов называют упорядоченные
комбинации, отличающиеся друг от друга
либо порядком элементов, либо самими
элементами.
n - количество элементов
k - сколько элементов выбираем
Пример

В соревнованиях участвуют команды из 10
человек. Награждаются 3 участника,
занявшие первые 3 места. Сколькими
способами могут быть награждены эти
участники?
Перестановки – это комбинации из n
элементов по n.
Различаются друг от друга только порядком.

Пример
 Сколько
существует вариантов
выполнения 8 заявок на ремонт
станков?

Сочетания – это комбинации из n
элементов по k элементов, отличающиеся
только составом элементов.
Пример
 На
научную студенческую
конференцию нужно из группы в 20
человек выбрать трех. Сколькими
способами это можно сделать?

Размещения с повторениями - есть
комбинации из n элементов по k, в
которых имеет место упорядоченность и
элементы в комбинации могут
повторяться.
Пример

На станцию тех. обслуживания
доставлено 5 машин для покраски. На
станции имеется 7 видов краски.
Сколькими способами могут быть
окрашены машины?

Сочетания с повторениями – это
комбинации из n элементов по k, которые
отличаются друг от друга только составом
элементов и элементы могут повторяться.
Пример

В кондитерском отделе магазина
имеется 12 видов торта одной цены.
Покупателю нужно купить 3 вида торта.
Сколькими способами это можно
сделать?
Задачи
1. Папа, мама, сын и дочка бросили жребийкому мыть посуду. Найдите вероятность того,
что посуду будет мыть мама.
2. В случайном эксперименте бросают две
игральные кости. Найдите вероятность
того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат
округлите до сотых.
Задачи
3. На детский праздник приглашены 12
детей. Из них 5 мальчиков.
Сколькими способами можно рассадить
детей за круглым столом, если мальчики
категорически отказались сидеть среди
девочек?
Задачи
4. В розыгрыше кубка страны по футболу
берут участие 17 команд. Сколько
существует способов распределить золотую,
серебряную и бронзовую медали?
5. В урне находится 6 шаров: 1 белый, 2
красных и 3черных. Наугад вытаскивают 3
шара. Какова вероятность того, что среди
вытащенных шаров ровно 1 будет черным?
Задачи
6. Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь, Н, М
наугад одну за другой вынимают и
раскладывают в ряд в порядке появления.
Какова вероятность того, что появится слово
а) «НIС»;
б) «CIM»?
Задачи для
самостоятельного решения
1. Обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв.
Сколько слов (набор букв) она может напечатать?
2. Женя, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из
десяти мест в классе. Сколькими способами они могут сесть?
3. Найти число возможных результатов подбрасывания трёх
игральных костей, если кости считаются неразличимыми.
4. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти
вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу
шара будут черными.
Задание на дом

В классе 20 чел. Сколькими способами
можно выбрать 2 чел. для конкурса?

Имеется стопка из 25 книг. Сколькими
способами можно выбрать 3 книги?