Equações para o escoamento turbulento Conceitos: – Equações para o campo médio – Tensões de Reynolds; Mecânica dos Fluidos II Prof.
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Transcript Equações para o escoamento turbulento Conceitos: – Equações para o campo médio – Tensões de Reynolds; Mecânica dos Fluidos II Prof.
Equações para o escoamento turbulento
Conceitos:
– Equações para o campo médio
– Tensões de Reynolds;
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
Equação
da continuidade
( const.):
Introduzindo: u u u
u v w
0
x y z
v v v
w w w
u v w u v w
0
x y z x y z
Tomando a média temporal
u v w
0
x y z
2004
Subtraindo à
equação inicial:
Mecânica dos Fluidos II
u v w
0
x y z
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
u v w
0
x y z
u v w
0
x y z
Equação do campo médio
Equação do campo turbulento
Observações:
1. As velocidades instantâneas, médias e turbulentas satisfazem
a mesma equação: .V .V .V 0
2. Nos termos lineares de qualquer equação, basta substituir a
variável instantânea pelo seu valor médio para obter o valor
médio temporal desse termo.
2004
Mecânica dos Fluidos II
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Equações para escoamento turbulento
Equação
de Navier-Stokes:
u
u
u
u
1 p 2u 2u 2u
u v w
2 2 2
t
x
y
z
x x y z
(p – pressão relativa à hidrostática local)
Tomando a média temporal
u
u
u
u
1 p 2u 2u 2u
u v w
2 2 2
t
x
y
z
x x y
z
u u
2004
u u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
Termo
de inércia (único não-linear):
u u
u u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
u
u
x
u
u
0
x
u
u
0
x
u 0
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
u
u
x
Equações para escoamento turbulento
Equação
N-S para o escoamento médio:
2u 2u 2u
u
u
u
u
1 p
u v w
2 2 2
t
x
y
z
x x y
z
u
u
u
u
u
u
x
x
x
v
u
u
u
v
v
y
y
y
u
u
u
w
w
w
z
z
z
2u 2u 2u u
u
u
u
u
1 p
u
u
u
v
w
2 2 2 u
v
w
t
x
y
z
x
y
z x
y
z
x
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Equações para escoamento turbulento
Equação
N-S para o escoamento médio:
2u 2u 2u u
u
u
u
u
1 p
u
u
u
v
w
2 2 2 u
v
w
t
x
y
z
x
y
z x
y
z
x
u uv
v
u uu
u
u u w
w
v
u
u
u
w
u
y
y
y
x
x
x
z
z
z
u v w
uu uv uw
u
x
y
z
z
x y
=0 pela equação da continuidade
2004
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Equações para escoamento turbulento
Equação
N-S para o escoamento médio:
2u 2u 2u
u
u
u
u
1 p
u
v
w
2 2 2
t
x
y
z
x
y
z
x
uu uv uw
y
z
x
Resultante das Tensões de Reynolds: termo adicional que
representa a acção dos vórtices turbulentos (difusão
turbulenta) no escoamento médio
2004
Mecânica dos Fluidos II
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Equações para escoamento
turbulento
Interpretação
das tensões de Reynolds:
v’
u’
u
y
x
Fluxo (caudal por unidade de área) médio de quantidade
de movimento longitudinal através das faces normais a y:
T
u v
1
Porquê
a
derivada
u u vdt uv
na equação de N-S?
y
T o
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Equações para escoamento turbulento
Interpretação das
v’
tensões de Reynolds:
u’
u
y
x
u v u v é o fluxo de q.mov. na
Porquê a derivada
na equação de N-S?
y
direcção y. O simétrico da
derivada é o saldo do fluxo (o que entra menos o que sai) e é isso
que contribui para o balanço da q. movimento no volume de controlo
infinitésimal.
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Equações para escoamento turbulento
Perfil
das tensões de Reynolds:
1
0,8
uv 0,6
u2 0,4
Turbulent
Total
0,2
0
0
0,5
r0 r r
1
Nota: no centro do tubo as flutuações turbulentas não estão
correlacionadas, pelo que o seu valor médio é nulo. Na parede
as tensões turbulentas são nulas pois não há turbulência.
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Comprimento de mistura
2004
Na proximidade da
parede (50<y*<100):
Mecânica dos Fluidos II
uv u 0
2
Prof. António Sarmento - DEM/IST
Comprimento de mistura
Na
proximidade da parede (est. e 2D):
2u 2u
u
u
1 p
u
v
2 2
x
y
x
y
x
uu uv uw
y
z
x
(as variações em y são muito mais intensas que as em x ou z)
u
u
1 p u
u
v
u v
x
y
x y y
l – Comprimento
de mistura
2004
u
T l
y
2
Mecânica dos Fluidos II
aproximação
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u
T
y
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Conceitos:
– Equações para o campo médio
– Tensões de Reynolds;
2004
Mecânica dos Fluidos II
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MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Bibliografia:
– Sabersky – Fluid Flow: 7.10, 7.11.
– White – Fluid Mechanics: 6.3.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Fluid Flow 7.31
Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento,
l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.
a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o
que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil
de velocidades é dado pela lei logarítmica
u*
1
ln y * c
K
u*
b) Estime os valores das constantes K e
c usando os valores da figura ao lado.
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
y*
yu
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
Fluid Flow 7.31
Von Kármán sugeriu que, em tubos lisos, fora da sub-camada laminar, em regime turbulento,
l=Ky, em que K é uma constante e l o comprimento de mistura.
a) Mostre que na região em que a tensão de corte turbulenta é aproximadamente constante (o
que ocorre relativamente próximo da parede) e próxima da tensão de corte na parede, o perfil
de velocidades é dado pela lei logarítmica
1
u*
Resposta:
u
T
uv u2
y
2 u
2 u
T l
Ky
y
y
2004
Mecânica dos Fluidos II
K
ln y * c
dy
Kdu u
y
du
Ky
u
dy
u
1
ln y a
u K
Prof. António Sarmento - DEM/IST
MECÂNICA DOS FLUIDOS II
1
*
u ln y c
K
*
Fluid Flow 7.31
b) Estime os valores das constantes K e
c usando os valores da figura ao lado.
y* 51
u* 15
y* 100
u* 16,7
u*
1 100
1,67 ln
K 0,40
K
51
1
C 15
ln(51) 5,25
0,40
2004
Mecânica dos Fluidos II
Prof. António Sarmento - DEM/IST
y*
yu