Transcript Rijen - Jacques Janssen
Hebben ze het nog wel op een rijtje bij wiskunde C?
Foto : Krista van der Niet
Introductie: rij van vijf
• Jacques Jansen(Strabrecht College Gedrop) • • • • ([email protected]) Hielke Peereboom(cTWO) Michiel Doorman (Fr.) Floor Lamoen (docent,passen&meten ) Simon Biesheuvel (docent, casio)
Programma
• • • • • • • • • Intro Eindtermen rijen Tot standkoming van materiaal Achterliggende ideeën Andere namen Vermoedens Aan het werk: 7 minuten Voorbeelden Terugblik
Rijen rubberen matjes
Peter Kilchmann, Zurich
C 1000 C 1000
Joke van……… Kent u die uitdrukking?
Joke van……… Kent u die uitdrukking?
Joke zegt:
•
Ze hebt ze nog alle honderd op een rijtje, hoor.
Uitdrukkingen
• • • • Alles op een rijtje hebben Ze niet alle vijf op een rijtje hebben De voorste rijen sluiten Alle argumenten op een rijtje zetten
De kandidaat kan
• • • • • Zowel met een recursief voorschrift als met een directe formule werken Directe formule opstellen bij rijen met een exponentieel en een lineair verband Recursieve formule opstellen bij gegeven rij Bij een rij de begrippen somrij en verschilrij gebruiken
Wat valt op?
Andere namen voor:
• • • • Meetkundige rij Rekenkundige rij Rangnummerformule Recurrente betrekking
Recurrente betrekking
Uit de telduivel
Even namen oefenen
Probleem 79 uit Rhind-papyrus
Belangrijke informatiebron over wiskunde uit het oude Egypte
Probleem 79
• • • • • • Er zijn zeven huizen; In elk huis zijn zeven katten; Elke kat eet zeven muizen; Elke muis eet zeven korenaren(b. d. v. korenhalm) Elke korenaar zou zeven hekaten(eenheden) hebben opgeleverd Wat is hiervan het totaal aantal eenheden?
oplossing
• • 19607 Hoe deden de Egyptenaren dat?
Chinese keizer en rooster(15n.)
Keizerin :1 Gemalinnen :3 Echtgenotes :9 Concubines :27 Slavinnen : 81 Van Marcus Du Sautoy
Formules van de 7 rijen uit de Telduivel • •
Duivelse opdracht! Zeven minuten.
Stel de directe en recurrente formules op zover dat mogelijk is.
Natuurlijk Oneven Priemgetal Fibonacci Driehoeksgetal Machten van 2 Faculteit
Duivelswerk
U(n)=
n / 2n-1 (1 0,5n(n+1) 5)
n
2
n
2^n n!
5 5)
n
U(n)=
U(n)+1 / U(n)+2 U(n-1)+U(n-2) U(n-1)+n 2*U(n-1) n*U(n-1) 1 1 1 1 2
startwaarde
1 1 en 1
• 6 • 28 • 496 • 8128
Jamblichus van Chalkis
Perfecte getallen
• • Ondertussen weten wij beter. De eerste zeven getallen van deze rij zijn: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 37438691328 .
Een heel goed 2011
• • • • 2011, 6034, 3017, 9052, 4526, 2263, 6790, 3395, 10186, 5093, 15280, 7640, 3820, 1910, 955, 2866, 1433, 4300, 2150, 1075, 3226, 1613, 4840, 2420, 1210, 605, 1816, 908, 454, 227, 682, 341,
1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Eindige rijen: “Het vermoeden van Collatz”
Vermoedens
• • • • • • 1+2^1 3 1+2^2 5 1+2^4 17 1+2^8 257 1+2^16 65537 1+2^32
4294967297
Hoe bewees Euler dat 1+2^32 deelbaar is door 641?
Rij van…………en vermoeden
• • • • • 8^1-1 8^2-1 8^3-1 8^4-1 Veronderstel dat 8^6-1 is een……….hoe zit het dan met 8^7-1??
uitwerking
• • • 8^7-1=8(iets met voorganger doen)-1 8^7-1=8( 8^6-1 )+ 8 -1 8^7-1=zevenvoud+7
(Visie
(uit: scheurkalender 13 feb
)
• Visie is de beste manifesstatie van creatieve verbeeldingskracht en de voornaamste drijfveer voor menselijke daden. Het is het vermogen om voorbij de huidige realiteit te kijken en dat te scheppen of uit te vinden wat nog niet bestaat, om dat te worden wat wij nu nog niet zijn.
Aandachtspunten
• • • • • Bewust omgaan met algebraïsche) bewerkingen(Niet meteen beginnen met rangnummers of indices) Contexten aansluiten bij dit cultuurprofiel Nieuwe contexten en voorbeelden en invalshoeken maar ook dwarsverbanden Ook onderzoekgericht bezig zijn Oefening en samenvatting
Maatsystemen: Architect Le Corbusier: Gulden Snede getal: 1,62
1 2 5 1, 62
Rode en blauwe getallen
R1 6 R2 9 R3 15 R4 24 R5 39 R6 63 R7 102 R8 165 R9 267 R10 432 R11 698 R12 R13 113 0 182 9
b1
11
b2
18
b3
30
b4
48
b5
78
b6
126
b7
204
b8
330
b9
534
b10
863
b11
1397
b12
226 1
b13
Plastisch getal van architect Dom van der Laan
Uit volgt Leg uit waarom dat zo is:
l b l h l
1
l h l
1 1
l h l
1 1
l l
2
h
l
2
l
1 1
l l
2
l
3
l h l b
1, 3247
Maatsysteem voor 3D
• • Neem voor een kleinste maat 10 cm en werk met de recursieve formule:
u n
1)
u
• Tot welke maten leidt een dergelijk stelsel? Schrijf er een aantal op.
Rijen van figuurlijke getallen
Uit Pythagoras:
kleine nootjes
• • Loes, Karel en Merel fietsten tijdens hun vakantie 100 km in vijf dagen. Elke dag reden ze zes kilometer meer dan de vorige dag. Hoeveel kilometer fietsten ze op de eerste dag?
Twee mannen reden met een landrover 12250 km in 28 dagen in Afrika.(lengte van Afrika is ongeveer 8000 km). Elke dag reden ze 15 km meer dan de vorige dag. Hoeveel km reden ze op de eerste dag?
Zakje frites en Kwadratisch verband O=ax^2
Uitslag zakje frites
• • • De uitslag van de verpakking vult precies een rechte hoek op van een vierkant stuk karton. De uitslag bestaat uit twee delen. Een deel is het achtste deel van een cirkel en het andere deel is het achtste deel van dezelfde cirkel met een stuk eruit.
Geef de waarde van a van de formule O=ax^2 .
Rijen van figuurlijke getallen en verschilrijen
6 7 4 5
n
3 8 9 10 11 12
for
0,5n(n+1) n^2 0,5n(3n-1) ?
1 1 1 1 1
1 2
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7
3
6 9 12 15
4
10 16 22 28
5
15 25 35 45
6
21 36 51 66
7
28 49 70 91
8
36 64 92 120
9
45 81 117 153
10
55 100 145 190
11
66 121 176 231
De som van kwadraten van Fibonacci-getallen term
kw som
1
1 1
1
1 2
2
4 6
3
9 15
5
25 40
8
64 104
13
169 273
21
441 714
34
1156
f
(1) 2
f
2
f n
2
• • • • • Ideeën Aanvullingen Opmerkingen Bronnen Terugblik