Transcript Teoria de sistemas de Ecuaciones No lineales

Teoría de sistemas de Ecuaciones
No lineales
• La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es:
f1(x1, x2 x3, …, xn) = 0
f2(x1, x2 x3, …, xn) = 0
f3(x1, x2 x3, …, xn) = 0
....................................
fn(x1, x2 x3, …, xn) = 0
Definiendo una función F
F(x1, x2 x3, …, xn) = [f1(x1, x2 x3, …, xn),f2(x1, x2 x3, …, xn),
f3(x1, x2 x3, …, xn) , fn(x1, x2 x3, …,
xn)]
Usando una notacion vectorial para representar las variables
X1,X2,…,Xn ). El sistema puede representarse por F(x)=0
La solución a este sistema es el vector X=[x1, x2 x3, …, xn] que hace
que simultaneamente todas las ecuaciones sean igual a 0.
Teoría de sistemas de Ecuaciones
No lineales
Métodos de Solución :
• Método de Iteración de Punto Fijo para
sistemas de ecuaciones no lineales
(Método de punto fijo multivariable).
• Método de Newton para sistemas de
ecuaciones no lineales.
Método de Iteración de Punto fijo para
sistemas de Ecuaciones no Lineales
Anteriormente se desarrollo el método
de iteración de punto fijo para resolver la
ecuación
f(x)=0 transformando esta
ecuación en una ecuación de la forma
x= g(x), usando el criterio
de
convergencia |g’(x)|<1 en el intervalo
[x1,x2] donde g(x) pertenece [x1,x2] para
x que pertenece a [x1,x2]
Método de Iteración de Punto fijo para sistemas
de Ecuaciones no Lineales
Para el caso de un conjunto de ecuaciones
No lineales utilizaremos un procedimiento
similar extendiéndolo a todas las ecuaciones,
usando un criterio de convergencia:
Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la
convergencia es que
g1
g 2
g1
g 2
|
| |
| M  1; |
| |
| M  1;
x1
x1
x2
x2
Para todos los puntos (x1,x2) de la región del plano que contiene
todos los valores (x1k, x2k ) y la raíz buscada.
Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de
Ecuaciones no Lineales
Ejemplo 1
Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales
f 1( x1, x 2)  x12  10x1  x 2 2  8  0 


2
f 2( x1, x 2)  x1 x 2  x1  10x 2  8  0

Solución
Con el despeje de X1 del termino (-10X1) en la primera ecuación y
de X2 del termino de (-10X2) en la segunda ecuación resulta.
X1=(X12+X22 + 8 )/ 10
X2=(X1X22+X1 + 8 ) / 10
Por medio de Iteración por desplazamientos simultáneos
x1k+1 = g1(x1k , x2k )
x2k+1 = g2(x1k , x2k )
Con los valores iniciales x10 = 0, x20 = 0 se inicia
proceso
Primera iteración
X11=(02+02 + 8 )/ 10 = 0.8
X21=(0(0)2 + 0 + 8 ) / 10 = 0.8
el
Segunda iteración
X12=((0.8)2+(0.8)2 + 8)/ 10 = 0.928
X22=(0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 ) / 10 = 0.9312
Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la
siguiente sucesión de valores
k
X1k
X2k
0
0.00000
0.00000
1
0.80000
0.80000
2
0.92800
0.93120
k
X1k
X2k
3
0.97283
0.97327
4
0.98937
0.98944
5
0.99578
0.99579
6
0.99832
0.99832
7
0.99933
0.99933
8
0.99973
0.99973
9
0.99989
0.99989
10
0.99996
0.99996
11
0.99998
0.99998
12
0.99999
0.99999
13
1.00000
1.00000
• Cualquiera que sea el sistema que se va a resolver con
este método, puede aumentarse la velocidad de
convergencia usando desplazamientos sucesivos en
lugar de los desplazamientos simultáneos es decir se
itera mediante
x1k+1 = g1(x1k , x2k )
x2k+1 = g2(x1k+1 , x2k )
Como en el caso lineal (jacobi y Gauss-Seidel), si la
iteración por desplazamientos simultáneos diverge
generalmente el metodo por desplazamientos sucesivos
divergiría mas rápido; es decir se detecta mas rapido la
divergencia, por lo que se recomienda en general el uso
de
desplazamientos
sucesivos
en
lugar
de
desplazamientos simultáneos .
• Resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando el
metodo de punto fijo para sistemas no lineales con
desplazamientos sucesivos.
f 1( x1, x 2)  x12  10x1  x 2 2  8  0 


2
f 2( x1, x 2)  x1 x 2  x1  10x 2  8  0

Método de Newton para sistemas
de ecuaciones no lineales
• Todas las ecuaciones deben de ser cero en las raíces
• Se define la matriz J(x) como:
J(x)
=
f1,i f1,i
x1 x2
..........
f 2,i f 2,i
x1 x2
..........
f1,i
xn
f 2,i
xn
.....................................................
f n ,i f n ,i
x1 x2
..........
f n ,i
xn
Método de Newton para sistemas de ecuaciones no
lineales
• Entonces podemos escribir
F(x)+XiJ(x)=Xi+1 J(x)
• Dividiendo J(x) y reacomodando:
Xi+1= Xi-J(x)-1 F(x)
Esta es la Ecuación de Newton para sistemas No Lineales
Puesto que en cada iteración se tiene que calcular la
inversa de la matriz J(x)y esto implica un considerable
esfuerzo de cálculo , para evitar este paso se utiliza el
artificio de encontrar un vector Y que satisfaga
J(x)Y= -F(x)
Método de Newton para sistemas de ecuaciones no
lineales
• Se establece un esquema iterativo donde
cada nueva aproximacion se obtiene
como:
X(k+1) = y +x(k)
Al resolver el sistema tomando como
valores iniciales (x1,x2)=(0,0) se tiene:
J(x)( x1,x2)=