Transcript Matemática Básica

CONJUNTOS NÚMERICOS
RAZÃO E PROPORÇÃO
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
EQUAÇÃO DO 1 GRAU
EQUAÇÃO DO 2 GRAU
INEQUAÇÃO DO 1 E 2 GRAU
DEFINIÇÃO
NÚMERO é a idéia que esta associada à
quantidade de elementos de um conjunto.
 NUMERAL é o símbolo utilizado para representar
a idéia (número).
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( N )
O conjunto dos Números Naturais é formado pelos números inteiros e
positivos ao mesmo tempo, incluindo o zero. A seguir alguns exemplos
de Números Naturais:
N =  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z )
O conjunto dos Números Inteiros é formado pelo conjunto dos
Números Naturais acrescido dos números inteiros e negativos. A seguir
alguns exemplos de Números Inteiros.
Z = ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ( Q )
O conjunto dos Números Racionais é formado pelo conjunto dos
números inteiros acrescido dos números que podem ser representados na
forma de razão ( fração ), inclusive os números decimais, centesimais,
milesimais, dizimas e etc. A seguir alguns exemplos de Números
Racionais.
Q = ..., -4, , -3, - 2,135, -2, -1, 0, 0,0025, 1, 2, , 3, 4,333..., 5, ... 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R )
O conjunto dos Números Reais é formado pelo conjunto dos números
Racionais acrescido dos números irracionais, ou seja, números que não
podem ser expressos na forma de fração, possuem infinitas casas
decimais que não apresentam um padrão de repetição. A seguir alguns
exemplos de Números Reais.
R = ..., -4, , -3, - -2, -1, 0, 0,3333..., 1, , 2, , 3, , 4, 5, ... 
QUATRO OPERAÇÕES
Adição
Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir
por um numero o que chamamos de soma.
a+b+c=S
parcelas soma
Subtração
Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos a – b = d
ou a – b = R
a = (minuendo)
b = (subtraendo)
d ou R é a (diferença) ou (resto)
Multiplicação
Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos
substituir por um numero ou (fator) o que chamamos de produto.
a.b.c=P
fatores produto
É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto.
Divisão
Considerando D e d números inteiros onde D > d 0. Dizemos que “d” é
o número pelo qual se divide “D” quando existe “q” também inteiro tal
que: D = d . Q + R
Onde:
D = dividendo
d= divisor
q = quociente
R= resto
DEFINIÇÃO
RAZÂO
Representa-se uma razão entre dois números a e b por a/b ou
a : b (lê-se “a está para b”).
a = antecedente
b = conseqüente
inversa de uma razão →A inversa de uma razão é determinada
trocando-se a posição dos termos da razão considerada.
2
3
razão   inversa 
3
2
DEFINIÇÃO
PROPORÇÃO
“É uma igualdade entre duas razões” .
a c

b d
ou a : b :: c : d
Lê-se: “a esta para b, assim como c está para d”. (b
0 e d0 )
Termos de uma proporção→a e d são os extremos e b e c são os
meios.
Propriedade Fundamental
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
a c
  bc  ad
b d
DEFINIÇÃO
Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido, contado. O volume, a
massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o
tempo, são alguns exemplos de grandezas.
Grandezas Diretamente Proporcionais: duas grandezas são
chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a
outra também dobra; triplicando um delas a outra também triplica.
Grandezas Inversamente Proporcionais: duas grandezas são
inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se
reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a
terça parte... e assim por diante.
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas
que envolvam quatro valores (das duas grandezas envolvidas) dos
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor
a partir dos três já conhecidos resolvendo uma proporção.
Passos Utilizados Numa Regra de Três Simples
Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie
em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies
diferentes em correspondência.
Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
Montar a proporção e resolver a equação.
Esquema Prático para se Resolver uma Regra de três simples e direta
A grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B:
A
B
 A1
 B1
X
B2
Devemos igualar a razão que contém o termo X com a razão direta da
grandeza B:
A1 B1

X
B2
Regra de três composta (três ou mais grandezas envolvidas)
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.
Esquema prático para se resolver uma Regra de três composta
Exemplo: a grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B e
inversamente proporcional a grandeza C:
A
B
C
 A1
 B1
 C1
X
B2
C2
Devemos igualar a razão que contém o termo X com a razão
direta da grandeza B:
A1 B1 C2


X B2 C1
DEFINIÇÃO
Denomina-se potência de um número ao produto de fatores iguais
desse número.
Então: an = a . a . a . a . ... . a “n” vezes
onde:
a →base da potência;
n → expoente.
Exemplos:
a) 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3
b)
1 1 1
1
   . .
4 4 4
4
PROPRIEDADES
P1- Toda potência de expoente zero é igual à unidade.
a0 =1, a Є *

NOTA 01: A potência ( 00 ) representa um dos muitos símbolos de
indeterminação.
P2- Todo número elevado a expoente unitário é igual a ele mesmo.
a1 = a, a Є

P3- O número zero elevado a qualquer expoente positivo não nulo é
igual ao próprio zero.
0n = 0, n positivo, diferente de zero
P4- A unidade elevada a qualquer expoente é igual a ela mesma.
1n = 1, n Є

P5- O simétrico da unidade elevado a expoente inteiro apresenta dois
resultados, conforme seja par ou ímpar o expoente.
(-1)n =
par
 1, se n é

 1, se n é ím par
P6- Nos produtos de potências de mesma base, repete-se a base e somase os expoentes.
am . an = a(m+n)
P7- Nos quocientes de potência de mesma base, repete-se a base e
subtrai-se os expoentes.
am
mn

a
an
P8- Para se elevar uma potência a uma potência, multiplicam-se os
expoentes que aparecem.
(am)n = an.m
Ex. (24) 3 = 212
NOTA 02: (am)n ≠
Ex: (24)3 = 212
a
mn
P9- Para se elevar um produto de diversos fatores a um expoente, eleva-se
cada um dos termos a esse expoente.
(a . b)n = an. bn
P10- Para se elevar um quociente a um expoente, eleva-se cada um dos
termos a esse expoente.
P11- A potência de expoente inteiro e negativo de um número equivale a
uma fração onde o numerador é a unidade e o denominador é a própria
potência com expoente positivo.
a-n =
1
a
n
DEFINIÇÃO
Seja o radical: n
am
n →índice do radical
am → radicando
PROPRIEDADES:
P1 :
P2 :
n m
n
a  n.m a
a  n b  n a.b
n: p m: p
P3 : n a m 
a
P4 :
P5 :
n
a
n
b
n
am 
n
a
b
n. p
a m. p
Então:
PRODUTOS NOTÁVEIS
DEFINIÇÃO
Denomina-se equação à igualdade que é verificada apenas para alguns
valores particulares atribuídos a todas as incógnitas que nela aparecem.
Ex:
a) 3x − 4 = 20 é uma equação porque o único valor que a satisfaz é x = 8.
b) x + 1 = 2 é uma equação porque o único valor que a satisfaz é x = 3.
Forma Geral de uma Equação do Primeiro Grau
ax =b; com (a, b) pertencendo aos R e a ≠ 0.
Forma Geral de uma Equação do Segundo Grau
ax2 + bx + c = 0; com (a, b, c) R e a ≠ 0.
Nas equações escritas na forma ax2 + bx + c = 0 chamamos a, b e c
de coeficientes.
a é sempre o coeficiente de x2,
b é sempre o coeficiente de x,
c é coeficiente ou termo independente.
Raízes de uma Equação do 2o grau
Resolver uma equação do 2o grau significa determinar suas raízes.
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,
transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se
conjunto verdade ou conjunto solução.
Resolução de Equações Completas
Fórmula de Bhaskara: resolve a equação 2x2 – 72 = 0
b 
b 
X1 =
; x2 
;   b 2  4ac
2a
2a
onde

é o discriminante da equação. (delta)
De Acordo com o Discriminante, Temos Três Casos a Considerar:
Para delta >0, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para delta =0, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para delta <0, a equação não tem raízes reais.
Relações entre os Coeficientes e as Raízes
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e sejam x1 e x2 as
raízes reais dessa equação.
Soma das raízes (S): S = x1 + x2 =
b
a
Produto das raízes (P) : P = x1 . x2 =
c
a