Transcript Mnohostěny
Mnohostěny
Prof. RNDr. Josef Molnár, CSc.,
PřF UP v Olomouci
Univerzita třetího věku
Rozcvička: Krychle má 9 různých rovin
symetrie. Nakreslete je.
Řešení
Mnohostěn
je část prostoru ohraničeného konečným
počtem rovinných mnohoúhelníků.
Geometrický útvar nazveme konvexní,
právě když lze libovolné dva jeho body
spojit úsečkou, jejíž každý bod náleží
danému geometrickému útvaru.
Eulerova charakteristika
mnohostěnu
Leonhard Euler
1707 - 1783
je číslo
E=s+v–h
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a
h počet hran daného konvexního
mnohostěnu.
Eulerova věta
„ V každém konvexním mnohostěnu platí
Eulerův vztah
s+v–h=2
kde s je počet stěn, v počet vrcholů a
h počet hran daného konvexního
mnohostěnu.“
Keplerův „Kosmický pohár“
- sféra Merkuru
- opsán osmistěn, který je
- vepsán do sféry Venuše
- sféře Venuše opsán
dvacetistěn
- sféra Země
- dvanáctistěn
- sféra Marsu
- čtyřstěn
- sféra Jupitera
- krychle
- sféra Saturnu
Johannes Kepler
1571 - 1630
Existuje právě pět Platónových těles
Princip duality PT
Deltatopy
V definici PT vynecháme požadavek na stejnou
valenci vrcholů (q) a „mnohoúhelníky“ nahradíme
„trojúhelníky“.
Existuje právě 8 deltatopů.
Název deltatopu
v
h
s
q=3
q=4
q=5
1.
čtyřstěn
4
6
4
4
0
0
2.
dvojitý čtyřstěn
5
9
6
2
3
0
3.
osmistěn
6
12
8
0
6
0
4.
dvojitý pětiboký jehlan
7
15
10
0
5
2
5.
siamský dvanáctistěn
8
18
12
0
4
4
6.
9
21
14
0
3
6
7.
10
24
16
0
2
8
12
30
20
0
0
12
8.
dvacetistěn
Archimédova tělesa
Archimédes ze Syrakus
287 – 212 př. n. l.
- lze vytvořit z PT odříznutím vrcholů nebo hran
tak, aby vznikly pravidelné konvexní
mnohoúhelníky.
Hvězdicovité pravidelné mnohostěny
V definici PT jsou vynechány požadavky konvexnosti.
Pravidelné antihranoly
mají dvě protilehlé stěny (podstavy) tvořené
shodnými pravidelnými n–úhelníky a ostatní stěny
jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky.
pravidelný šestiúhelníkový antihranol
(regular hexagonal antiprisma)
Platónova tělesa v biosféře
Mřížovka červená
Virus dětské obrny
Radiolaria
(mřížovci)
Poincarého zobecnění Eulerovy věty
Pro mnohostěny platí
s + v - h = 2 - 2r,
kde r je (topologický) rod plochy.
Zjednodušeně lze říci, že hodnota rodu
plochy je rovna počtu v ní existujících
„průchodů“.
11 pravidelných mnohostěnů rodu 2
druh p
g
v
s
h
1.
3
7
12
28
42
Ikosaedr +2 tunely
2.
3
8
6
16
24
Oktaedr + 2 tunely
3.
4
5
8
10
20
Krychle + 2 tunely
4.
3
9
4
12
18
Tetraedr + 2 tun.
5.
4
6
4
6
12
Krychle + 1 tunel
6.
5
5
4
4
10
Otevřené pentagonální
těleso, duální samo k sobě
7.
6
4
6
4
12
duální k 5.
8.
9
3
12
4
18
duální k 4.
9.
5
4
10
8
20
duální k 3.
10.
8
3
16
6
24
duální k 2.
11.
7
3
28
12
42
duální k 1.
Domácí úkol - rozmyslet
1. Najděte nekonvexní mnohostěn, který nesplňuje
Eulerův vztah.
2.Najděte nekonvexní mnohostěn, který splňuje Eulerův
vztah.
3.Je dán konvexní čtrnáctistěn s devíti vrcholy. Dokažte,
že na něm existuje vrchol, ze kterého vychází aspoň
5 hran.
4.Určete počty rovin souměrnosti všech Platonových
těles.
5.Na kolik částí se rozpadnou, provedeme-li všechny tyto
řezy současně?
6.Kolik prvků mají grupy zákrytových pohybů
Platonových těles?
Literatura
Březina, F. a kol.: Stereochemie a některé fyzikálně
chemické metody studia anorganických látek. UP,
Olomouc 1994.
Huylebrouck, D.: Regular Polyhedral Lattices
of Genus 2: 11 Platonic Equivalents? In:
Bridges Conference Proceedings, Pécs 2010.
Molnár, J., Kobza, J.:Extremálne a kombinatorické
úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Molnár, J., Kobza, J.: Extremálne a kombinatorické
úlohy z geometrie. SPN, Bratislava 1991.
Vacík, J.: Obecná chemie. SPN, Praha 1986.
Vacík, J. a kol.: Přehled středoškolské chemie. SPN,
Praha 1996.
Zimák, J.: Mineralogie a petrografie. UP, Olomouc
1993