Transcript HAVO-VWO D deel 2 H7

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 7
Getallenrijen
Een recursieve formule van een rij geeft aan hoe elke term
uit één of meer voorafgaande termen volgt.
Bij een recursieve formule vermeld je de startwaarde.
vb. un = un – 1 + 160
7.1
Het rijen-invoerscherm van de GR
Rij van Fibonacci
Elke term is de som van de twee voorafgaande termen.
u3 = u2 + u1
un = un – 1 + un - 2
7.1
opgave 10
un = un – 1 + 5n met u0 = 100
vn = vn – 1 + n2 met v0 = 10
Casio
a) TI
Voer in nMin = 0
Voer in an – 1 = 0,5an – 1 + (n + 1)2
u(n) = 0,5u(n – 1) + n2
start: 0
u(nMin) = 100
a0: 100
u0 = 100 , u1 = 51 , u2 = 29,5 ,
a0 = 100 , a1 = 51 , a2 = 29,5 ,
u3 = 23,75 , u4 = 27,875 , …
a3 = 23,75 , a4 = 27,875
De kleinste term is u1.
De kleinste term is u3
b) u7 ≈ 76,73
c) u16 ≈ 454 en u17 ≈ 516.
Vanaf de 18e term is un > 500.
7.1
Rekenkundige rijen
Een rekenkundige rij is een rij waarvan het verschil van twee
opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.
Van een rekenkundige rij met beginterm u0 en verschil v is
• de directe formule un = u0 + vn
• de recursieve formule un = un – 1 + v met beginterm u0.
De somrij van een rekenkundige rij
Bij de rij un hoort de somrij Sn = u0 + u1 + u2 + u3 + … + un.
Voor de rekenkundige rij un geldt
n

k 0
uk 
1
2
( n  1)( u 0  u n )
som rekenkundige rij = ½ · aantal termen · (eerste term + laatste term)
7.2
Meetkundige rijen
Een meetkundige rij is een rij waarbij het quotiënt van twee
opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is.
Van een meetkundige rij met beginterm u0 en factor r is
• de directe formule un = u0 · rn
• de recursieve formule un = r · un – 1 met beginterm u0.
De somrij van een meetkundige rij
Sn =
u 0  u n 1
1 r
Voor een meetkundige rij un geldt
n

uk 
u 0 (1  r
n 1
)
1 r
eerste term(1 – factoraantal termen)
som meetkundige rij =
1 - factor
k 0
7.2
De formule un = a · un – 1 + b
Bij een lineaire differentievergelijking van de eerste orde hoort een
recursieve formule van de vorm un = aun – 1 + b.
Je kunt de termen van de bijbehorende rij un doorrekenen
• met ANS op het basisscherm
• door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm
en de termen in een tabel zetten
• door de bijbehorende tijdgrafiek te plotten en deze met de
trace-cursor te doorlopen.
Je kunt de puntenrij in een Oxy-assenstelsel tekenen.
De punten (un – 1, un) liggen op de lijn y = ax + b.
De webgrafiek bestaat uit aaneengesloten verticale en horizontale
lijnstukken afwisselend op de lijnen y = ax + b en y = x.
7.3
Convergeren en divergeren
De lijnen y = ax + b en y = x hebben een snijpunt bij x 
b
1 a
Deze x-coördinaat heet het dekpunt van de rij un = aun – 1 + b
constante rij:
heeft het dekpunt als startwaarde
rij convergeert:
bij een grenswaarde is er een stabiel evenwicht
rij divergeert:
als er geen grenswaarde is dan is er een instabiel evenwicht.
7.3
De directe formule van de rij un = aun – 1 + b
7.3
Prooi-roofdiermodellen
Bij een prooi-roofdier cyclus hoort een tijdgrafiek en een
prooi-roofdierdiagram.
Bij een prooi-roofdiermodel hoort een stelsel van twee differentievergelijkingen.
In het model hieronder is Pt het aantal prooidieren op tijdstip t
en Rt het aantal roofdieren op tijdstip t.
Pt = 1,18Pt – 1 – 0,003Rt – 1Pt – 1
Rt = 0,94Rt – 1 + 0,0006Pt – 1Rt – 1
met P0 = 120 en R0 = 65.
Je kunt het model met de GR doorrekenen en tijdgrafieken plotten.
7.4
opgave 62
a) (0,25 – 0,0015R)P = 0
0,25 – 0,0015R = 0
0,0015R = 0,25
R ≈ 167
(-0,03 + 0,00004P)R = 0
-0,03 + 0,00004P = 0
0,00004P = 0,03
P = 750
b) De populaties veranderen dan niet meer,
dus steeds is Pt = 750 en Rt = 167.
7.4
Een model van een griepepidemie
Het verloop van een griepepidemie kan beschreven worden met
het model hieronder.
Hierin is Gt het aantal mensen dat op tijdstip t nog niet de griep
heeft gehad, het aantal mensen dat ziek is op tijdstip t en lt het aantal
mensen dat op tijdstip t immuun is.
7.4