Transcript DM 14b V prostoru

3D rozcvička
Dokreslete na viditelné stěny krychle
písmena podle zadání, dodržujte i
pootočení písmen odpovídající síti.
Řešení
B
Shodná zobrazení v prostoru
• rovinová souměrnost – Ω
„Každá shodnost v prostoru se dá rozložit v
rovinové souměrnosti, přičemž existuje takový
rozklad, ve kterém jsou nejvýše čtyři takové
rovinové souměrnosti.“
Ω1 ○ Ω2
• identita - Id
• translace - T
Ω1 ○ Ω2
• rotace – R
• rotace o 180° - osová souměrnost - O
Ω1 ○ Ω 2 ○ Ω3
• posunuté zrcadlení
T○Ω
• otočené zrcadlení
R○Ω
•
•
středová souměrnost
S = R ○ Ω = Ω1 ┴ Ω2 ┴ Ω3
Ω 1 ○ Ω2 ○ Ω3 ○ Ω4
• torze (šroubový pohyb)
T○R
• M+ : Id, T, R, TR (O)
• M- : Ω , T Ω, R Ω (S)
Grupy shodných zobrazení
„Všechna shodná zobrazení v prostoru tvoří
vzhledem ke skládání zobrazení grupu.“
Zákrytový pohyb (ZP)
„Zákrytovým pohybem rozumíme
shodné zobrazení v prostoru, které
zobrazí pravidelný mnohostěn na sebe.“
„Všechny zákrytové pohyby téhož
pravidelného mnohostěnu tvoří grupu.“
Grupy zákrytových pohybů
Grupa zákrytových pohybů pravidelného
•
•
•
•
•
tetraedru má 24
hexaedru má 48
oktaedru má 48
dodekaedru má 120
ikosaedru má 120
prvků .
Prvky grupy ZP tetraedru
a) původní poloha
b) identita
ZP - Ω (rovinové souměrnosti)
ZP – R (rotace)
ZP- O ○ R (osová souměrnost a rotace)
Symetrie molekul
Trojrozměrná dláždění (vyplňování
prostoru)
• - z krychlí
• - z osekaných osmistěnů
• - z kosočtverečných dvanáctistěnů
Hessonit Ca3Al2(SiO4)3
Foto: © Bohdan Dlouhý
Osekaný osmistěn
Vyplňování prostoru
Kosočtverečný dvanáctistěn
Literatura
• http://www.sharkan.net/print.php?t=2900
• LÁVIČKA, M.: KMA/G2 Geometrie 2. Plzeň: ZČU, 2006
• MOLNÁR, J.- KOBZA, J.: Extremálne a kombinatorické úlohy z
geometrie. Bratislava: SPN,1991.
• MACHAČÍKOVÁ, I. - MOLNÁR, J.: Polyhedrons, Chemistry and
Something in Addition. In: Matematyka w przyrodztie – matematyka i
przyroda w kształceniu powsechnym. Novy Sącz: Wydavnictvo
PWSZ, 2011.
• MOLNÁR, J.- SCHUBERTOVÁ, S.: From Research on Space
Imagination. Problems of Education in the 21st Century, volume 13,
2009.
• STEINHAUS, H.: Matematica per istantanee. Bologna: Zanicchelli,
1999.
• SUTTON, D.: Platónská a archimedovská tělesa. Praha: Dokořán,
2011.