Transcript Logika Matematika Pertemuan 4

PERTEMUAN IV
Metoda Pembuktian dlm Matematika
Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam
matematika yaitu :

Bukti langsung
Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan
kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk
teorema, implikasi, biimplikasi dll.
 Contoh :
Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga
bilangan ganjil.
Jawab :
x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat.
akibatnya x2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
2n2 = bulat
2n = bulat
jadi 2n2 + 2n = bulat
jadi 2(2n2 + 2n) + 1 = ganjil, x2 ganjil.

Bukti Tak Langsung
Suatu implikasi dapat dibuktikan secara
tak langsung dari kontra positip, karena
implikasi ekivalen dengan
kontrapositipnya.
pqΞ~q~p
Contoh :
Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil
maka kedua bilangan tersebut ganjil.
Jwb :
Implikasi
:
Kontra positip :
x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil
x genap atau y genap  x.y genap
x = 2n = genap, n bilangan asli
Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2
Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga
Implikasinya juga benar.
Bukti
dengan Kontradiksi
Digunakan sebagai alternatif
terakhir dalam kasus bukti
langsung dan tak langsung tidak
dapat digunakan.
Dari soal p  q
Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan
menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan
sesuatu yang kita anggap benar.
Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah
sehingga ~ (~ q) benar.
Contoh :

Jika x2 = 2 maka x bukan bilangan rasional.
x2 = 2  x bukan rasional
Misalkan x bilangan rasional maka
x = m/n,
m = bilangan bulat, relatif prima
n = bilangan asli, relatif prima
Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor
persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ )
x2 = 2 = m2/n2
2n2 = m2,
2n2 genap maka m2 genap sehingga m genap
Karena m dan n relatif prima maka n harus
ganjil (1)

m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat
m2 = 4k2 juga genap, padahal 2n2 = m2 , jadi 2n2 = 4k2
atau n2 = 2k2 berarti n2 genap sehingga n genap (2).
Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh
pengandaian bahwa x bilangan rasional.
jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya
sama dengan 2 ( terbukti )

Bukti dng Induksi Mat.
Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n.
Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan
dengan cara menunjukkan bahwa :
1.
P(1) benar.
2.
Andaikan P(n) benar maka P(n+1)
juga benar.

CONTOH :
jwb :
Buktikan !
P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y
untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y
 P(1) benar
Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar.
P(n+1) = x2(n+1)-1 + y2(n+1)-1
= x2n+1 + y2n+1 = x2 x2n-1 + y2 y2n-1
= x2 x2n-1 + x2 y2n-1 - x2 y2n-1 + y2 y2n-1
= x2 (x2n-1 + y2n-1) - y2n-1(x2 - y2)
Karena P(n) benar maka suku pertama
habis dibagi x+y
Karena x2 - y2 = (x+y)(x-y) maka
suku kedua juga habis dibagi x+y
 P(n+1) habis dibagi x+y
 Tugas
perseorangan :
Kumpulkan masing-masing 2 soal
dan penyelesaiannya tentang
pembuktian langsung, tak langsung
dan induksi matematik
 Tugas
kelompok :
Presentasikan pada pertemuan ke 6
sebuah persoalan dan penyelesaiannya
“pembuktian dengan kontradiksi”
T E R I M A KA S I H