Transcript Funciones y Análisis desde la perspectiva del proyecto Felix
Funciones y Análisis desde la perspectiva del proyecto Felix Klein
Michèle Artigue Université Paris Diderot – Paris 7
ĺndice
• • • • Funciones y análisis en la obra de Felix Klein Las evoluciones del siglo XX: – Evolución matemática – Evolución tecnológica – Evolución del contexto educativo – Evolución didáctica ¿ Qué se puede esperar del proyecto Felix Klein en este tema?
Relacionando la enseñanza secundaria con las matemáticas actuales: el teorema del punto fijo como ejemplo ilustrativo
Funciones y análisis en la obra de Felix Klein: el contexto
Un período de intenso movimiento de reforma y un consenso general para (Beke, 1914) : – considerar el concepto de función como un concepto clave en la educación secundaria, – promover la generalización del cálculo diferencial e integral (CDI) en las escuelas secundarias, con una particular insistencia en la importancia de este cálculo para las aplicaciones, – rechazar la metafísica de los infinitesimales, y promover la teoría de los límites como la fundamentación adecuada del CDI.
La visión de Felix Klein sobre funciones
• Importancia del concepto de función, importancia de las aplicaciones y promoción del método gráfico:
« Nosotros, los llamados reformadores, queremos colocar el centro de la enseñanza en el concepto de función como concepto de la Matemática de los dos últimos siglos que desempeña el papel fundamental en cuantos sitios intervienen nociones matemáticas. Con este concepto quisiéramos que comenzara a familiarizarse el alumno tan pronto como sea posible, siempre sobre la base del constante empleo de los métodos gráficos, de la representación de cualquier ley en el plano de las variables (x, y), que hoy se utiliza en todas las aplicaciones de la Matemática por el carácter de evidencia que presta.” (p.4)
La visión de Felix Klein sobre funciones
• • Una visión genética de la enseñanza « siguiendo » con cierta histéresis el desarrollo histórico, utilizando métodos inductivos y heurísticos apoyados en la percepción.
La referencia a la visión dual de la noción de función presente en la obra de Euler y a su evolución que condujó: – por un lado, a la teoría de funciones analíticas de Lagrange, – por otro lado, a la definición general en términos de correspondencia arbitraria formulada por Dirichlet en relación con el estudio de las series de Fourier.
La visión de Felix Klein sobre funciones
« Deseamos solamente que el concepto general de función de Euler en la forma restringida o en la más amplia penetre como un fermento en toda la enseñanza media; pero nunca por definiciones abstractas sino por medio de ejemplos elementales - de los cuales hay en abundancia en el mismo Euler- que llegasen al alumno como algo vivo que le pertenece. »(p.205)
La visión de Felix Klein sobre funciones
• • Pero también una visión por lo menos crítica de la afición reciente para funciones que contienen
“singularidades complicadísimas acumuladas ‘en abigarrado montón’ ».
Y asociada, la distinción que hace entre dos tipos de generalizaciones: – las que se desarrollan en referencia a las aplicaciones, – las que « son producto de especulaciones matemáticas puras, no debidas a necesidades planteadas por el estudio de los fenómenos naturales, y que hasta la fecha, puede decirse, no han tenido aplicación directa alguna.”
La visión de Felix Klein sobre análisis
• • • Según Felix Klein, el desarrollo histórico de este dominio ilustra particularmente bien la importancia de los métodos inductivos, de las ayudas heurísticas apoyadas en la percepción para el descubrimiento matemático, una importancia que se ve "negada por los que reducen las matemáticas a la construcción deductiva que éstas toman en su forma cristalizada " El rechazo de una introducción del análisis en términos formales y abstractos, y la visión de una progresión suave a partir de ejemplos sencillos, siguiendo el camino del desarrollo histórico.
“We desire that the concepts which are expressed by the symbols y=f(x), dy/dx, these designations; not, indeed, as a new abstract discipline, but as an organic part of the total instruction; and that one advances slowly, beginning with the simplest examples.” (p.223)
ydx be made familiar to pupils, under
La visión de Felix Klein sobre análisis
• • • • • El rechazo de la metafísica de los infinitesimales que Klein considera responsable de una instrucción que falta al mismo tiempo rigor y entendimiento, y cuyo efecto es que “marked aversion arose to the
treatment of infinitesimal calculus at all in the schools.”
La atención prestada a la definición de funciones trascendentes (“the most important thing for us to discuss”) y a la representación de funciones mediante series trigonométricas.
La crítica de la aproximación formal de Lagrange a la noción de derivada, pero un estudio muy detallado de la noción de aproximación local apoyándose en las expansiones de Taylor. El papel central que se da al teorema del valor medio en sus varias formas para la conexión entre propiedades locales y globales de funciones.
Es decir, un enfasis en los valores de aproximación del análisis que va mucho más allá del tipo de cálculo algebraico que predomina en las escuelas secundarias en esta época.
LA EVOLUCIÓN A LO LARGO DEL SIGLO XX
Matemáticas: una evolución multidimensional
teoría de conjuntos Estructuras algebraicas lineales Topología teoría de la medida
Funciones y análisis
Teoría de las probabilidades Sistemas dinámicos
Consecuencias importantes
• • • Sobre la visión del campo: – nuevas perspectivas sobre la noción de función – nuevas perspectivas sobre la noción de medida y dimensión – nuevas perspectivas sobre las relaciones entre lo normal y lo patológico – Una visión renovada de lo lineal (local/global) – renovadas y nuevas conexiones Sobre las prácticas matemáticas , especialmente por causa de la evolución tecnológica.
¿ Qué transmitir de esta evolución a profesores de secundaria, porqué y cómo? ¿ Cómo puede contribuir el proyecto Felix Klein?
¿ Cómo puede contribuir el proyecto Felix Klein?
• • • La necesidad de tener en cuenta: La evolución de los contextos educativos, de los modos de acceso a la información y de las prácticas sociales, de los nuevos recursos disponibles La evolución del profesorado La evolución del conocimiento didáctico, con sus potencialidades y limitaciones
Leys, Ghys, Alvarez
Selección de temas inspiradores: ¿Qué criterios?
• • • • • • El potencial epistemológico: considerando las ideas matemáticas y meta matemáticas que potencialmente el tema permite encontrar, trabajar, profundizar.
El potencial práctico: considerando las prácticas matemáticas que el trabajo en el tema potencialmente involucra, permite consolidar o desarrollar.
El potencial didáctico: considerando el potencial del tema para identificar y abordar las dificultades de aprendizaje y / o las cuestiones curriculares, para hacer conexiones con las matemáticas de secundaria.
El potencial de conexión: considerando las conexiones que el tema puede permitir entre puntos de vista, areas matematicas o incluso con otros campos científicos.
El potencial de desafío: considerando el potencial ofrecido para cuestionar puntos de vista comunes, estimular el interés y la vinculación con el mundo real.
El potencial cultural: considerando el potencial ofrecido para reflejar las matemáticas como una empresa cultural e histórica, así como una ciencia viva.
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Un ejemplo: el teorema del punto fijo de Banach
Un teorema central en análisis para asegurar la existencia de objetos y para aproximarlos.
Un teorema que permite hacer conexiones entre el trabajo cualitatico y el trabajo cuantitativo en análisis en sus formas más actuales.
Un teorema ya presente, por lo menos implicitamente, en la enseñanza secundaria en el contexto de las funciones de variables reales pero cuya extensión a espacios funcionales más generales muestra la potencia del análisis.
Un teorema que tiene aplicaciones en dominios muy diversos, tantos internos como externos a las matematicas Un teorema que permite revisitar y entender de otro modo situaciones matemáticas ya conocidas, hacer conexiones entre la historia de las matemáticas y las matemáticas actuales.
¿Qué relaciones existen entre estas situaciones?
La sucesión de Heron X n+1 =0.5(x n +a/x n ) La generación de fractales por iteración El método de Newton implementado en su calculadora
El método de Heron
La sucesión de Heron
La conexión con el método de Newton
f(x)=x² - 720 Ecuación de la tangente en (x n , f(x n )): y-f(x n ) = 2x n (x-x n ) x n+1 = x n – f(x n )/2x n x n+1 = (x n + 720/x n )/2
Un punto fijo super-atractivo
Más generalmente: x n+1 = x n - f(x n )/f’(x n ) x n+1 = g(x n ) con g(x) = x – f(x)/f’(x) g’(x) = 1 – 1 +f(x).f’’(x)/[f’(x)]² Si f(a)=0 entonces g’(a)=0
http://images.math.cnrs.fr/La methode-de-Newton-et-son.html
http://iremp7.math.jussieu.fr/
La generación de fractales
Tres transformaciones afines ( x,y) (x/2 + 1/2 , y/2 + 1/2) (x,y) (x/2 + 1/2 , y/2 - 1/2) (x,y) (x/2 – 1/2, y/2 – 1/2)
Image compression
The easiest way to store an image inside the memory of a computer is to store the color of each pixel. This requires an enormous quantity of memory!
Can we do better?
Let’s suppose we have drawn a city: We store in memory the line segments, circle arcs, etc…, which approximate our image.
We approximate our image by known geometric objects
• •
To store a line segment in memory it is sufficient to store:
the two endpoints of the line segment a program explaining to the computer how to draw a line segment with given endpoints.
The geometric objects are our
alphabet
.
How to store more complex images, for instance landscapes?
• • We use the same principle but we enlarge our alphabet: We approximate our landscape by fractals, for instance the fern.
We store in memory a program to draw the fern. Such a program on Mathematica m=15000 L[n_]:=If[1
G[2,x_,y_]:=-x*0.04+y*0.85+1.6
F[3,x_,y_]:=x*0.2-y*0.26
G[3,x_,y_]:=0.23*x+0.22*y+1.6
F[4,x_,y_]:=-x*0.15+y*0.28
G[4,x_,y_]:=x*0.26+y*0.24+0.44
x[1]:=0 y[1]:=0 Do[{x[n+1],y[n+1]}={F[R[[n]],x[n],y[n]],G[R[[n]],x[n],y[n]]},{n,1,m}] T=Table[{x[n],y[n]},{n,m}]; ListPlot[T, AspectRatio->1, Axes-> False]
Why does it work?
Let’s look at the Sierpinski carpet: It is a union of three Sierpinski carpets. Let us start with a square and iterate a construction algorithm
This works with any initial set! Let’s try another one:
• Coding:
In practice
We replace any small square by the image of a similar larger square under a homothety of ratio ½ composed with one of 8 transformations: • Identity plus 3 rotations • 4 symetries We adjust contrast. We make a translation of the level of grey.
Example
First iterate Sixth iterate
Un ejemplo entre muchos otros posibles
• • Ecuaciones diferenciales con enfoque cualitativo, su uso en la modelización de una diversidad de fenómenos, la interacción entre lo contínuo y lo discreto y los fénomenos específicos de lo discreto. Importancia de revisitar en el contexto de la tecnología dinámica nociones más elementales como la de aproximación lineal local, conectando los conocimientos matemáticos y tecnológicos que se necesitan para interpretar, cuestionar las visualizaciones asociadas y pensar su explotación didáctica.