Transcript Задачи по теории вероятности

ПО ТЕМЕ
«КОМБИНАТОРИКА,
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Определение:
Запомните!!!
Перестановкой называется множество из n
элементов, записанных в определённом
порядке.
Теорема о перестановках элементов
конечного множества:
n различных элементов можно расставить
по одному на n различных мест ровно
n! способами.
Рn=n!
Задача:
Антон, Борис и Виктор купили
3 билета на футбол на 1-е, 2-е, 3е места первого ряда стадиона.
Сколькими способами
мальчики могут занять эти
места?
Решение задачи:
Может быть такая последовательность:
А Б В
А В Б
Заметим,
Может быть
и так:
что 3!=1•2•3=6
Б В А
Б А В
А может быть и так:
В А Б
Ответ: 6 вариантов
В Б А
Задача:
В n-ном классе в среду 6 уроков: математика,
литература, русский язык, английский язык,
биология и физкультура. Сколько вариантов
расписания можно составить?
Расставляем предметы по порядку
Предмет
Математика
Литература
Русский язык
Английский язык
Биология
Физкультура
Число вариантов
6
Всего вариантов
расписания
5
4
6!=1•2•3•4•5•6=
3
2
1
720
Задача:
В n-ном классе во вторник 5 уроков: физкультура,
русский язык, литература, обществознание и
математика. Сколько можно составить вариантов
расписания на день, зная точно, что математика последний урок?
Чем отличается эта задача от предыдущей?
Какой предмет можно не учитывать при
составлении расписания?
4!=24
Задача:
Сколькими способами можно
переставить буквы в слове
«эскиз»?
5!=120
Задача:
9
!
Сколько слов можно Р 
получить, переставляя
2
!

2
!

2
!

2
!

1
!
буквы в слове
«переправа»?
Чем отличается эта задача от предыдущей?
22680
Запишем следующую формулу:
k!
Р(k1 , k2 ,...kn ) 
Разберём эту формулу на нашем примере: k1!k2!... kn !
Буква «п» встречается 2 раза, «е» – 2 раза, «р» – 2
где«а»
к –сумма
повторений
раза,
– 2 раза,
«в» – 1 раз,различных
значит, букв, а
к1,к2,… - повторения
каждой
различной буквы.
к=2+2+2+2+1=9,
к1=2,к2=2,к
3=2,к4=3,к5=1.
Подставим полученные значения в формулу:
Определение:
Запомните
Размещением называется расположение
“предметов” на некоторых “местах” при
условии, что каждое место занято в точности
одним предметом и все предметы различны.
В размещении учитывается порядок
следования предметов. Так, например,
наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются
различными
Формула:
Запомните
Количество размещений из n по m,
обозначается
А
m
n
и вычисляется по формуле:
n
!
m
Аn 
( n  m)!
Решите самостоятельно
задачу:
Сколько трёхзначных чисел
можно составить из цифр
4,5,6,7,8?
5
!
3
А5  (5  3)!
60
Задача:
Сколько двузначных чисел
можно составить из цифр 1,2,3,4?
В
данной
задаче:
n=4, m=2.
Значит,: надо
Решим
задачу
деревом
переборов
вычислить:
2
4
А
1 2  3  4
4!

А 
(4  2)!
1 2
2
4
Получили такой же
ответ:
12
Задача:
Завучу школы из 8 предметов: алгебра,
геометрия, информатика, физика, химия, ОБЖ,
литература, физическая культура необходимо
составить расписание на один день из 5 уроков.
Сколькими способами можно это сделать?
8!
A 
(8  5)!
5
8
6720
Задача:
Сколько существует двузначных
чисел, в которых цифра десятков и
цифра единиц различны и нечетны?
Всего цифр десять:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
из пять нечётных:1,3,5,7,9.
Значит, в этой задаче n=5(из пяти нечётных
цифр составляются числа) и m=2(т.к. числа
двузначные).
5!
А 
 4  5  20
(5  2)!
2
5
20
Задача:
Набирая номер телефона, абонент забыл
две последние цифры и, помня лишь, что
эти цифры различны, стал набирать их
наудачу. Сколько вариантов ему надо
перебрать, чтобы набрать нужный номер?
10!
A 
(10  2)!
2
10
90
Запомни и выучи!!!
Сочетаниями без повторений
из n элементов по m в
каждом называются такие
соединения, которые
отличаются друг от друга
хотя бы одним элементом.
В сочетаниях без повторений не имеет
значение порядок расположения
элементов в той или иной группе.
Обозначение:
Количество сочетаний из n по m,
обозначается
m
n
C
и вычисляется по формуле:
n!
C 
m!(n  m)!
m
n
17
Задача:
На окружности отмечены 10 точек.
Сколько разных треугольников с
вершинами в этих точках можно
получить?
10!
C 
3!(10  3)!
3
10
120
Задача:
Сколько экзаменационных комиссий,
состоящих из 7 учителей, можно
образовать из 14 педагогов?
14!
С 
7!(14  7)!
7
14
3432
Задача:
1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими
способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них
были 3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.
С10 
4
С
3
5
10!
 210
4!6!
5!

 10
3!2!
Способов выбора былых шаров
Способов выбора черных шаров
По правилу умножения искомое число
4
3
способов равно
С


2100
С
10
5
Задача:
Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две
подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во
второй- не более 9 человек ?
Решение:
С
С
С
3
12
4
12
5
12
 220
Подгруппа из 3 человек
 495
Подгруппа из 4 человек
 792
Подгруппа из 5 человек
Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по
правилу сложения искомое число способов равно:
С
3
12
 С12  С12  1507
4
5
Запомни и выучи!!!
Сочетаниями с повторениями из n
элементов по m называются
соединения, имеющие одинаковый
состав из n элементов, содержащих m
элементов.
Обозначение:
Количество сочетаний с
повторениями из n по m,
обозначается
C
m
n
и вычисляется по формуле:
(n  m  1)!
C 
m!(n  1)!
m
n
Задача:
В кондитерской продаются пирожные эклер,
корзиночка, бисквит, безе, картошка, заварное
(всего 6 сортов). Надо купить 10 пирожных.
Сколькими способами можно это сделать?
(6  10  1)! 15!
C 

10!(6  1)! 10!5!
3003
10
6
Запомни и выучи!!!
Вероятностью события А назовем отношение
числа
благоприятных исходов к общему числу
элементарных исходов.
m
Р ( А) 
n
где m – число благоприятных исходов
n – общее число элементарных исходов
Свойства вероятности
• Свойство 1. Вероятность достоверного
события равна единице.
• Свойство 2. Вероятность невозможного
события равна нулю.
• Свойство 3. Вероятность любого
события не может быть меньше нуля и
больше единицы
0  P( A)  1
Невозможное и достоверное события
Достоверным назовем событие,
наступающее при любом
исходе испытания.
Невозможным назовем событие, не
наступающее ни при одном
исходе испытания.
Достоверное событие: при подбрасывании
монеты
выпадет Орел или Решка.
Невозможные события:
«Встанет на ребро», «Повиснет в воздухе».
Задачи про кубики
Задача.
Преступник имеет 3 ключа. В темноте он открывает дверь
выбирая ключ случайным образом. На открытие каждой из
дверей он тратит 5 сек. Найти вероятность того, что он откроет
все двери за 15 сек.
Решение:
Пусть событие А – “открыты все двери”. Разобьем это событие
на более простые.
Пусть В – “открыта 1-я“, С – “ открыта 2-я“, а D – “ открыта 3-я“.
Тогда, «А»=«ВСD» - по определению произведения событий,
следовательно, Р(А)=Р(ВСD).
По формуле вероятности произведения независимых событий:
Р(ВСD) = Р(В)*Р(C)*Р(D).
Вычислим вероятности событий В, C и D. В этом примере
имеется 3 равновозможных (каждый ключ выбираем из 3-х)
исходов опыта. Каждому из событий В, C и D
благоприятствует 1 из них, поэтому Р(В)=Р(С)=Р(D)= 1/3,
тогда
Р(А) = Р(ВСD) = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/9
Задача. Будут ли события А и В независимыми, если
Р(А)= 1/4, Р(В)=2/3, Р(АВ)= 1/12
Решение:
Р(А) × Р(В) = 1/4 × 2/3 =1/6,
1/6 ≠ 1/12 = Р(АВ),
следовательно,
события не являются независимыми.
Задача. Являются ли события А и В независимыми, если
Р(А)=0,8 , Р(В)=0,6, Р(АВ)=0,48
Решение:
Р(АВ)= Р(А) × Р(В) = 0,8 × 0,6 = 0,48,
0,48 = 0,48, следовательно,
события являются независимыми
Суммой нескольких событий называется событие,
состоящее в наступлении хотя бы одного из них в
результате испытания.
Событие А или событие В,
то есть событие А + событие В
Пример: в ящике находится красный, черный и
белый шары.
А- извлечение черного шара
В- извлечение красного шара
С- извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар
Произведением нескольких событий называется
событие, состоящее в совместном наступлении всех
этих событий в результате испытания.
Событие А и событие В, то есть событие А • событие В
Пример: происходят следующие события:
А- из колоды карт вынута ”дама”
В- вынута карта пиковой масти
А∙В – событие – вынута карта “дама пик”
Задача:
Четыре автора должны
написать книгу из 17 глав,
причем первый и третий должны написать по 5
глав, второй - 4, а четвертый 3 главы книги.
Сколькими способами можно распределить
главы между авторами?
17!12!8!
k  C C C 
5!12!4!8!5!3!
5
17
4
12
5
8
171531360
33
Задача:
В шахматном кружке
занимаются 2 девочки и 7
мальчиков. Для участия в
соревнованиях необходимо
составить команду из 4
человек, в которую должна
входить хотя бы одна девочка.
Сколькими способами можно
это сделать?
k  C C  C C
2
2
2
7
1
2
3
7
56
34
Задача .
На складе имеется 50 деталей, изготовленных
тремя бригадами. Из них 25 изготовлено
первой бригадой, 15-второй и 10 третьей.
Найти вероятность того, что на сборку
поступила деталь, изготовленная второй или
третьей бригадой.
Указания к решению:
а)Определите, о каких событиях идёт речь?
б)Совместны ли данные события?
в)Обозначьте вероятность каждого события
г)Вычислите вероятность наступления каждого
события по классической вероятности
д) примените теорему сложения вероятностей
Р(А)-вероятность поступления детали, изготовленной
первой бригадой.
Р(В)-вероятность поступления детали, изготовленной
второй бригадой.
Р(С)-вероятность поступления детали, изготовленной
третьей бригадой.
Р(А)=25/50=1/2,
Р(В)=15/50=3/10,
Р(С)=10/50=1/5
Р(В+С)= 3/10 +1/5=1/2
Задача 2.
На предприятии 96% изделий признаются пригодными к
использованию, а остальные – бракованными. Из каждой
сотни пригодных изделий в среднем 75 являются
изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что
наугад взятое изделие окажется первого сорта.
Решение:
А – событие, что изделие годно к использованию,
В – изделие первого сорта
Найти Р (АВ)
Р(А)=0,96,
Р(В)=0,75
Р(АВ) = 0,96*0,75=0,72
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
___
Р( А)  Р( А )  1
Вероятность появления хотя бы одного из двух
совместных событий равна сумме
вероятностей этих событий без вероятности
их совместного наступления:
Р( А  В)  Р( А)  Р( В)  Р( АВ)
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность
попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два раза промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Решение:
Результат каждого следующего выстрела не зависит от
предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле»,
«попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит,
вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел: 0,8
3 выстрел: 0,8
4 выстрел: 0,2
5 выстрел: 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий,
получаем, что искомая вероятность равна:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе.
Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится
кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в
обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того,
что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: Рассмотрим события
• А = кофе закончится в первом автомате,
• В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда A∙B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух
совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события,
состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах,
равна 1 − 0,48 = 0,52.
Задания из Открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014
Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила
предоставить на выбор одну из скидок. Либо скидку 5% на
звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе,
либо скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 30%
на услуги мобильного интернета.
Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за
месяц он потратил 580 рублей на звонки абонентам других
компаний в своём регионе, 155 рублей на звонки в другие
регионы и 110 рублей на мобильный интернет. Клиент
предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими
же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя
скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и
пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?
• Звонки в своем регионе 580р. 5%
• Звонки в другие регионы 155р. 20%
• Мобильный интернет
110р. 30%
= 29р.
= 31р
= 33 р.
На диаграмме показано распределение выбросов углекислого газа в атмосферу в 10
странах мира (в миллионах тонн) за 2008 год. Среди представленных стран первое
место по объёму выбросов занимал Пакистан, десятое место — Нигерия.
Какое место среди представленных стран занимал Ирак?
задача
В сборнике билетов
по биологии всего
25 билетов, в двух из них
встречается вопрос
о грибах. На экзамене
школьнику достаётся
один случайно выбранный
билет. Найдите
вероятность того, что
в этом билете не будет
вопроса о грибах.
решение
• Очевидно, вероятность
вытащить билет без
вопроса о грибах равна
23/25, то есть 0,92.
задача
решение
• Стрелок попадает в цель Если вероятность
попадания равна 0,9 —
с вероятностью 0,9.
следовательно,
Найдите вероятность
вероятность промаха 0,1.
того, что он попадёт
Рассуждаем так :
в цель четыре раза
Вероятность двух
выстрела подряд.
попаданий подряд равна
0,9 ·0,9 = 0,81.
А вероятность четырех
попаданий подряд равна
0,9 ·0,9 ·0,9 · 0,9 =
0,6561.
Сайты, рекомендуемые при подготовке к ЕГЭ
• http://live.mephist.ru/show/mathege2010/view/B10/all/ открытый банк задач .
• http://interneturok.ru/ru видеоуроки
• http://www.egetrener.ru/index.php ЕГЭ - тренер
• http://video.yandex.ru/#!/search?text=подготовка к егэ по
математике 2013 с
решениями&where=all&filmId=GenQXHfPUXI
видеоуроки
• http://alexlarin.net/ подготовка к ЕГЭ и ГИА
• http://www.egetrener.ru/treningB.php еще один ЕГЭ тренер