Transcript УРОК 4. Элементы комбинаторики. Задачи на непосредственный подсчет вероятностей Комбинаторика изучает количество комбинаций (подчиненное определенным условиям), которое можно составить из элементов некоторого заданного конечного множества. Определение.

УРОК 4.
Элементы
комбинаторики.
Задачи на непосредственный подсчет
вероятностей
Комбинаторика изучает количество комбинаций
(подчиненное определенным условиям), которое можно
составить из элементов некоторого заданного конечного
множества.
Определение. Размещениями называются комбинации,
составленные из n различных по m элементов, которые
отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Пусть {a1,a2,…,an} – множество из n элементов. Тогда
любое упорядоченное его подмножество из m элементов
называется размещением из n элементов по m.
Например, рассмотрим множество
A={1,2,3,,,,4,5}.
Пусть m=3. Тогда можно рассмотреть следующие
размещения из 5 элементов по 3:
(1,3,5), (5,3,1), (4,2,1) и т.д.
Найдем число размещений без повторений из n
элементов некоторого множества по m. Первым элементом
x1 может стать любой элемент из n элементов заданного
множества, то есть получаем n возможностей выбора. Если
элемент x1 уже выбран, то второй элемент x2 можно выбрать
уже n-1 способом, так как повторение первого элемента не
допускается. Аналогично, при выбранных x1и x2, третий
элемент x3 можно выбрать n-2 способами и т.д. вплоть до
элемента xm .
Элемент xm можно выбрать n-(m-1) способами, так как до
него уже выбраны первые m-1 элементы, ни один из
которых не должен повториться. Тогда получаем, что
число размещений из n элементов по m элементов
выражается формулой:
n!
A  n(n  1)...(n  m  1) 
.
(n  m)!
m
n
Определение. Перестановками называются
комбинации, составленные из одних и тех же n различных
элементов и отличающиеся только порядком их
расположения. (или перестановка – это взаимно
однозначное отображение множества первых n натуральных
чисел в себя).
Замечание.
1) Размещения из n элементов по n элементов
называются перестановками из n элементов.
2) Число всевозможных перестановок pn=n!
Определение. Сочетаниями
называются
комбинации, составленные из n различных элементов по
m элементов, которые отличаются хотя бы одним
элементом.
Например, из множества {a,b,c,d,f} можно составить 10
сочетаний по 3 элемента в каждом:
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,f}, {a,c,d}, {a,c,f},
{a,d,f}, {b,c,d}, {b,c,f}, {b,d,f}, {c,d,f}.
Число сочетаний из n элементов по m элементов
равно
n!
m
Cn 
m !(n  m)!
Примеры.
1.В классе 22 места. Сколькими способами
можно рассадить 15 школьников?
15
A22
 22  21 ...  (22  15  1)  22  21 ...  8.
2. Сколько пятизначных чисел можно составить
из цифр {1,2,3,4,5}, так чтобы ни одна цифра не
повторялась?
Pn=n!=5!=120.
3. Сколько трехзначных чисел можно составить из
цифр {1,2,3,4,5}, так чтобы ни одна цифра не
повторялась?
A53  5  4  3  60
4) Сколькими способами можно составить команду из
4 человек для соревнований по бегу, если имеется 7
бегунов.
7!
4
C7 
 35.
4!(7  4)!
Замечание. Если бы команда выбиралась для
эстафетного бега, то число способов выбора
было бы равно
A74  35  4!  35  24  840
так как играет роль порядок выбора
спортсменов.
5) Сколькими способами можно выбрать 2 детали
из ящика, содержащего 10 деталей.
10!
C 
 45.
2!(10  2)!
2
10
Свойства сочетаний.
1)Cn0  C00  1,
n!
0
Cn 
0!(n  0)!
2)Cnm  Cnn m ,
n!
n!
m
nm
Cn 
, Cn 
m !(n  m)!
(n  m)!(n  n  m)!
3)Cn1  Cnn 1  n,
4) Ank  Cnk pk
n!
n!
k
A 
, Cn 

(n  k )!
k !(n  k )!
k
n
Ank  Cnk k !  Cnk pk .