Slide 1

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 2

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 3

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 4

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 5

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 6

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 7

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 8

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 9

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 10

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 11

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 12

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.


Slide 13

Урок1
Случайные события и
вероятность

События в материальном мире можно разбить на
три категории – достоверные, невозможные и
случайные. Например, если подбросить игральную
кость, то достоверно, что число выпавших очков будет
натуральным числом, не возможно, чтобы это число
равнялось 10, и возможно, что оно будет равно
2. Однако, возможно также, что это число
будет равно 1,3,4,5,6.
Потребности практики привели математиков к
изучению случайных событий. Например, при
организации телефонной связи в некотором районе
нужно знать число вызовов в каждый момент времени, а
оно случайным образом изменяется с течением времени.

Основные понятия теории
вероятностей.
Случайные события и их
вероятности.

Определение.
Случайный эксперимент S (опыт) –
эксперимент, результат которого не
может быть точно предсказан.

Определение.
Случайное событие (А, В, С и т.п.) – результат
случайного эксперимента. Это событие, которое при
заданном комплексе условий может как произойти,
так и не произойти.
Например, если брошена монета, то она может
упасть так, что сверху будет либо герб, либо решка.
Поэтому событие « при бросании монеты выпал
герб» - это случайное событие.

Рассмотрим множество Ω всех возможных
взаимно исключающих друг друга исходов некоторого
испытания. Это множество будем называть
пространством элементарных исходов.
Случайное событие А- некоторое подмножество
множества Ω.
Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
на 4 равные области. Выстрел – это случайный
эксперимент. Попадание в определенную область
мишени – это случайное событие.
В
А

D

С

Ω = {A,B,C,D,F}, где событие F –
стрелок не попал в мишень

Определение.
Достоверное событие U – событие, которое в
данных условиях обязательно произойдет.
Невозможное событие V – событие, которое в
данных условиях никогда не произойдет.
Пример. В сосуде находится вода при нормальном
атмосферном давлении и температуре 200. В этом
случае событие « вода находится в жидком
состоянии» - достоверное событие, а событие « вода
находится в твердом состоянии» - невозможное
событие

Определение. События А и В называются
несовместными, если их совместное появление в
данном опыте невозможно или, другими словами,
наступление одного из событий исключает
возможность наступления другого.
Примеры. 1. При бросании монеты появление герба
исключает появление решки, следовательно, события
« появился герб» и « появилась решка» несовместные события.
2. Бросаем кубик. События « число очков, выпавших
на кубике четное » и « число очков, выпавших на
кубике равно 4 » - совместные события.

Определение. Произведением (совмещением) двух
событий А и В называется общая часть множеств
исходов, составляющих события А и В. Или
другими словами, совмещением двух событий А и
В называется новое событие АВ (или АВ), в
результате которого происходит как событие А , так
и событие В.

Определение. Суммой двух событий А и В
называется событие А+В (или АВ) , состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий: или
А, или В, или А и В вместе.

Пример. Из ящика с деталями ( стандартные,
нестандартные, окрашенные, неокрашенные)
наудачу извлекают деталь. Событие А – деталь
стандартная, событие В – деталь окрашенная. Тогда
событие А+В – деталь либо стандартная, либо
окрашенная, а событие АВ - деталь стандартная и
окрашенная.

Пример. Бросаем монету три раза.
События
А - появление герба при первом бросании,
В - появление герба при втором бросании,
С - появление герба при третьем бросании.
Тогда АВС - появление герба при трех
бросаниях.

Определение. События А1, А2,..., Аn образуют

полную группу событий, если в результате
испытания обязательно должно произойти одно и
только одно из них. Это значит, что данные события
попарно несовместны и в сумме образуют
достоверное событие, т.е., АiАj = V (i  j) и А1+
А2+... Аn = U.

Пример. Стрелок произвел выстрел по
мишени. Событие А- стрелок попал в
цель, событие В – промахнулся. Эти два
события несовместны и в результате
испытания обязательно какое-то из этих
событий произойдет. Ω={А,В}. События
А и В образуют полную группу.

Определение. События А и Ā называются
противоположными, если они образуют полную
группу событий, т.е. А+Ā=U, АĀ= V.
Другими словами, событие Ā состоит в не
наступлении события А.
В предыдущем примере: А- попадание,
Ā=В – промах.

Определение.
События называются равновозможными, если есть
основание считать, что одно из них не является более
возможным, чем другое.
Например, появление герба и появление решки при
бросании монеты – равновозможные события, так как
предполагается, что монета изготовлена из однородного
материала, имеет правильную огранку и наличие чеканки
не влияет на выпадение той или иной стороны монеты.