Transcript Analisa Numerik

Analisa Numerik
Integrasi Numerik
Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi
•
Review ide pemakaian polinom interpolasi dlm.
menaksir turunan dan integrasi :
1. f(x) diketahui, tetapi sulit dioperasikan (turunkan, integrasi).
2. f(x) tdk. diketahui, tetapi harga f(x) pd. titik x0, x1, ..., xk
diketahui.
•
Jk. L adalah operator pengganti turunan atau integrasi,
mk. penaksiran harga turunan atau integrasi secara
umum berbentuk :
L ( x )  L ( Pk )  Const h f
r
•
( r 1)
( )
Proses penggantian L(f) dng. L(Pk) disebut diskritisasi,
r
( r 1)
Const h f
( ) disebut kesalahan diskritisasi.
2
Review Ide Pemakaian Polinom Interpolasi
•
Masalah ketelitian, sulit dicapai karena :
1. Terbatasnya panjang word suatu komputer.
2. Hilangnya digit signifikan pada saat dua nilai yang
hampir sama dikurangi.
•
Jd. ada h optimum, dimana utk.
h  h
E ( f )h  E ( f )h
3
Aturan Dasar
b
I( f ) 

f ( x ) dx
a
[a, b] dibagi-bagi menjadi N interval (tidak perlu sama).
a = x0 < x1 < x2 < ... <xn = b
Misal : Pi, k(x) (i = 1, ..., N) adalah polinom interpolasi utk.
f(x) pd. interval (xi-1, xi).
b
I( f ) 

a
N
f ( x ) dx 
xi
 
i 1 x
i 1
N
f ( x ) dx 
xi
 P
i ,k
( x ) dx
i 1 x
i 1
Catatan : Utk. kemudahan pembahasan, dimisalkan xi–xi-1
sama
xi = a + ih,
i = 0, ..., N, h = (b-a)/N
Notasi fs = f(a + sh), mk. fi = f(xi), i = 0, ..., N
4
Aturan-Aturan Dasar
b

I( f ) 
f ( x ) dx
a
I ( f )  I ( Pk )  E ( f )
di mana
I(Pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + ... + Akf(xk)
[jumlah berbobot Ai]
b
xi, f(xi) i = 0, ..., k diketahui :
E( f ) 

f [ x 0 ,  , x k , x ] k ( x )
a
Ai dpt. dihitung dng. Ai = I(li), li = polinom Langrange ke-i.
k = 0, x0 = a  Aturan Segi Empat
f(x)
I ( f )  R  (b  a ) f ( a )
E
R

f ' ( )( b  a )
2
2
5
Aturan-Aturan Dasar
– k = 0, x0 = (a+b)/2  Aturan Titik Tengah
I ( f )  M  (b  a ) f (
ab
f(x)
)
2
E
M

f ' ' ( )( b  a )
3
24
– k = 1, x0 = a, x1 = b  Aturan Trapesium
I( f )  T 
1
f(x)
( b  a )[ f ( a )  f ( b )]
2
E
T
 
f ' ' ( )( b  a )
3
12
– k = 2, x0 = a, x1 = (a+b)/2, x2 = b  Aturan Simpson
I( f )  S 
ba
{ f (a )  4 f (
6
f ' ' ( )[
E
S
ab
)  f ( b )}
f(x)
2
(b  a )
2
 
90
]
5
6
Aturan-Aturan Dasar
– k = 3, x0 = x1 = a, x2 = x3 = b  Aturan Trapesium Terkoreksi
I ( f )  CT 
ba
[ f ( a )  f ( b )] 
2
E
CT
 
f ' ' ( )( b  a )
(b  a )
2
[ f ' ( a )  f ' ( b )]
12
5
f(x)
720
7
Aturan Gabungan (Composite Rules)
• Aturan segiempat
xi

f ( x ) dx  ( x i  x i 1 ) f ( x i 1 ) 
f ' ( i )( x i  x i 1 )
xi 1
f ' ( i ) h
 hf ( x i 1 ) 
2
2
2
2
N
 I ( f )  RN  h  f ( x i 1 )
i 1
N
EN 
R

i 1
EN 
R
f ' ( i ) h
2
,
2
f ' ( )(  b  a ) h
 i  ( x i 1 , x i )
,
  (a, b)
2
8
Aturan Gabungan (Composite Rules)
• Aturan Simpson
a  x i 1 , b  x i , dan x i  x i 1  h
xi

h
f ( x ) dx 
6
xi 1
2
( i )( h )
2
90
5
 i  ( x i 1 , x i )
xi
xi
I( f ) 
[ f i 1  4 f i  1  f i ] 
iv
f
 
f ( x ) dx
f(x)
xi 1 x
i 1
( i )( h )
2
  [ f i 1  4 f i  1  f ]  
2
6 1
90
i 1
 i

   
 
   
N
h
N
f
iv
S
SN
SN 
h
6
EN  
S
5
EN
N 1
N
i 1
i 1
[ f 0  f N  2 f i  4 f i 1 ]
f
iv
( )( h ) ( b  a )
2
120
2
4
  (a, b)
9
Aturan Gabungan (Composite Rules)
• Aturan Trapesium
f(x)
Dng. cara yg. sama diperoleh
N 1
I ( f )  TN  h fi 
i 1
h
2
( f0  fN )
f ' ' ( ) h ( b  a )
2
E
 
T
N
12
• Aturan Titik Tengah
f(x)
N
I( f )  M
N
 h  f i i
i 1
2
f ' ' ( ) h ( b  a )
2
E
M
N

24
10
Aturan Gabungan (Composite Rules)
• Aturan Trapesium Terkoreksi
N
I ( fi ) 

i 1
( x i  x i 1 )
2
N
CT N  h  f i 
h
[ f i  f i 1 ] 
( f0  fN ) 
2
1
i 
   
E
CT
N

f
iv
( ) h ( b  a )
4
h
( x i  x i 1 )
12
2
[ f i  f i 1 ]
'
'
2
[ f ' ( a )  f ' ( b )]
12
f(x)
720
11
Contoh
• Dng. memakai aturan trapesium gabungan, tentukan
N sehingga  e dx teliti sampai 6 digits
Jwb. :  f ( x )  e , a  0 , b  1 , h  1 N
1
x
0
2
x
2
Errornya adalah –f’’()N-2/12 ,  ∈ (a, b)
Batas atas errornya adalah :
f ''( x)  e
x
f '''( x)  e
2
x
max
0  1
f ' ' ( )
N
2
12
(4 x  2)
2
2
4 x (3  2 x )

2
x 0  0 , x 1   2 ,5
 max |f’’(x)| pd. [0, 1] terjadi pada x = 0 atau x = 0, 1
max
0  1
1
f ' ' ( )  max{|
2N
f ' ' ( 0 ) |, | f ' ' (1) |}  max{ 2 , 2 e }  2
2
 5 . 10
7
12
N 
3
10
 578
3
12
Metoda Adaptif Quadrature
• Adaptif  lebar sub interval ditentukan oleh perilaku lokal
integralnya (fungsinya).
– Besar interval keseluruhan tidak harus sama.
• Cocok utk. menghitung I(f) dlm. ketelitian tertentu dng.
penghitungan fungsi lebih sedikit jika subinterval ditentukan
dengan baik.
• Perhatikan aturan trapesium gabungan
N
I( f ) 

i 1
x i  x i 1
2
[ f ( x i 1 )  f ( x i )] 
N
f ' ' ( i )( x i  x i 1 )
i 1
12

3
di mana a = x0 < x1 < ... < xN = b tidak perlu berjarak sama.
Besar error tergantung
f ' ' ( i )( x i  x i 1 )
12
3
 i  ( x i 1 , x i )
Jd. jika f’’(x) ‘kecil’, maka pakai interval ‘besar’.
jika f’’(x) ‘besar’, maka pakai interval ‘kecil’.
13
Adaptive Quadrature Berdasarkan
Aturan Simpson
• Diberikan f(x) pada [a, b] dan bilangan kecil  > 0. Cari p
(aproksimasi) terhadap I   f ( x ) dx di mana |P – I| ≤  dng.
memakai penghitungan fungsi sesedikit mungkin.
b
a
• Misal : xi+1 – xi = h
xi 1
Ii 

f ( x ) dx
xi
–
h
xi
xi+1
xi + h/2
Dng. subinterval ini hitung Si pendekatan dari Ii
Si = h/6 {f(xi) + 4f(xi + h/2) + f(xi+1)}
14
Adaptive Quadrature Berdasarkan
Aturan Simpson
h
–
xi
xi + h/4
xi + h/2 xi + 3h/4 xi+1
Hitung S i pendekatan dari Ii
Si 
h
12
h
{ f ( xi )  4 f ( xi 
4
)  2 f ( xi 
– Dng. memakai Error Simpson
diperoleh :
Ii  Si  
2. f

f
iv
5
h
3h
4
)  f ( x i  1 )}
( ) h 5
( )
90
2
Ii  Si  
Si  Si 
2
)  4 f ( xi 
iv
f
f
h
( ) h 5
( )
90
4
iv
h
5
iv
5
(
1 2
2 . 90
2
4
)
4
2 (S i  S i )
4
5

2 . 90
 Ii  Si 
1 2
Si  Si
2 1
4
4

1
15
(S i  S i )
15
Adaptive Quadrature Berdasarkan
Aturan Simpson
• Jk. [a, b] ada N interval maka errornya memenuhi
Ei 
lalu :
1
15
Si  Si 
h
(b  a )

N
P 
S
i
i 1
16
Contoh
• Contoh Dengan memakai adaptive quadrature yg. berdasarkan
aturan Simpson, cari aproksimasi (pendekatan) thd. integral :
I   x dx dng. ketelitian kesalahan  = 0.0005 (harga
sebenarnya I = 2/3).
1
0
Jawab : [0, 1]  [0, ½] dan [½, 1]
pada [½, 1], h = ½
S[
1
,1] 
2
S[
E[
1
1
1
{
1
2
12
,1] 
1
2
24
1
1
2
{
,1] 
15
2
4
3
4 5
4
8

2
1}  0 . 43093403
3
4
4 7
8

1}  0 . 43096219
1
( S  S )  0 . 0000018775

2 ( 0 . 0005 )  0 . 00025
1
ok
17
Contoh
pada [0, ½]
1
1
S [0, ] 
{0  4
2
12
1
1
1
S [0, ] 
{0  4
2
12
1
4
1
E [ 0 , ]  0 . 00043499
2
8

2
1 }  0 . 22559223
2
1
4
4
3
8

1 }  0 . 23211709
2
 0 . 00025
[0, ½]  [0, ¼] dan [¼, ½]
S[
1 1
, ]  0 . 15235819
4 2
S[
1 1
, ]  0 . 15236814
4 2
1
1 1
6
E [ , ]  0 . 664 . 10  4 ( 0 . 0005 )  0 . 000125
4 2
1
18