Transcript Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

Sistemas de equações do 1º grau
com duas incógnitas
Método Gráfico
Sistemas de equações do 1º grau
com duas incógnitas
Considere a seguinte situação:
Fábio e João vão disputar uma partida de lançamento de dardos. Combinaram só valer
ponto quando se acertasse o centro do alvo. Cada um lançaria dez vezes.
Terminada a partida, os dois, juntos, haviam marcado 6 pontos. Fábio ganhou por uma
diferença de 4 pontos. Quantos pontos fez cada um?
Representemos por x o total de pontos de Fábio e por y os pontos de João. Os números
x e y são naturais.
1ª Informação: A soma dos pontos obtidos foi 6.
Podemos indicar essa informação por x + y = 6
Pontos
Fábio
x
0
1
2
3
4
5
6
João
y
6
5
4
3
2
1
0
Par
(x, y) (0, 6) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (6, 0)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0)
2ª Informação: A diferença entre os pontos obtidos por Fábio e por João é 4.
Podemos indicar essa informação por x - y = 4
Pontos
Fábio
x
4
5
6
7
8
9
10
João
y
0
1
2
3
4
5
6
Par
(x, y)
(4, 0)
(5, 1)
(6, 2)
(7, 3)
(8, 4)
(9, 5)
(10, 6)
A equação x + y = 6 tem como solução, nesse caso, os seguintes pares ordenados:
(4, 0), (5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4), (9, 5), (10, 6)
A única solução comum às duas equações é o par ordenado (5, 1).
Logo concluímos que Fábio fez 5 pontos e João, 1 ponto.
X+Y=6
X–Y=4
As equações representadas constituem
um exemplo de sistemas de equações do
1º grau com duas incógnitas.
O par ordenado (5, 1), que verifica simultaneamente as
duas equações, é a solução do sistema.
Método da Substituição
Esse método consiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações e substituir
a expressão encontrada na outra equação.
Exemplo1: Resolver o sistema pelo método da substituição.
X+Y=5
Vamos escolher, por exemplo, a equação X + Y = 5 e isolar
a incógnita X.
X–Y=3
X=5–Y
Agora, substituindo x por (5 – Y) na equação X – Y = 3, temos:
(5 – Y) – Y = 3. Resolvendo a equação achamos Y = 1
Substituindo Y por 1 na equação X + Y = 5, encontramos o valor de X = 4.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 1)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da substituição:
Método da Adição
Para resolver um sistema pelo método da adição, adicionamos membro a membro
as equações de modo a anular uma das incógnitas.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da adição.
X+Y=8
X–Y=6
Para resolvê-lo,
vamos adicionar
membro a membro
as duas equações.
X+Y=8
X–Y=6
2X = 14, logo X = 7
Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que Y = 1
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da adição:
Método da Comparação
Para resolver um sistema pelo método da comparação, determinamos o valor de
uma das incógnitas na equação 1 (por exemplo) , depois determinamos o valor da
mesma incógnita na equação 2 e finalmente comparamos as igualdades das
equações.
Exemplo2: Resolver o sistema pelo método da comparação.
X + Y = 10
X + 3Y = 14
Iremos isolar a
incógnita x em
ambas as equações.
X = 10 - Y
X = 14 – 3Y
10 – y = 14 – 3 Y,
logo Y = 2
Substituindo Y por 2 na equação X = 10 - Y, temos que Y = 8
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2)
Exercício de Fixação
Resolva estes sistemas pelo método da comparação:
X+Y=5
X + Y = 20
Y = 3X + 2
X–Y=1
X – 3Y = -12
2X – Y = -4
(3, 2)
(12, 8)
(2, 8)
Estas balanças estão equilibradas
a) Chame de x a massa da
pêra e de y a massa da
maçã. Determine o sistema
de equações
correspondente a essa
situação.
b) Resolva o sistema
c) Quantos gramas têm a pêra
e a maçã?