Transcript Mnohostěny

Mnohostěny
Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc.,
PřF UP v Olomouci
Univerzita třetího věku
Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin
symetrie. Nakreslete je.
Řešení
Mnohostěn

je část prostoru ohraničeného konečným
počtem rovinných mnohoúhelníků.

Geometrický útvar nazveme konvexní,
právě když lze libovolné dva jeho body
spojit úsečkou, jejíž každý bod náleží
danému geometrickému útvaru.
Eulerova charakteristika
mnohostěnu
Leonhard Euler
1707 - 1783
je číslo
E=s+v–h
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a
h počet hran daného konvexního
mnohostěnu.
Eulerova věta
„ V každém konvexním mnohostěnu platí
Eulerův vztah
s+v–h=2
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a
h počet hran daného konvexního
mnohostěnu.“
Keplerův „Kosmický pohár“
- sféra Merkuru
- opsán osmistěn, který je
- vepsán do sféry Venuše
- sféře Venuše opsán
dvacetistěn
- sféra Země
- dvanáctistěn
- sféra Marsu
- čtyřstěn
- sféra Jupitera
- krychle
- sféra Saturnu
Johannes Kepler
1571 - 1630
Existuje právě pět Platónových těles
Princip duality PT
Deltatopy


V definici PT vynecháme požadavek na stejnou
valenci vrcholů (q) a „mnohoúhelníky“ nahradíme
„trojúhelníky“.
Existuje právě 8 deltatopů.
Název deltatopu
v
h
s
q=3
q=4
q=5
1.
čtyřstěn
4
6
4
4
0
0
2.
dvojitý čtyřstěn
5
9
6
2
3
0
3.
osmistěn
6
12
8
0
6
0
4.
dvojitý pětiboký jehlan
7
15
10
0
5
2
5.
siamský dvanáctistěn
8
18
12
0
4
4
6.
9
21
14
0
3
6
7.
10
24
16
0
2
8
12
30
20
0
0
12
8.
dvacetistěn
Archimédova tělesa
Archimédes ze Syrakus
287 – 212 př. n. l.
- lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran
tak, aby vznikly pravidelné konvexní
mnohoúhelníky.
Hvězdicovité pravidelné mnohostěny
V definici PT jsou vynechány požadavky konvexnosti.
Pravidelné antihranoly
mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené
shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny
jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky.
pravidelný šestiúhelníkový antihranol
(regular hexagonal antiprisma)
Platónova tělesa v biosféře
Mřížovka červená
Virus dětské obrny
Radiolaria
(mřížovci)
Poincarého zobecnění Eulerovy věty

Pro mnohostěny platí
s + v - h = 2 - 2r,
kde r je (topologický) rod plochy.
Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu
plochy je rovna počtu v ní existujících
„průchodů“.
11 pravidelných mnohostěnů rodu 2
druh p
g
v
s
h
1.
3
7
12
28
42
Ikosaedr +2 tunely
2.
3
8
6
16
24
Oktaedr + 2 tunely
3.
4
5
8
10
20
Krychle + 2 tunely
4.
3
9
4
12
18
Tetraedr + 2 tun.
5.
4
6
4
6
12
Krychle + 1 tunel
6.
5
5
4
4
10
Otevřené pentagonální
těleso, duální samo k sobě
7.
6
4
6
4
12
duální k 5.
8.
9
3
12
4
18
duální k 4.
9.
5
4
10
8
20
duální k 3.
10.
8
3
16
6
24
duální k 2.
11.
7
3
28
12
42
duální k 1.
Domácí úkol - rozmyslet
1. Najděte nekonvexní mnohostěn, který nesplňuje
Eulerův vztah.
2.Najděte nekonvexní mnohostěn, který splňuje Eulerův
vztah.
3.Je dán konvexní čtrnáctistěn s devíti vrcholy. Dokažte,
že na něm existuje vrchol, ze kterého vychází aspoň
5 hran.
4.Určete počty rovin souměrnosti všech Platonových
těles.
5.Na kolik částí se rozpadnou, provedeme-li všechny tyto
řezy současně?
6.Kolik prvků mají grupy zákrytových pohybů
Platonových těles?
Literatura

Březina, F. a kol.: Stereochemie a některé fyzikálně
chemické metody studia anorganických látek. UP,
Olomouc 1994.

Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices
of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In:
Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010.

Molnár, J., Kobza, J.:Extremálne a kombinatorické
úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Molnár, J., Kobza, J.: Extremálne a kombinatorické
úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Vacík, J.: Obecná chemie. SPN, Praha 1986.
Vacík, J. a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN,
Praha 1996.
Zimák, J.: Mineralogie a petrografie. UP, Olomouc
1993



