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Algunas reflexiones desde la educación matemática
en el centenario de la obra de Klein
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Luis Rico
Universidad de Granada
Contexto del trabajo
Roma, abril 1908: IV International Congress of Mathematicians
Se crea la Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique
Primer Presidente: F. Klein
La Comisión se propone iniciar su actividad llevando a cabo una
encuesta y preparando un informe general sobre las etapas
en la enseñanza de las matemáticas en distintos países, teniendo
en cuenta todos los niveles de la escolaridad.
La publicación oficial de ICMI es L'Enseignement Mathématique
http://www.icmihistory.unito.it/timeline.php
García Galdeano participa en la creación de ICMI
La constitución de ICMI proporciona una plataforma a la educación
matemática que se inicia como disciplina en estos años.
Félix Klein es uno de sus fundadores y pioneros.
Como la propia educación matemática, la investigación en educación
matemática comienza en las universidades.
(Kilpatrick,1992)
Klein dirige el primer doctorado en educación matemática, defendido
en 1911 en Gotinga.
Introduce cursos de metodología sobre educación matemática en
varias universidades alemanas.
Como los grandes pioneros, varias disciplinas reconocen a Klein
como precursor y fundador en su campo.
La educación matemática debe a Klein su orientación inicial y parte
de sus problemas principales, proyectos, métodos y tareas.
Pa ra v e r e s t a p e l íc u l a , d e b e
d i s p o n e r d e Qu i c k T i m e ™ y d e
u n d e s c o m p re s o r .
"I believed that the whole sector of
mathematics teaching, from its very
beginnings at elementary school right
through to the most advanced level
research, should be organised as an
organic whole. It grew ever clearer to me
that, without this general perspective,
even the purest scientific research would
suffer, inasmuch as, by alienating itself
from the various and lively cultural
developments going on, it would be
condemned to the dryness which afflicts
a plant shut up in a cellar without sunlight”
(Klein, 1923)
En este contexto, se edita en 1910 el libro:
Matemática Elemental desde un punto
de vista superior
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Se traduce y edita en España el primer
tomo en 1927
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Objetivo del libro de Klein:
Abordar las diferentes maneras en que el problema de la enseñanza
puede presentarse al matemático.
Para ello se centra en los avances producidos en el objeto de esa
enseñanza
“Explicar (…) desde el punto de vista de la ciencia moderna (…)
tanto el contenido como los fundamentos de la materia (…)
prestando
la debida atención a los métodos de enseñanza más habituales”
“Llamar la atención de los profesores de matemáticas de secundaria
sobre la trascendencia de sus estudios académicos en su labor
profesional, en particular de sus estudios de matemáticas puras”
Problema que plantea Klein
Disfunciones entre los sistemas de enseñanza y formación de los
estudiantes de matemáticas de secundaria y de los estudiantes de
la universidad.
Diagnóstico. Doble discontinuidad:
1. Al pasar a la universidad el estudiante de matemáticas de
secundaria, y
2. Al comienzo del trabajo del profesor de matemáticas en el aula
de secundaria.
Doble tratamiento:
1. Impregnar las materias que las escuelas enseñan con las ideas
derivadas de los avances de la ciencia, y
2. Tener en cuenta en la enseñanza universitaria las necesidades de
los profesores de las escuelas.
Plan de trabajo:
Tratamiento. Reforzar vínculos:
“Mostrar el enlace mutuo entre los problemas de las diferentes
disciplinas (…) y, más específicamente, hacer énfasis en la relación
entre estos problemas y los de las matemáticas escolares”
Extraer del cuerpo de conocimientos (académicos) un estímulo vivo
para la actividad docente. Influir sobre los problemas de la enseñanza.
Aprovechar la experiencia de los cursos impartidos en la universidad.
Presentar en formato de libro los textos escritos para el logro de un
conocimiento matemático avanzado de los profesores de secundaria.
Resulta sorprendente evocar cuantos conocimientos matemáticos,
centrales en este momento, eran desconocidos en esa época.
Las principales ideas que se presentan en los dos Prólogos y en
la Introducción de la obra, muestran a Klein como contemporáneo,
cercano y certero, que presenta y desarrolla retos a la educación
matemática al día de hoy.
Todas estas ideas muestran la gran fuerza de Klein, la enorme
profundidad de su pensamiento; su interés primordial por lograr
buenos y bien formados profesores de matemáticas.
Además de su alto nivel como matemático, dentro de una
comunidad de matemáticos altamente cualificados, Klein muestra
una considerable capacidad para identificar problemas clave de la
educación matemática en una época donde no hay desarrollo de
la disciplina y apenas expertos en este campo.
Modernidad de Klein:
Principios/ consideraciones didácticas defendidos en su trabajo
Reivindica un estilo sencillo, estimulante, convincente.
Propone combinar la intuición geométrica con la precisión de las
fórmulas aritméticas.
Establece seguir el desarrollo histórico de las distintas teorías para
comprender las diferencias entre los métodos de presentación que
conviven en la enseñanza.
Subraya la importancia creciente de las matemáticas aplicadas
dentro de la enseñanza en secundaria
Propugna una presentación comprensible e intuitiva
Defiende asociar las matemáticas en todos los niveles con aquello
que interesa al alumno en cada momento concreto de su desarrollo
Defiende un mayor peso de las matemáticas aplicadas en la universidad
Requiere establecer conceptos clave - concepto de función- en el
centro de la enseñanza, por su papel en el pensamiento matemático.
Subraya la importancia de los métodos gráficos para la representación
de relaciones funcionales.
Apuesta por el desarrollo de la percepción espacial
Lo que hay de didáctico en el trabajo de Klein: su preocupación por
la formación adecuada del profesor de matemáticas, singularmente
del profesor de secundaria.
Propuesta de Klein sobre formación de profesores de matemáticas
Ejemplo:
Matemática elemental desde un punto de vista superior
Tomo I: Aritmética. Álgebra. Análisis.
Capítulo 1: Calculando con los números naturales, pp. 27- 46
Estrategia:
“Aquí, como haremos siempre a lo largo de estas clases, nos
plantearemos primero cómo se enseña este tema en las
escuelas y luego examinaremos qué implica esto cuando se
analiza desde un punto de vista superior”
Método: Análisis Didáctico
Considerar las matemáticas que se enseñan y aprenden en la
escuela: las matemáticas escolares.
Considerar las matemáticas escolares desde una perspectiva formal.
Foco: Análisis de Contenido
Desarrollo del capítulo/ ejemplificación del método en cuatro puntos
1º La introducción de los números en las escuelas
Aprendizaje de los números a partir de sus usos
Caracterización inicial del método escolar como intuitivo y genético
Presentación progresiva de los contenidos de la aritmética escolar
según niveles y complejidad de los aprendizajes
Fenomenología de Klein:
Enfatizar las aplicaciones de los números en la vida práctica
Trabajar con números tomados de situaciones reales
Introducir cuestiones a las que los números dan respuesta
Problemas en los que calcular algo que se pide; tipos
Nueva caracterización del conocimiento numérico: intuitivo, genético
y aplicado
Objetivo del aprendizaje numérico:
manejar con fiabilidad las operaciones elementales
desarrollar las habilidades intelectuales
Problema didáctico: discontinuidad entre la formación dada en las
Normales y la dada en la Facultad de Ciencias a los profesores.
Tratamiento:
Buscar zonas de trabajo común
Alta consideración al trabajo de los maestros
Paso de los números concretos a números abstractos, simbolizados
por letras; reglas y operaciones con estos números en 7º y 8º cursos.
Dominio del profesor:
Las leyes lógicas
Los fundamentos del cálculo
La teoría de los números enteros
2º. Las leyes fundamentales del cálculo
Segundo paso:
Estructura conceptual de los naturales
Consideración de las once propiedades fundamentales de la
aritmética escolar
Revisión de las once propiedades de las operaciones con naturales
como estructura básica de todas las propiedades numéricas.
Ejemplos.
Las once propiedades proporcionan base formal al cálculo aritmético.
Necesidad de su exposición sistemática
3º Los fundamentos lógicos de las operaciones con números
enteros
Las leyes fundamentales consideradas ¿cómo se justifican?
¿cuál es el concepto de número en que se sustentan?
Análisis conceptual y revisión histórica:
El concepto de número y su origen. Dificultades
Planteamientos filosóficos:
Noción de número, tiempo y secuencia temporal
Noción de número y percepción espacial de objetos
Especial aptitud de la mente
Justificación de la estructura conceptual y de sus fundamentos
lógicos a partir de las nociones anteriores
Estas tres aproximaciones básicas a la noción de número natural
fundamentan la estructura conceptual de la aritmética escolar
1a. La noción de número tiene su origen en la sucesión temporal.
Esta noción se basa en la percepción interior y la intuición.
El principio de inducción completa extiende las reglas de cálculo.
Es la intuición la que garantiza la seguridad de todo el edificio
matemático. Kant y Hamilton representan esta aproximación.
1b. Variante del anterior: descompone los once principios en pasos
mas pequeños; justifica los mas sencillos por intuición y deduce
el resto mediante procedimientos lógicos.
Encuadra en esta opción Los Principios de la Aritmética de Peano
2. El número es una propiedad de los conjuntos.
La cardinalidad de los conjuntos finitos muestra el desarrollo de
esta aproximación, que fundamenta las operaciones a partir de las
propiedades generales de los conjuntos y de sus relaciones.
Cantor y Dedekind se citan entre los precursores
3. Aproximación puramente formal a la noción de número.
En este caso los números son entes abstractos que se representan
por signos arbitrarios, letras, y se combinan y operan entre ellos
siguiendo las reglas establecidas.
El conjunto viene determinado por las reglas con las que opera.
Leibnitz, como precursor, y Hilbert son exponentes de esta visión.
Lo importante, en este caso, es la consistencia lógica del sistema
Apuestas de Klein al concluir el análisis conceptual
El valor de la intuición:
Se debe emplear siempre cierto grado de intuición incluso en la
formulación más abstracta con los símbolos que se emplean en las
operaciones con el objetivo de poder volver a reconocer los símbolos
Limitaciones de la fundamentación lógica:
La aritmética real, la teoría de los números enteros actuales, ni ha
quedado fundamentada ni lo será nunca mediante razonamientos de
naturaleza lógica.
Logro alcanzado:
Establecer axiomas o principios fundamentales independientes, a
partir de los cuales se desarrolla la aritmética de manera consistente.
Estos principios muestran la estructura lógica del sistema y dan
sentido a cualquier enunciado aritmético, es decir, permiten valorar
su veracidad o falsedad.
Advertencia de Klein:
La justificación de la aplicación de esas propiedades a las condiciones
reales, no se ha tocado, no ha quedado resuelta por los fundamentos
Klein insiste en que la fundamentación lógica es ineludible para
dotar de sentido a las proposiciones aritméticas.
Pero igualmente insiste en recordar que la mera evaluación
semántica no dota de significado a la aritmética escolar ya que,
sin referencias, estos contenidos carecen de significado para los
escolares.
La parte viva de las matemáticas, su estímulo mas importante, su
eficacia en todos los sentidos, depende totalmente de sus aplicaciones,
es decir, de las relaciones mutuas entre los entes puramente lógicos y
todos los demás dominios.
4º La Práctica del cálculo con número enteros
Este cuarto apartado se dedica al desarrollo práctico del cálculo
aritmético mediante una máquina de calcular, modelo Brunsviga
Dedica un apartado a su descripción técnica y modo de uso
A continuación explica con cierto detalle el paso de las decenas,
detallando la traducción mecánica de algunos de los procedimientos
algorítmicos habituales.
Concluye con algunas reflexiones sobre la modelización mediante
un mecanismo de las reglas de las operaciones aritméticas
El autor hace una buena descripción, pero no profundiza sobre el
interés formativo de modelos para presentación y tratamiento de
conceptos y procedimientos matemáticos.
Balance
El problema que plantea F. Klein es el de la adecuada formación
inicial del profesor de matemáticas, de cualquier nivel educativo.
Reconoce la especificidad del trabajo del profesor e identifica algunos
cortes y discontinuidades en el sistema vigente, debido a los diversos
niveles del sistema educativo y a los distintos planes de formación.
Denuncia que los planes de formación de profesores generan
problemas al provocar desniveles y desencuentros.
Caracteriza, inicialmente, su método en base a la revisión de la
práctica escolar y del análisis de sus contenidos.
El problema didáctico de Klein es la formación del profesorado.
Su tratamiento se sustenta en el análisis de los contenidos de las
matemáticas escolares.
Análisis de contenido
Considera tres tipos de análisis diferentes:
Análisis fenomenológico: situaciones/ fenómenos/ aplicación/
contextos/ preguntas/ presencia real
Análisis histórico: aproximaciones epistemológicas; génesis de los
conceptos implicados; raíces filosóficas
Estructura conceptual. Fundamentación lógico- formal de los
conceptos y procedimientos.
Sentido de las proposiciones matemáticas y de los conocimientos
Complementariedad entre sentido y referencia en las matemáticas
escolares.
En la escuela es imposible la división del trabajo entre matemática
pura y aplicada y la especialización de cada profesor es imposible.
Las propias necesidades de la enseñanza escolar exigen una visión
general del campo frente al excesivo desmenuzamiento de la ciencia.
Señalamos la ausencia de reflexión sobre las representaciones
como objeto propio del análisis didáctico en el trabajo de Klein
El punto de vista del espectador, lo que he querido mirar
El punto de vista del especialista, lo que he pretendido transmitir
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Google Earth: ¿una visión avanzada de problemas actuales?