POTENCIAÇÃO E FUNÇÃO EXPONENCIAL

prof. André Aparecido da Silva [email protected]

1

POTENCIAÇÃO A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Relembrando: Expoente 1 5 3   1 125 Base Potência 2

POTENCIAÇÃO Exemplo: • 2 10  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024 • • 3 4  3 x 3 x 3 x 3 = 81 3

1 Lembre-se

Quando o expoente é par, a potência é sempre positiva.

3 2 4  2 5 2  3 2  2 5  3 2  2 5   4 25 3 2  3 2   81 16 4

2 Lembre-se

Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.

1 2 3  1 2  1 2  1 2   1 8 2 3 3  2 3  2 3  2 3   8 27 5

Casos Particulares 3 Expoente 1 : As potências de expoente 1 são iguais a base.

1 2  1   1 2 2 3  1   2 3 6

4 Casos Particulares Expoente Zero : As potências de expoente zero são iguais a 1.

8 5 0  1 7 4 0  1 7

Casos Particulares Resumindo todo número elevado a potencia 0 é igual a 1     1 2    0  1 3 4 0  1 8

Outros Exemplos 7 5 2   49 25 1 3 2   1 9 7 4 3   343 64 5 3 3   125 27 9

Exemplos 7 5  1   7 5   0 , 3   0 , 3    0 , 3    0 , 09 x 0,3 0,3 09 00 0,09 10

Potência com Expoente Inteiro Negativo

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Considere o Quociente:

5 2 : 5 5

Pela propriedade do quociente de potência de mesma base temos:

5 2 : 5 5  5 2  5  5  3

Escrevendo o quociente em forma de fração temos:

5 2 5 5  5  5 5  5  5  5  5  1 5 3  1 5 3 12

5 2 : 5 5  5 2  5  5  3 Temos: 5 2 : 5 5  5 5 5 2 5 2 5 5  5  5 5  5  5  5  5  1 5 3  1 5 3 5  3     1 5    3 13

Resumindo Na divisão de potencias de mesma base, podemos preservar a base e diminuir os expoentes...

14

EXEMPLOS

• 5³ / 5² = 5

3-2

= 5¹ = 5 •10

12

/ 10

4

=10

12-4

=10

8

• 6

5

/ 6² = 6

5-2

= 6

3

= 216

15

Note ainda que

: 5  3  5 3    5  3  1 5 3      1 1 5 3         1  1 5 3 Isso significa que como inverso de 5 3    1 pode ser interpretado 16

Conclusão

A potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a uma outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

17

Oposto do expoente

Fixando:

Oposto do expoente

3  2  1 3 2  1 9

Inverso da base

2 3  3  3 2 3  27 8

Inverso da base

18

Oposto do expoente

Fixando:

Oposto do expoente

   1 

Inverso da base

1 5  1   1 5 1 2  3    3   8

Inverso da base

19

Em certos casos podemos escrever uma fração como potência de expoente negativo:

Oposto Oposto do expoente do expoente

1 9  1 3 2  1 3 2  3  2 1 5  1 5  1  5  1

Inverso da base Inverso da base

20

Exemplos:

0 , 00001  1 100000  1 10 5  1 10 5  10  5 0 , 25  25 100  5 2 10 2  5 10 2  10 5  2  2  2  27 8  3 2 3  2 3  3 21

Propriedades As propriedades da potenciação expoente estudadas são válidas também para potências com inteiro negativo .

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5 4  1 : 2 3  5 

Exemplos

2 3 2  2 3  5  2  2 3  3 5 4  6  5 4  1     5 4  1  6  5 4 5       3 2 2     3  3 2 2     3 2  6 23

Potencia com base negativa Antes,

Que tal lembrarmos das regras de sinais!

Observe:

▬

sinal negativo

+

sinal positivo 1 Lembre-se: Multiplicação de sinais diferentes, resultado Multiplicação de sinais iguais, resultado negativo positivo .

.

24

Potencia com base negativa

O cálculo de potências com base negativa é semelhante ao de base positiva.

a) Base Exemplos:

(-4)

2

Expoente par.

= (- 4) .(- 4) =

+16

Potência b)

(-3)

4

= (-3) .(-3) .(-3) . (-3) =

+81

1 Toda potência de base negativa número inteiro positivo.

e expoente par , é um 25

Potencia com base negativa

a) O cálculo de potências com base negativa é semelhante ao de base positiva.

Potência Exemplos: Expoente ímpar.

(-5)

3

= (-5).

(-5).

(-5) =

-125

Base b)

(-1)

5 =

(-1). (-1). (-1).

(-1).

(-1)

= -1 x

1 Toda potência de base negativa número inteiro negativo.

e expoente ímpar , é um 26

1

Potencia com base negativa O EXPOENTE 1

Por convenção, adotamos as regras: Toda potência de expoente 1 é sempre igual à base.

Exemplos: a)

(+9)

1 =

+9

c)

(0)

1 =

0

b)

(-13)

1 =

-13

d)

(-10)

1 =

-10

27

Potencia com base negativa O EXPOENTE 0 (zero)

Por convenção, adotamos as regras: Toda (zero) potência de expoente 0 (zero) e base diferente de 0 é igual à 1.

Exemplos: a)

(-14)

0 =

1

c)

(-9)

0 =

1

1 b)

(+27)

0 =

1

d)

(-530)

0 =

1

28

Potencia com base negativa

Devemos dar atenção a duas situações de significados e valores diferentes.

1 Exemplos: a)

(-4)

2

= (-4). (-4) =

+16

(-4) 2 significa o quadrado de -4.

b) -4 2

- 4

2

significa

= - 4. 4 =

-16

o oposto do quadrado de 4.

Logo: (- 4) 2 ≠ - 4 2

29

1

Potencia com base negativa

Conclusão: Sempre que trabalhar com potências, tenha atenção as suas propriedades, regras e sinais.

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CUIDADO!!!!

 Um abuso apresentar muito vulgar, é números que aumentam com o adjetivo sensacionalista de “ crescimento exponencial ”  É muito provável pessoas que 90% das não sabem o que significa verdadeiramente essa expressão.

Xadrez e Exponenciação

1

Função Exponencial

33

Continuando • f(x) = 2 x exponencial.

é uma função Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos da partir deles, função e, a esboçar o gráfico.

A tabela

O gráfico da função y(x) 2 x D(f) = R Im (f) = R*+ a = 2, a > 1, Portanto f é crescente em todo seu domínio

Comportamento do gráfico da função exponencial Através g(x) = ½ x função exponencial e usando uma tabela, podemos obter alguns pontos da deles, função e, a partir esboçar o gráfico.

A tabela da função g(x) = ½ x

Comportamento gráfico da função g(x) = ½ x D(f) = R Im (f) = R*+ a = 1/2, 0 < a < 1 Portanto g é decrescente em todo seu domínio

Resumindo...

Tendo a função f(x) = a x , se “a” for maior que 1 a função será crescente, se “a” for maior que zero e menor que 1 a função será decrescente

Outro Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o Exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Resolvendo o exemplo

Questão...

Como ficaria o gráfico desta função f(x) = 3 x+1 ?

Equação Exponencial

Vamos a resolução Nossa equação agora é 4 x2+ 4x = 4 12 Aqui as bases são iguais, logo, posso cortar e trabalhar só com os expoentes...

Vamos a resolução 4 x2+ 4x = 4 12 Temos agora a seguinte equação x 2 + 4x =12.

Colocando o 12 para outro lado da igualdade teremos x 2 + 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara x 2 + 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara x 2 + 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )

Resolvendo com Bhaskara

Outro Exemplo Vamos primeiramente deixar todos os termos em bases iguais, para isto basta decompor 8 em fatores iguais, então o 8 poderá ser escrito como 2 3 .

Continuando Como todas as bases são iguais, agora podemos cortar as bases e trabalhar só com os expoentes.

Continuando

Continuando

Continuando

Substituindo na equação

Terminando a equação

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações

Agora um exemplo com frações Para inverter numerador e denominador vou deixar com a potencia negativa

Agora um exemplo com frações Agora cortando as bases teremos …

Material elaborado pelo: Prof. André Aparecido da Silva Disciplina Matemática.

Disponível no site: www.oxnar.com.br/ 68