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1. Conceitos Iniciais
Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de
grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida
à forma:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0.
Nessa igualdade an, an1, ... , a2, a1 e a0 são números
complexos chamados coeficientes; n IN*; an 0 e a0 é o
termo independente.
Exemplos:
3x - 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau.
2x2 5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º grau.
4x3 + 5x2 3x + 4 = 0 é uma equação algébrica de grau 3.
x5 2/3x4 + 3x 6 = 0 é uma equação algébrica de grau 5
2. Raiz ou Zero de Uma Equação
Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0
todo número complexo para o qual P() = 0 é uma sentença
verdadeira.
é raiz de P(x) P() = 0
Na equação algébrica x3 + 2x2 13x + 10 = 0, por exemplo,
temos:
2 é raiz da equação, pois:
(2)3 + 2 (2)2 13 (2) +10 = 0
3 não é raiz da equação, pois:
(3)3 + 2 (3)2 13 (3) + 10 = 16 0
3. Conjunto Solução
Chamamos de conjunto solução ou conjunto verdade, num
certo conjunto universo U, o conjunto das raízes da equação
algébrica que pertencem a U.
Quando não citarmos o conjunto universo de uma equação
algébrica estaremos considerando-o como sendo o conjunto
dos números complexos.
Resolver uma equação algébrica é encontrar o seu conjunto
solução ou conjunto verdade.
4. Teorema Fundamental da Álgebra
Nas equações do 1º e do 2º grau, os zeros ou raízes da
equação são obtidos por fórmulas que envolvem os
coeficientes das equações, as operações fundamentais e a
extração de raízes.
ax
+ b = 0 com a 0 é uma equação do 1a grau cuja raíz é:
b
b
S
a equação do 2º grau cujas
ax2 + bx + c = 0 com aa 0 é uma
raízes são:
b b
e
2a
2a
b b
S
,
2a
2a
, com = b2 4ac.
4. Teorema Fundamental da Álgebra
Para a resolução de equações de grau igual ou maior que 3,
utilizamos métodos baseados no teorema fundamental da
Álgebra, enunciado abaixo:
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n 1), tem
pelo menos uma raiz real ou complexa.
5. Teorema da Decomposição
Observe os polinômios a seguir e as suas raízes:
P1(x) = 4x 12 de raiz 3
P2(x) = x2 5x + 6 de raízes 2 e 3
P3(x) = x3 + x2 4x - 4 de raízes 2, 1 e 2
P4(x) = x4 5x2 36 de raízes 3, 3, 2i e 2i
Cada um dos polinômios acima pode ser escrito nas seguintes
formas fatoradas:
P1(x) = 4x 12 P1(x) = 4(x 3)
P2(x) = x2 5x + 6 P2(x) = (x 2)(x 3)
P3(x) = x3 + x2 4x 4 P3(x) = (x + 1)(x 2)(x + 2)
P4(x) = x4 5x 36 P4(x) = (x 3)(x + 3)(x 2i)(x + 2i)
5. Teorema da Decomposição
De maneira geral, todo polinômio
P(x) = anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0
pode ser escrito na forma fatorada:
P(x) = an(x 1) (x 2) ... (x n)
em que 1, 2 ...,n são as raízes de P(x).
Daí, podemos enunciar o seguinte teorema:
Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n1, tem
exatamente n raízes reais ou complexas.
A forma fatorada de P(x) = an(x 1)(x 2) ... (x n) mostra
que o conjunto solução da equação P(x) = 0 tem no máximo n
elementos, pois não sabemos se os números 1, 2, 3, ..., n
são todos distintos dois a dois. Considerando que a ordem dos
fatores não altera o produto, essa decomposição é única.
6. Multiplicidade de uma raiz
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas
ou não.
Se um número for uma só vez raiz de uma equação
algébrica, ele será chamado raiz simples.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a um certo
número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2, isto
é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, o número
será uma raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz
tripla, e assim sucessivamente.
Seja a equação algébrica:
(x 2)2.(x + 1)3.(x 3) = 0,
que pode ser colocada na forma:
(x 2)(x 2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x 3) = 0.
6. Multiplicidade de uma raiz
Podemos observar que a equação tem 6 raízes:
uma
raiz dupla igual a 2;
uma
raiz tripla igual a 1;
e
uma raiz simples igual a 3.
De uma maneira geral, se um polinômio P(x) é tal que:
P(x) = (x )m Q(x)
com Q() 0, dizemos que é raiz de multiplicidade m da
equação P(x) = 0.
OBSERVAÇÃO: Toda equação algébrica, cujo termo
independente é zero, admite o número zero como raiz de
multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita.
Exemplo:
x3 – 4x2 + 5x = 0 x(x2 – 4x + 5) = 0 uma raiz nula.
7. Teorema das Raízes Complexas
Todo polinômio, com coeficientes reais, que admite uma raiz
complexa não real (a + bi, com b ≠ 0) admite também o seu
conjugado (a – bi, com b ≠ 0).
Exercício Resolvido 1:
Dado P(x) = x4 + x2 - 2x + 6, verificar se 1 + i é raiz de
P(x).
Resolução:
P(1 + i) = (1 + i)4 + (1 + i)2 – 2(1 + i) + 6
P(1 + i) = – 4 + 2i – 2 – 2i + 6
P(1 + i) = 0
Observe que se 1 + i é raiz de P(x), então seu conjugado 1 –
i, também será.
Observações Importantes:
1) Se um número complexo é raiz de multiplicidade m de um
polinômio, então seu conjugado também será;
2) Numa equação de terceiro grau, pelo menos uma das
raízes será real. Aliás, numa equação de grau ímpar pelo
menos uma das raízes será real.
3) O número de raízes complexas, não reais, de um polinômio
será sempre par (de duas em duas – a raiz e seu
conjugado)
Exercício Resolvido 2:
Qual o menor grau possível para uma equação
polinomial de coeficientes reais que admita as raízes
-2, 3i e 1 – i?
Resolução:
Incluindo os conjugados podemos perceber que a equação
possui pelo menos 5 raízes... portanto, no mínimo, GRAU 5.
Exercício Resolvido 3:
Resolver, em C, a equação polinomial
x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 sabendo que 2i é uma de
suas raízes.
Resolução:
• Se 2i é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por
(x – 2i);
• - 2i , conjugado de 2i, também é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 –
8x – 12 = 0 é divisível por (x + 2i);
• Se P(x) é divisível por (x - 2i) e também é divisível por (x + 2i),
então ele será divisível pelo produto (x – 2i) . (x + 2i) = x2 + 4;
• Usando a regra da chave efetue a divisão de P(x) por x2 + 4;
x 0x 4
x 2 x x 8 x 12
4
3
2
2
x 2 2x 3
x 4 0 x3 4 x 2
2 x 3 3x 2 8 x
2 x3 0 x 2 8x
3x 2 0 x 12
3 x 2 0 x 12
S = {2i, -2i, 3, -1}
0
• A partir desta divisão percebemos que a forma fatorada de P(x)
pode ser escrita como (x2 + 4) . (x2 – 2x - 3) = 0;
• Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o
quociente Q(x) encontrado a zero:
x2 2x 3 0
x ' 3 e x" 1
Também poderíamos chegar aos mesmos resultados
através do dispositivo de Briot-Ruffini:
1
2
1
8
12
2i
1
2 2i
3 4i
6i
0
2i
1
2
3
0
x 2x 3 0
2
x 3 e x" 1
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 4:
Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um
polinômio com coeficientes reais de grau 8. O número
de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:
Resolução:
• Se 1 + i é raiz, então 1 – i também é raiz;
• Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é raiz
• Deste modo P(x) terá, no mínimo, 4 raízes complexas, e
portanto, no máximo,
4 raízes reais
Exercício Resolvido 5:
O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 = 0 admite 1 + i como raiz,
no qual i2 = -1. O número de raízes reais deste
polinômio é:
Resolução:
• Pelo enunciado sabemos que 1 + i é raiz, e também o seu
conjugado 1 - i;
• P(x) é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)],
então ele será divisível pelo produto:
[(x – 1) - i] . [(x – 1) + i] = (x – 1)2 – i2 = x2 – 2x + 2
• Usando a regra da chave efetue a divisão: P(x) por x2 – 2x + 2;
x 0x x 2x 6
4
3
2
x 2x 2
2
x 2 2x 3
x 4 2 x3 2 x 2
2 x3 x 2 2 x
2 x3 4 x 2 4 x
3x 2 6 x 6
3x 2 6 x 6
Nenhuma raiz real
0
• Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar
o quociente Q(x) encontrado a zero:
x2 2x 3 0
x ' 1 i 2 e x" 1 i 2
Exercício Resolvido 6:
Resolva a equação 3x4 – 8x3 - 5x2 + 36x – 20 = 0,
sabendo que 2 + i é uma de suas raízes.
Resolução:
• Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é;
• Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da
equação temos:
8
3
2i
3
2i
3
5
2 3i 12 4i
4
3x 4 x 4 0
2
4
36
20
8 4i
0
0
2
x e x" 2
3
'
demais
raízes
8. Teorema das Raízes Racionais
Se uma equação polinomial,
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0,
de coeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir
raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q, tal que p
seja divisor inteiro de a0 e q seja divisor de an, em que p, q são
inteiros, q ≠ 0, p e q primos entre si.
Exercício Resolvido 7:
Encontrar as raízes racionais da equação:
2x4 - 3x3 - 6x2 – 8x – 3 = 0.
Resolução:
Então, temos an = 2, a0 = -3.
Divisores inteiros de a0: (p) = ± 3, ± 1.
Divisores inteiros de an: (q) = ± 2, ± 1.
Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as
possíveis raízes da equação são da forma:
p
3
1
3, 1, ,
q
2
2
Agora, basta testar todas elas na equação, ou por substituição
ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
P(-3) = 210 → -3 não é raiz.
P(3) = 0 → 3 é raiz.
1
2
.....
2
3
6
8
3
2
4
4
6
0
Por verificação conclui-se que apenas 3 e -1/2
são raízes racionais.
-1/2 é raiz.
8. Teorema das Raízes Racionais
OBSERVAÇÕES:
Este teorema não garante a existência de raízes
racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra como
obtê-las.
O teorema possibilita a formação de um conjunto de
possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0.
Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação,
esta não admitirá raízes racionais. Se
an = ±1 e os
demais coeficientes são inteiros, a equação não admite
raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes
inteiras que são divisores de an.
Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes
for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.
Exercício Resolvido 8:
Resolva a equação x3 - 5x2 + 9x – 5 = 0.
Resolução:
• Temos an = 1, a0 = -5.
• Divisores inteiros de a0: (p) = ± 5, ± 1.
• Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.
• Portanto, de acordo com o teorema das raízes
racionais, as possíveis raízes da equação são da
forma:
p
1, 5
q
x2 4x 5 0
• P(1) = 0 → 1 é raiz.
1
1
1
5
4
9
5
5
0
x' 2 i
x" 2 i
Exercício Resolvido 9:
Resolva a equação x6 - 1 = 0, em C.
Resolução:
• Temos: x6 – 1 = (x3 - 1).(x3 + 1)
x2 x 1 0
• 1 é raiz de x3 – 1.
1
0
0
1
1 i 3
x
2
'
1
1
1
1
0
x"
x2 x 1 0
• -1 é raiz de x3 + 1.
1
1
1
0
1
0
1
1 i 3
2
1
1 i 3
2
1 i 3
x"
2
x'
0
Exercício Resolvido 10:
Resolva, em C, a equação x4 – ax3 – bx2 - ax + 2 = 0, com a
e b números inteiros, sabendo que duas de suas raízes
são números inteiros positivos e consecutivos.
Resolução:
• Divisores inteiros de a0: (p) = ± 2, ± 1.
• Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.
• Portanto, de acordo com o teorema das raízes
racionais, as possíveis raízes da equação são da
forma:
p / q 1, 2
• Com base no enunciado, 1 e 2 são raízes.
14 a.13 b.12 a.1 2 0
2a b 3
2 4 a.23 b.2 2 a.2 2 0
10a 4b 18
2a b 3
10a 4b 18
a3
b 3
• Agora que sabemos os valores de a e b, temos que a equação
ficou assim:
4
3
2
x 3x 3x 3x 2 0
• E sabemos ainda que 1 e 2 são raízes.
1
3
3
3
2
1
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
x2 1 0
x i e x" i
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 11:
Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 2x2 - 4x + 3 = 0.
Resolução:
• p
{± 3, ± 1} e q {± 2, ± 1}.
• Portanto:
1
3
p / q , , 3, 1
2
2
• P(3/2) ≠ 0
P(-1/2) ≠ 0
P(-3/2) ≠ 0
P(1/2) = 0
P(3) = 0
P(1) ≠ 0
P(-3) ≠ 0
P(-1) ≠ 0
2
5
2
4
3
1
2
2
4
4
6
0
3
2
2
2
0
2x 2x 2 0
2
1 i 3
1 i 3
x
e x"
2
2
'
1
1 i 3 1 i 3
S , 3,
,
2
2
2
9. Relações de Girard
É comum possuirmos alguma informação sobre as raízes de
uma equação antes de resolvê-la. Por exemplo: uma raiz é o dobro
da outra; uma raiz é dupla; o produto das raízes é 6; etc.
Quando já são conhecidas certas condições sobre as raízes de
uma equação, podemos utilizar as Relações de Girard, que são
expressões envolvendo somas e produtos das raízes da equação e
seus coeficientes.
Relações de Girard para equações do 2º grau
•
•
•
•
Forma Geral: ax2 + bx + c = 0
Raízes: x1 e x2
Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2) = 0
Desenvolvimento: ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0
b
c
• Comparação com a forma Geral: - a(x1+ x2) = b e ax1x2 = c
Desta forma temos: x1+ x2 = -b/a
e x1x2 = c/a
As relações de Girard para equações do 2º grau são:
• Soma das raízes:
b
S x1 x2
a
• Produto das raízes:
c
P x1 x2
a
Relações de Girard para equações do 3º grau
•
•
•
•
Forma Geral: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Raízes: x1, x2 e x3
Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2).(x – x3) = 0
Desenvolvimento:
ax3 – a(x1 + x2 + x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x – ax1x2x3 = 0
b
c
d
• Comparação com a forma Geral:
- a(x1+ x2 + x3) = b
e a(x1x2 + x1x3 + x2x3) = c e - ax1x2x3 = d
Desta forma temos:
x1 + x2 + x3 = -b/a , (x1x2 + x1x3 + x2x3) = c/a e x1x2x3 = c/a
As relações de Girard para equações do 3º grau são:
• Soma das raízes:
b
S1 x1 x2 x3
a
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
c
S 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3
a
• Produto das raízes:
d
P x1 x2 x3
a
Relações de Girard para equações do 3º grau
• Forma Geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
• Raízes: x1, x2, x3 e x4
Repetindo o raciocínio dos casos anteriores temos que as relações
de Girard para equações do 4º grau são: :
b
• Soma das raízes: S1 x1 x2 x3 x4
a
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
c
S 2 x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4
a
• Soma dos produto das raízes, três a três:
d
S3 x1 x2 x3 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x2 x3 x4
a
e
• Produto das raízes: P x1 x2 x3 x4
a
Relações de Girard para equações de grau n
Generalizando:
• Equação: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0
• Soma das raízes: S1 an 1
an
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
• Soma dos produto das raízes, três a três:
• Produto das raízes: P 1n
a0
an
an 2
S2
an
an 3
S3
an
Exercício Resolvido 12:
Sejam r, s e t as raízes da equação x3 – 4x2 + 6x – 5 = 0.
Calcular o valor de:
a) r + s + t
b
4
r st
4
a
1
b) rs + rt + st
c 6
rs rt st 6
a 1
c) rst
d
5
rst
5
a
1
d) 1/r + 1/s + 1/t
1 1 1 st rt rs 6
r s t
rst
5
Exercício Resolvido 13:
Resolva, a equação x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, sabendo que
uma das raízes é igual a soma das outra duas.
Resolução:
• vamos chamar as raízes de x1, x2 e x3
• Das relações de Girard, temos:
b
8
S1 x1 x2 x3
8
a
1
x1 x2 x3 8
x1 x1 8
2x1 8
x1 4
x1 x2 x3
c 19
S 2 x1 x2 x1 x3 x2 x3
19
a 1
d
12
P x1 x2 x3
12
a
1
Agora que temos uma das raízes, aplicamos o dispositivo de
Briot-Ruffini, baixamos o grau da equação e encontramos as
demais raízes.
4
1
8
19
12
1
4
3
0
x 4x 3 0
2
x 3 e x" 1
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 14:
Sabendo que 2 – 3i é raiz da equação x3 – 6x2 + 21x – 26 =
0, determinar as demais raízes.
Resolução:
• Se 2 – 3i é raiz, então 2 + 3i também é.
• Das relações de Girard, temos:
b
6
S1 x1 x2 x3
6
a
1
x1 2 3i 2 3i 6
x1 2 2 6
x1 6 4
x1 2
S 2 3i, 2 3i, 2
Exercício Resolvido 15:
Determinar o conjunto solução da equação 4x3 – 20x2 +
17x – 4 = 0, sabendo que ela admite uma raiz dupla.
Resolução:
• Chamaremos as raízes de: r, r e s
• Das relações de Girard, temos:
rr s 5
17
r r r r r s
4
s 5 2r
r s 1
2
17
2r rs
4
2
17
2r r 5 2r
4
12r 2 40r 17 0
2
Mas, qual destes
valores?
r r s 1
r1
2
ou r 17
6
Se r = 1/2 então:
1
s 5 2. 5 1 4
4
Se r = 17/6 então:
17
17 15 17
2
s 5 2. 5
6
3
3
3
Se substituirmos os valores encontrados na 3ª relação (a do
produto das raízes), vamos observar que quando r = 17/6 e s
= - 2/3 a sentença obtida é falsa (não dá certo)
Já quando substituímos r = 1/2 e s = 4, o resultado
encontrado é verdadeiro.
Deste modo, o conjunto solução da equação é:
1
S , 4
2
Exercício Resolvido 16:
Determine o valor de k, para que as raízes da equação
x3 – 3x2 – 6x + k = 0 formem uma progressão aritmética.
Resolução:
• Chamaremos as raízes de: m – r, m, m + r
• Das relações de Girard, temos:
b
3
x1 x2 x3
3
a
1
m r m m r 3
3m 3
m 1
Agora que sabemos que 1 é uma
das raízes, vamos substituir x por 1
e calcular o valor de k
13 3 12 6 1 k 0
1 3 6 k 0
k 8